Zadání 2. série 26. ročníku

Termín odeslání: 13. prosince 2010

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.

2. část -- První cesta

Tak jsme byly my, čerstvě zrozené červené krvinky, strhnuty velkolepým proudem krevního řečiště. Nasáty do tenoučkých vlásečnic jsme se dostávaly do čím dál větších žilek a žil. Celý náš pohyb byl řízen rytmickým buchbuch a starší kolegové, které jsme cestou potkávaly, nám vyprávěli, že je to dílo velikého srdce. To srdce si nikdo z nás nedokázal představit, ale všechny jsme se těšily, až je poprvé spatříme.

Buchbuch, buchbuch. Na každé to buchbuch jsme byly rázem posunuty o kus dopředu. Putovaly jsme trubicí zvanou žíla. Žíla se různě stáčela tělem, ale my netušily, kam vede. Jediné, co jsme mohly vidět, byly vnitřní stěny žíly kryté vrstvičkou plochých buněk. Buňky měly různé tvary: šestiúhelníky, čtverce... Mě však nejvíc zaujala zvláštní trojúhelníková struktura.

Úloha č. 1

Máme trojúhelník ABC s těžištěm T. Označme K, L, M středy úseček AT, BT, CT. Dále P, Q, R označme středy stran AB, BC, CA. Určete poměr obsahů trojúhelníků KLM a PQR.

Další zvláštností, které jsme si na žilách všimly, bylo to, že občas z jejich stěn vyčnívaly chlopně. Chlopně jsou takové polokruhovité či měsíčité útvary, které slouží k tomu, aby krev mohla proudit jedním směrem, ale nikoli zpátky. Poté, co jsme byly za hlasitého buchbuch popohnány o kus dál, ozvalo se ještě duté klap, jak chlopně zapadly.

Úloha č. 2

Chlopně měly tvar měsíce. Měsíc mohl vzniknout překrytím dvou kružnic tak, že jedna měla střed na obvodu druhé. Jaká je plocha měsíce, když poloměr kružnice má velikost 10?

Čím širší byly cesty, jimiž jsme se pohybovaly, tím více jiných stvoření jsme tu mohly potkat. Kromě nás se tu pohybovaly bílé krvinky a červené destičky, to byli naši kamarádi, neboť také plnily užitečnou funkci. Byla tu ale také celá řada zlých stvoření: různé viry a bacily. No a v neposlední řadě zde byly rozpuštěny látky jako soli, cukry nebo tuky. Občas jsme mezi objekty, které se potulovaly v krvi, potkaly dokonce tak zvláštní útvary, že jsme nebyly schopny určit, co jsou vlastně zač.

Úloha č. 3

Kupříkladu jeden útvar měl tvar krychle o velikosti 3 \times 3 \times 3, která však byla značně proděravělá. Vaším úkolem je zjistit, jak tento útvar vypadal. Známe pohled zepředu a z boku, kde čísla udávají, kolik krychliček je v každé řadě za sebou. Útvar je souvislý (tzn. nerozpadá se).

Pohled zepředu:
$$ 2 $$ $$ 2 $$ $$ 1
$$ 0 $$ $$ 0 $$ $$ 1
$$ 1 $$ $$ 3 $$ $$ 1
$$

Pohled z boku:
$$ 1 $$ $$ 2 $$ $$ 2
$$ 0 $$ $$ 0 $$ $$ 1
$$ 2 $$ $$ 1 $$ $$ 2
$$

Zatímco většinu objektů jsme míjely bez povšimnutí, viry představovaly velké riziko. Mohou totiž ohrozit fungování těla, protože napadají nejrůznější buňky a ničí je. Virů je více druhů, a tak se mohou formovat do rozličných bojových útvarů.

Úloha č. 4

Tentokrát jsme potkaly viry seskupené do dlouhé řady. Byly v ní dva druhy virů. Napište co nejkratší takovou řadu virů, aby obsahovala všechny možné tříprvkové posloupnosti virů. Tříprvkovou posloupností myslíme tři viry jdoucí bezprostředně za sebou. (Například pro viry typu A a B jsou v řadě AABB dvě tříprvkové posloupnosti: AAB a ABB.)

Když se někde objevilo hodně virů, přiběhly na pomoc bílé krvinky a začaly viry ničit. Ač to byla důležitá a namáhavá práce, občas jsme mohly vidět bílé krvinky, jak si ji zpříjemňují hraním nejrůznějších her.

Úloha č. 5

Jedna z her vypadala následovně: viry se uspořádaly do tří skupin o počtu 11, 12 a 13 členů. Dvě bílé krvinky měly za úkol je zničit a hrály hru na tahy. Tah vypadal tak, že ten, kdo byl na řadě, musel zničit dva viry, každý z jiné skupiny. Kdo nemohl zahrát takto předepsaný tah, prohrál. Najděte vyhrávající strategii pro některou z krvinek.

A to si teprve představte, jak rafinované hry hrály bílé krvinky, když jich bylo na likvidaci nepřítele daleko více. A co bylo nejzvláštnější, zdálo se, že proti nepříteli je hra opravdu tou nejlepší obranou. Nejraději hlídaly bílé krvinky ve skupinách o určitém počtu.

Úloha č. 6

Bylo jich právě tolik, že toto číslo má přesně 6 dělitelů, z nichž jedním je číslo 21. Kolik existuje takových čísel a jaká to jsou?

Nejlegračnější ze všech krevních částeček mi připadaly krevní destičky. Byly to malé hranaté útvary, které se hemžily úplně všude, připraveny zakročit, pokud by došlo k porušení cévy. Když se člověk poraní, vytvoří se strup, který si můžeme představit jako spoustu ztvrdlých krychliček, které jsou tvořeny právě těly krevních destiček.

Úloha č. 7

Krevní destičky (mají tvar krychle o hraně délky 1) se vždy zformují do krychle o hraně délky n, kterou zcela vyplní. Destičky, které jsou na povrchu krychle, ztvrdnou, ty uvnitř nikoli. Víme, že většina destiček ztvrdne. Jaký největší počet destiček může mít krychle?

Tak jsme se konečně dostaly až do mohutné žíly, která ústí přímo do srdce.