Zadání 6. série 26. ročníku

Termín odeslání: 9. května 2011

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.

6. část - Smrt a ...

Již dopředu musím říct, že tento příběh je posledním příběhem, který vám já, červená krvinka, budu vyprávět. Spolu s mými kamarády jsme v lidském těle prožili již přes sto dlouhých dní. Rozhodně to nebyl promarněný čas, o práci tu nouze nebyla a myslím, že jsme všechny odváděly dobrou a užitečnou práci. Nyní ale cítím, že jsem stará. Slyšela jsem sice o krvinkách, co se dožily spousty dní. Jen nevím už přesně, kolik to bylo...

Úloha č. 1

Bylo to číslo n^{2}. Určete jeho poslední číslici, víte-li, že předposlední číslice je 7.

Být stodnovou krvinkou je na jednu stranu příjemná věc. S věkem sice ubývá sil, zato však přibývá moudrosti a zkušeností. Nejednou se mě mladší krvinky ptaly na nejrůznější věci. Například ohledně jednoho zvláštního obrazu, jehož některé části byly vybarveny, ale bylo těžké přijít na to, co představují.

Úloha č. 2

Mějme čtverec ABCD (viz obrázek). Spočtěte obsah vybarvených částí: kruhů vepsaných \triangle ASD a \triangle BCS, kruhových úsečí SCF, DSE, SAG, SHB a trojúhelníků \triangle EFS_{1} a \triangle HGS_{2}. Víte, že platí |DE| = |ES|,|FC| = |FS|,|AG| = |GS| a |BH| = |HS|. Délka strany čtverce ABCD je 10 \mu_rm( m).

Jindy se zase hádaly o nejrůznější věci ohledně sbírání odznáčků nebo kostkovitých cukrů, které jim sloužily často jako jakási stavebnice. Schválně, jestli byste uměli poradit s následujícím problémem:

Úloha č. 3

Máme 2 krychličky s celočíselnými délkami hran, o nichž víme, že 64násobek objemu jedné krychličky zvětšený o velikost objemu druhé krychličky je roven 1024. Jaké jsou délky hran krychliček?

Druhá strana stáří tkví však v tom, že se blíží den, kdy to všechno skončí. Vím, jak to vypadá, když krvinka umírá. Přijede takzvaný makrofág, otevře velkou trojúhelníkovitou tlamu a udělá chramst.

Úloha č. 4

Makrofágova zavřená tlama má tvar trojúhelníku ABC o velikostech stran |AB|=2,5 \mu_rm( m), |BC|=1,5 \mu_rm( m) a |CA|=3 \mu_rm( m). Když ji ale otevře, tlama se zvětší, ale trojúhelníkovitý tvar zachová, a to tak, že vznikne trojúhelník KLM, jehož těžiště leží v bodě C, střed kružnice opsané v bodě B a střed strany KL v bodě A. Narýsujte makrofágovu otevřenou tlamu (narýsujte v měřítku 1 \mu_rm( m): 1 cm).

Několikrát jsem to už z dálky viděla a zdálo se mi to jako úplně přirozená věc. Jenže teď se přiblížil makrofág úplně blízko k nám.

Přijela k nám rozkladná bílá krvinka a chystala se pozřít mou starou kamarádku. „Ještě nás nech jednou do plic a zpátky,“ škemraly jsme, ale byla neúprosná. Otevřela velikou tlamu-lapač a začala vtahovat kamarádku do sebe. Abychom ji zachránily, chytily jsme se za ruce a chtěly jsme se o ni přetahovat.

Úloha č. 5

Hra gordický uzel se hraje tak, že se lidé se zavřenýma očima postaví do kruhu, přiblíží se k sobě a pak každý chytne někoho jiného náhodně za ruku. Hraje-li hru 11 lidí, kolika způsoby se mohou rozdělit tak, aby vznikly dva kruhy? Kruh je tvořen nejméně dvěma lidmi, přičemž záleží na vzájemné poloze lidí. Stejné kruhy jsou jen ty, které vznikly pootočením. (Tedy např. ABC je totéž jako BCA, ale ACB je jiný.)

Stály jsme tiše a truchlily nad ztracenou kamarádkou. Říkaly jsme si, že tím to přeci nekončí, že tu jsou další miliony nás, ale přeci nám bylo smutno. Když tu se přiblížil další makrofág. A tentokrát pravil ke mně: „Tvůj čas se naplnil...“ Vzpomínám si, jak jsem tuhle větu slýchávala jako malá, chápala jsem jen, že po jejím vyřčení někdo zmizel, ale dělala jsem si z toho legraci. Čas se naplnil... Představovala jsem si ten čas jako nějakou nádobu, kam kape voda, a když se další nevejde, je konec.

Úloha č. 6

Máme skleněnou krychli ABCDEFGH, která je ze dvou třetin plná vody. Do jaké výšky bude sahat hladina, když se krychle postaví:

na hranu AB tak, že rovina ABGH je svislá (tedy kolmá na hladinu),
na vrchol A tak, že tělesová úhlopříčka AG je svislá.

Tenkrát jsem se tomu smála, později jsem pochopila, že to je vážné, ale co to onen konec znamená, to jsem pochopila až nyní. Makrofág udělal chramst a já ... nebyla.

Stejně jako mezi lidmi se i mezi krvinkami tradují nejrůznější zvěsti o tom, co se s námi stane, až budeme odstraněny. Máme krvinčí duši, která bude vzata do nebe za pilnou práci? Nebo se převtělí do nové krvinky?

Víte, jak je to doopravdy? Krvinka se skládá z různých částí, z nichž nejdůležitější jsou chemické sloučeniny jako hemoglobin. Dohromady to tvoří jakousi skládačku.

Úloha č. 7

Máme skládačku ve tvaru čtvercové sítě jako na obrázku a všechny možné tvary, které lze sestavit ze čtyř čtverečků (tvary se sestavují stejně jako tetrisové kostičky -- sousedí hranou, ne jen rohem). Je možné pokrýt síť, když můžeme každý tvar použít nejvíce jednou? A co když můžeme použít jen jeden tvar, ale kolikrát chceme, pro které tvary to půjde?

A když jsme schramstnuty, jsme následně rozloženy právě na tyto části. Ty putují dál a po nejrůznějších přeměnách a, dalo by se říci, opravách jsou složeny zpět v novou krvinku. Čilou, čerstvou, zdravou, plnou sil. Krvinka tedy neumírá, ale rodí se znovu!

Každý konec je začátek. Budiž i tento konec příběhu zároveň příslibem nového příběhu v ročníku příštím.