Zadání 1. série 26. ročníku
Termín odeslání: 18. října 2010
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
1. část -- Zrození
Není tomu dávno, kdy začal můj dobrodružný život. Narodila jsem se spolu s dalšími třemi miliony sourozenců během jediné vteřiny. Zpočátku jsem byla úplně bezbranná a neschopna plnit úkol, pro který jsem se zrodila. Postupně jsem však rostla a sílila, abych mohla po dalších 100 dní mého kratičkého, avšak velmi činorodého života, plnit své poslání.
Hned po narození nás svolali do velkého sálu, aby nás během pár dnů naučili vše, co potřebujeme vědět. Všichni jsme se velice těšili -- bylo to něco úplně nového -- a plni očekávání jsme stoupali vzhůru po točitém schodišti.
Úloha č. 1
Do 30metrové věže o vnitřním poloměru 2 m chceme umístit točité schodiště, to se z jedné strany těsně dotýká zdi věže a ze strany druhé se dotýká válce o poloměru 1 m. Schody na sebe navazují (není mezi nimi mezera). Hrana schodu přiléhající ke zdi věže má délku 40 cm. Výška schodu je 10 cm. Jakou hmotnost bude mít schodiště, když 1 dm^{3} váží 0,9 kg?
Sál působil vskutku velkolepým dojmem. Stěny byly pokryty rudými sametovými závěsy, podlaha měkkými koberci a na stropě se skvěly nádherné křišťálové lustry. Celá místnost měla tvar „domečku“. Domeček, to je něco, co tady u nás jen tak nevidíte. Je to takový zvláštní tvar se čtyřmi kolmými stěnami a špičkou čnící vzhůru.
Úloha č. 2
Mějme krychli o délce hrany 2 cm a pravidelný čtyřboký jehlan o délce každé hrany také 2 cm. Tento jehlan umístíme na vrchní podstavu krychle tak, že s ní jeho podstava splyne. Nyní spojíme středy všech hran domečku tak, že spoje vedou pouze po stěnách krychle a jehlanu. Tím vznikne kostra nového mnohostěnu. Kolik má tento útvar stěn? Která jeho stěna má největší obsah?
V sále se tlačil a mačkal hotový dav, naše rudá oblá těla se lepila jedno k druhému, avšak ze všech stran začaly ihned proudit pokyny, a tudíž nedocházelo k žádným větším zmatkům. Když jsme byli uvnitř docela všichni, začali nás dělit do jednotlivých skupin, v kterémžto složení se mělo odehrát naše následné školení a výcvik. Skupinka, kam jsem byla přiřazena, byla tvořena na první pohled vesměs samými sympatickými kolegy a kolegyněmi.
Úloha č. 3
Ve skupince nás byl právě takový počet, kolik existuje trojciferných čísel, jejichž součin cifer není nula a je dělitelný 5 a zároveň součet cifer je dělitelný 11. Spočítejte, kolik členů v ní bylo.
Pokud máte nějaké iluze o tom, jak úžasně zábavné je vzdělávat se ve zdejší škole, pak vás musím zklamat. Náš učitel stál na stupínku vpředu a cosi vykládal dokonale uspávajícím hlasem. Netvářil se, že se o nás zajímá, a my mu opláceli stejnou notou. Rozhlédla jsem se po místnosti: část účastníků spala, část hrála \piškvorky, a část dokonce stále sledovala, co učitel píše na temně rudou tabuli.
Úloha č. 4
Tabule měla tvar obdélníku ABCD, ve kterém platilo |AB|=10 cm a |BC|=4 cm. Označíme F bod na AB takový, že |AF| = 2\over3 |AB|. Najdi na polopřímce BC bod X, aby obsah AFX byl 3\over4 obsahu ABCD.
Já tedy patřila k těm, kdo se věnovali všelikým jiným činnostem. Kromě profláklých \piškvorek byla velmi oblíbená také hra „čtvercedělení“.
Úloha č. 5
Rozdělte následující čtverec na obdélníky tak, že každý obdélník bude obsahovat právě jedno číslo a toto číslo bude udávat jeho velikost ve čtverečcích. Obdélníky musí čtverec vyplnit celý a nesmí se překrývat.
O něco zábavnější byly praktické úlohy. Jednak jsme při nich nemuseli jen nečinně sedět, jednak jsme se konečně mohli i trochu seznámit a potichu si povídat, takže jsem si brzo našla nějaké kamarády.
Mezi takové praktické úlohy, které jsme později měli využít při plnění našeho poslání, patřil třeba běh na píšťalku (disciplína, při níž člověk běží, a když učitel pískne jednou, zrychlí, a když dvakrát, zpomalí), nákladové disciplíny (ty spočívají v nakládání a vykládání na čas a přesnost), a dále také přelévání (úkon vyžadující jednak manuální zručnost, jednak dobré počtářské schopnosti).
No schválně, zkuste si jednu takovou úlohu z hodiny přelévání:
Úloha č. 6
Představ si, že ti byly dány tři nádoby: 2, l, 7, l, 10, l. Desetilitrová je plná tekutiny. Jsi schopný pomocí těchto nádob přelít 1, 2, 3, ..., 9 litrů tekutiny? Samozřejmě o ni nechceš přijít, tak ji neliješ mimo. Nádoby nemají rysky.
Nějak tak tedy plynuly dny našeho výcviku, během nějž jsem se seznámila s partou kamarádů, a proto jsme se na cestu za plněním úkolu rozhodli vyrazit spolu.
Úloha č. 7
Původně jsme měli začít naši cestu všichni najednou, ale 6 z nás propadlo u závěrečné zkoušky a muselo ji opakovat. My ostatní jsme však nemohli déle meškat, a proto jsme se domluvili, že se k nám ostatní připojí pátého dne naší cesty. Zásoby na sedm dní cesty (včetně prvního a posledního) jsme však koupili již předem, a proto jsme museli vše přeplánovat, abychom věděli, kdy budeme muset zásoby doplnit. Zjistili jsme, že za takovéhoto stavu nám zásoby vydrží o dva dny déle, než jsme původně plánovali. Spotřeba zásob na den a osobu se nemění. Otázkou je, kolik členů obsahovala naše parta.
Ač byl začátek nelehký, plni odhodlání jsme se vydali na naši první cestu. Tušíte už, co jsme zač a kam vyrážíme?
