Zadání 3. série 26. ročníku
Termín odeslání: 17. ledna 2011
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
3. část -- První návštěva srdce
Ač člověku připadá, že krev obíhá v těle velmi rychle, že srdce buší jako o závod, nám, malým krvinkám, tahle doba utíká velmi pomalu. Okysličíme se a potom vláčíme kyslík až od tkání, abychom se spletí žil dostali do srdce a do plic, kde si vyzvedneme další várku kyslíku. A to celé trvá celých 20 minut! Nedivte se proto, že jen naše první cesta k srdci trvá tak dlouho, a že si během ní všimneme ledasčeho zajímavého, co se uvnitř cév děje, natož když se s tím vším setkáváme poprvé.
Tentokrát mě a mého kamaráda zaujaly cukry, které se spolu s námi hrnuly krevním řečištěm. Cukry vypadaly jako bělavé malinkaté krychličky.
Úloha č. 1
Máme krychli ABCDEFGH (podstavami jsou ABCD a EFGH). Střed hrany AB je bod L a střed hrany AD je bod M. Spočítejte, kolikrát je větší obsah trojúhelníku EBD, než obsah trojúhelníku ELM.
A jelikož hranaté cukříky byly oproti nám opravdu malinkaté, občas jsme si s nimi různě hrály. Házely jsme si s nimi, nebo si z nich dělaly stavebnici.
Úloha č. 2
Vzaly jsme si n cukrových kostiček a chtěly jsme je vyskládat do kvádru. Když jsme zvolily podstavu o velikosti 6 \times 7 kostiček, zbylo nám 37 kostiček. Pro podstavu 5 \times 12 zbylo 25 kostiček a pro podstavu 3 \times 13 zbylo 31 kostiček. Do jak velkého kvádru bychom měly kostičky uspořádat tak, aby žádné nezbyly? Víme, že jich bylo méně než 2011.
To už jsme se ale opravdu začaly blížit k srdci. Ještě jedno mohutné buchbuch a už budeme tam! A je to tady, konečně! Pravá předsíň nás ohromila svou velkolepostí. Vše zde bylo nejtemněji rudé, jak si dovedete představit, a tak prostorné. Nezdržely jsme se zde dlouho a už se začaly otevírat mohutné chlopně, které nás oddělovaly od pravé komory. Chlopně měly přibližně trojúhelníkový tvar.
Úloha č. 3
Narýsujte trojúhelník ABC. Je dán úhel |\angle BAC|=72\deg, poloměr kružnice vepsané \rho=2 cm a vzdálenost |KC|=5 cm, kde K je bod dotyku kružnice vepsané a strany AC.
Byly jsme prohnány skrz chlopně a octly jsme se v pravé komoře. S hlasitým klap chlopně zapadly a našimi malými tělíčky bylo mrštěno o srdeční stěnu, až se nám zamotala hlava, takže nám nad ní začaly kroužit hvězdičky.
Úloha č. 4
Pěticípá hvězda se dá nakreslit jedním tahem pěti úsečkami tak, že se ob jeden spojí vrcholy pravidelného pětiúhelníku. Určete úhel, který svírají dvě po sobě nakreslené úsečky, když takto kreslíte pěticípou hvězdu.
Řeknu vám, to srdce byl ale zážitek, takové rány! Moc nás tedy nešetří... Ale co se dá dělat, jsme zkrátka potřeba. Dále jsme byly vyhnány přes další chlopně ven ze srdce do plicní tepny -- jediné tepny v těle, kde se vyskytujeme neokysličené. Jelikož jsme byly jen kousek od srdce, byl zde opravdu velký proud, a tudíž jsme spěly vpřed opravdu rychle.
Cesta krásně ubíhala a my se těšily do plic, neboť jsme byly velmi zvědavé na ten pocit, jaké to bude, až nás naloží kyslíkem a budeme konečně moci plnit náš úkol. Najednou se však odněkud vyřítila skupina virů, které se navíc začaly velmi rychle dělit a které se spolu s námi chtěly dostat do plic, aby tak uškodily našemu člověku.
Úloha č. 5
Nejprve tu bylo jen 8 virů. Viry se však dělily tak, že se vždy jeden z nich rozpadl na 8 stejných. Je možné, aby se takto vytvořilo přesně 2010 virů?
Naštěstí to však netrvalo dlouho a objevily se bílé krvinky, které byly v nejlepší kondici, a tak dělící se viry požraly do jednoho. A protože byly v dobrém rozmaru, v rámci jejich oblíbených her a udržení kondice se začaly honit navzájem.
Úloha č. 6
Bylo jich 5 a hrály na honičku tak, že každá honila právě jednu, byla honěna právě jednou a žádné dvě se nehonily navzájem. Jmenovaly se Alberta, Betyna, Cecilka, Dita, a Ema. Víme o nich, že: Ema nehonila Albertu ani Cecilku. Betyna nehonila Emu ani Albertu. Alberta nehonila Cecilku ani Ditu. Cecilka nehonila Ditu ani Emu. Dita nehonila Betynu ani Emu. Kdo honil tu, která honila Cecilku?
Když bílé krvinky dosoutěžily, vítěz dostal za odměnu odznáček od poraženého. Sbírání odznáčků byl koníček každé krvinky i destičky. Bylo možno je kupovat, prodávat, vyhrávat nebo vyměňovat. Tou dobou měla nejvíc různých odznáčků krvinka Sára, a ještě se jí dařilo na nich vydělávat.
Úloha č. 7
Sára koupila odznáčky za 243 Kč a rozprodala je se ziskem. Jeden odznáček prodávala za 18 Kč. Vydělala tolik, kolik dala původně za 27 odznáčků. Kolik odznáčků koupila a kolik zaplatila za jeden z nich?
Bílé krvinky se podělily o vyhrané odznáčky a honem odspěchaly likvidovat další viry do jiné části oběhu. My jsme byly hnány vpřed do plic, abychom si naložily svou první dávku kyslíku.