Zadání 4. série 26. ročníku

Termín odeslání: 28. února 2011

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.

4. část - Kde kyslík bereme a kam ho neseme

Dorazily jsme do plic, kde jsme putovaly uzounkými vlásečnicemi a nabíraly jsme při tom spoustu čerstvého kyslíku, který máme nést dál. Aby se kyslík dostal na všechny z nás, mají plíce jakousi houbovitou strukturu, čímž se zvětší jejich povrch, takže se kyslík propouští na více místech. Plocha je to opravdu neuvěřitelně velká, třeba okolo 50 m\sup(2).

Úloha č. 1

Představte si čtvercovou plochu o velikosti 2011 \times 2011 jednotek čtverečních. Máte ji vydláždit čtvercovými dlaždicemi o šířce jedné jednotky, které jsou pospojovány vždy po třech do tvaru „L“. Navíc máte k dispozici jedinou samostatnou čtvercovou dlaždici o velikosti 1\times1. Rozhodně není třeba kreslit celý obrázek, stačí vysvětlit, jak a proč dláždění funguje.

Na cestě z plic jsme se musely rozdělit. Část z nás se vydala zásobit kyslíkem důležité orgány. Cesta se však jako obvykle neobešla bez potíží. Narazily jsme totiž na zlý vir, který bylo potřeba zlikvidovat, a bílé krvinky si s ním zahrály zase jednu hru, tentokrát kámen, nůžky, papír.

Úloha č. 2

V každém kole hraje jeden vir proti dvěma bílým krvinkám a s každou z nich odehraje pět her, ale pořadí, s kým právě hraje, si vybírá náhodně. Vir je ovšem hloupý, a proto víme, že má určitou strategii -- neměnnou posloupnost deseti symbolů K, N a P, kterou používá v každém kole. Víme, že s jednou z krvinek zahrál v různých kolech následující posloupnosti symbolů: KNNNN, KPPKP, KKPNK, NNPKK, PNKKN, PNNPK. Jaká je jeho strategie?

Vir, tohle byla jeho tisícirohá odrůda, se ale ne a ne dát porazit a stále se dělil, takže vznikaly nové, menší viry, sedmirohé.

Úloha č. 3

Určete, na kolik nejméně konvexních sedmiúhelníků jde rozdělit pravidelný 2011-úhelník.

Nakonec však byly naštěstí všechny viry opět zničeny, takže jsme mohly putovat dál. Naše cesta vedla kolem všech orgánů, jako jsou ledviny, žaludek nebo játra.

Játra kupříkladu jsou největší žlázou v těle, jejichž činnost nás krev velmi ovlivňuje. Mají totiž na starost především přeměnu živin, což jsou cukry, tuky a bílkoviny, a vyrovnávání jejich stavu v těle, a tak se děje prostřednictvím krve. Aby mohla játra správně fungovat, potřebuje člověk správně jíst, aby měl správný poměr bílkovin, cukrů a tuků v potravě.

Úloha č. 4

Honza si chce koupit jídlo na 10 dní. Na výběr má následující balíčky potravin: Žlutý balíček obsahuje celkem 50 \% denní dávky cukrů, 50 \% tuků a 0 \% bílkovin. Modrý má 100 \% denní dávky cukrů, 50 \% tuků, 200 \% bílkovin. Oranžový balíček obsahuje 150 \% denní dávky cukrů, 250 \% tuků a 100 \% bílkovin. Jaké balíčky má koupit, aby měl vyváženou stravu na 10 dní? Vyvážená strava na jeden den znamená, že dostane 100 \% cukrů, 100 \% tuků a 100 \% bílkovin.

Jelikož se vyskytujeme v játrech, dovolte mi zmínit se pár slovy o jejich struktuře. Jsou tu buňky nejrůznějších funkcí, některé slouží k uskladnění vitaminů, jiné k rozkladu nás, červených krvinek, když jsme už staré. Opět se tu nalézají buňky různých tvarů, některé jsou hvězdicovité, jinde můžeme vidět šestiúhelníkové či čtvercové struktury.

Úloha č. 5

Čtvercovou strukturu má i kartézská soustava souřadnic. Máme v ní vyznačeny body (1,4), (1,8), (5,4) a (5,8), které jak vidno tvoří čtverec. Vaším úkolem je zjistit hodnotu x, když víme, že trojúhelníky s vrcholy (1,4), (x,0), (5,4) a (5,4), (x,0), (5,8) mají dohromady stejný obsah jako čtverec.

Kyslík však nedodáváme jen orgánům, ale i jiným částem těla, kde byste to možná ani nečekali. Představte si, že dokonce i kostmi vedou dlouhé tenké cévy, které je vyživují. Kost se totiž skládá z kostních buněk, které potřebují kyslík a živiny, jenž jsou tam krví přenášeny. Tyto buňky jsou obklopeny maličkými mikroskopickými krystalky tvrdých solí, které vylučují, a díky nim je kost tak pevná.

Úloha č. 6

Vaším úkolem je narýsovat krystal na základě následujících informací: Pravoúhlým průmětem bodu A do půdorysny \pi budeme rozumět patu kolmice spuštěné z bodu A na \pi. Tento bod budeme značit A_{1}. Známe-li směr osvětlení s a jeho pravoúhlý průmět s_{1}, můžeme zjistit stín bodu A do půdorysny \pi a to takto:

Bodem A proložíme přímku rovnoběžnou se směrem s. Tuto přímku označíme a.
Bodem A_{1} proložíme přímku rovnoběžnou s s_{1} -- průmětem směru s. Tuto přímku označíme a_{1}.
Stínem bodu A rozumíme bod A = a \cap a_{1}.

Sestrojte osvětlení „krystalu“, jestliže znáte směr osvětlení s, pravoúhlý průmět směru s_{1} a jestliže víte, že „krystal“ stojí na půdorysně \pi.

Rozvádění krve do všech možných míst těla je důležité poslání. Někdy to je ovšem i docela zábava, především totiž potkáte dennodenně spoustu jiných krvinek, s nimiž si můžete popovídat nebo si vyměnit odznáčky, což je, jak jsem říkala už minule, naše oblíbená zábava. Zvlášť ten, co jsem dostala posledně, se mi velmi líbí. Jsou na něm zobrazeny dva trojúhelníky.

Úloha č. 7

Narýsujte trojúhelníky ABC a A'B'C, které jsou středově souměrné podle bodu C a mají pravý úhel u vrcholu B. Je dáno: |AC| = 5 cm a |BA'| = 8 cm.

Jak tak putuji po těle, jednou se ocitnu v kosti, jindy zásobuji třeba sval, mozek nebo srdce. Nyní už vím, co obnáší návštěva srdce, plic nebo orgánů a je mou povinností spolu s ostatními plnit tento úkol, dokud budu moci.