Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.

Úloha č. 1

Nejprve si uvědomme, že poslední dvě cifry čísla n^{2} jsou ovlivněny pouze posledními dvěma ciframi čísla n (to je dobře vidět například při násobení n \cdot n pod sebou). Označme tedy tyto poslední dvě cifry čísla n odzadu A a B. Platí (10B+A)^{2}=100B^{2}+20AB+A^{2}. Člen 100B^{2} poslední dvě cifry čísla n^{2} nijak neovlivní. Na místě jednotek čísla n^{2} bude poslední cifra čísla A^{2}, na místě desítek bude poslední cifra členu 2AB plus cifra na místě desítek členu A^{2}. Ze zadání víme, že na místě desítek čísla n^{2} je cifra 7, což je liché číslo. Člen 2AB má poslední cifru jistě sudou, proto musí být cifra na místě desítek členu A^{2} lichá (jejich součet musí dávat 7, 17, 27, 37...). Tedy za A můžeme dosadit pouze cifry 4, nebo 6. V obou případech je poslední cifra čísla A^{2} (tím pádem i čísla n^{2}) cifra 6. Nyní se ještě musíme přesvědčit, že nějaké takové číslo existuje. V opačném případě by totiž úloha neměla žádné řešení. Bude-li číslo n končit na cifru 6, pak A^{2}=36 a pro B=2 platí 2AB+3=27. Poslední cifra tohoto součtu je skutečně 7. Číslo 26^{2} tedy splňuje požadavky zadání.

Komentář: Všechna vaše řešení měla správný výsledek. Za menší nepřesnosti jsem strhla 1 bod, za „uhádnutí“ výsledku z několika nalezených čísel odpovídajících zadání jsem strhla 2 body.

Úloha č. 2

Nejdříve si vypočítáme poloměr kruhových úsečí, které jsou 4. Když se na obrázek podíváme, zjistíme, že dvě úseče jsou vlastně půlkruh o poloměru 5 \mu_rm( m) mínus obsah trojúhelníku BCS u druhé úseče obdobně. Když se podíváme ještě pozorněji, vidíme, že trojúhelník BCS má obsah roven čtvrtině obsahu daného čtverce ABCD. Tedy obsah všech úsečí (S_{u}) je:

S_{u} = 2 \left( \pi (5 \mu_rm( m))^{2}/2 - (10 \mu_rm( m) )^{2}/4 \right) = (25\pi - 50 ) \mu_rm( m)^{2}\doteq 28,54 \mu_rm( m)^{2}.

Nyní nám zbývá spočíst obsahy dvou kružnic a trojúhelníku, nyní se vrhneme na trojúhelníčky. Oba trojúhelníky jsou pravoúhlé a rovnoramenné, jelikož ze zadání víme, že |DE|=|ES| a |CF|=|FS|, pak body E i F leží na úsečkách XS_{1} a YS_{1}, které jsou na sebe kolmé a to stejné platí o pro druhý trojúhelník. Stačí tedy zjistit délku strany ES_{1}, jelikož výška S_{1}F má stejnou délku. Tu zjistím tak, že od velikosti XS_{1}, kterou si dopočítám z pravoúhlého trojúhelníku XDS_{1} pomocí Pythagorovy věty, odečtu poloměr kruhové úseče (XE), který je polovinou strany čtverce:

\eqalign{ |XS_{1}|^{2} &= |XD|^{2} + |DS_{1}|^{2}, \cr |XS_{1}|^{2} &= 25 \mu_rm( m)^{2} + 25 \mu_rm( m)^{2}, \cr |XS_{1}| &= \sqrt{50} \mu_rm( m)^{2}= 5\sqrt{2} \mu_rm( m)^{2}, \cr }
|XS_{1}|-|XE|=|ES_{1}|,
|ES_{1}|= (5\sqrt{2}-5) \mu_rm( m) = 5(\sqrt{2}-1) \mu_rm( m).

Dopočítám nyní obsahy obou trojúhelníků:

2|ES_{1}|\cdot |S_{1}F|/2 = 25(\sqrt{2}-1)^{2} \mu_rm( m)^{2} \doteq 4,29 \mu_rm( m)^{2}.

Už jen zbývá spočítat obsahy dvou kružnic. Nejdříve si spočteme jejich poloměry pomocí Pythagorovy věty, která platí v trojúhelníku KSL, a toho, že přímky DL a DX jsou tečny ke kružnici y bodu D, tedy platí: |DL|=|DX|= 5 \mu_rm( m):

|KS|^{2}=|SL|^{2}+|LK|^{2},
\left(|XS|-|XK| \right)^{2} =\left(|SD|-|LD|\right)^{2} + r^{2} ,
\left(5 \mu_rm( m) -r\right)^{2} = (5\sqrt{2}- 5)^{2} \mu_rm( m)^{2} + r^{2},
10r=(50\sqrt{2}-50) \mu_rm( m),
r=5(\sqrt{2}-1) \mu_rm( m) .

Dopočítáme obsahy obou kružnic: 2\pi r^{2}=2\pi 25 (\sqrt{2}-1)^{2} \mu_rm( m)^{2} \doteq 26,95 \mu_rm( m)^{2}. Nakonec všechny vypočítané obsahy sečtu:

25 \pi \mu_rm( m)^{2} - 50 \mu_rm( m)^{2} + 25(\sqrt{2} -1)^{2}\mu_rm( m)^{2} + 2 \pi 25 (\sqrt{2} - 1)^{2} \mu_rm( m)^{2} \doteq
28,54 \mu_rm( m)^{2} + 4,29 \mu_rm( m)^{2} + 26,95 \mu_rm( m)^{2} = 59,78 \mu_rm( m)^{2}.

Obsah vyšrafovaných částí je tedy 59,78 \mu_rm( m)^{2}.

Komentář: Ne všechna řešení byla správná, hodně se vyskytovaly malé chyby. Jinak nedoporučuji používat vzorce z tabulek, které jste našli, ale nikdy neviděli, ani my je neviděli, protože jsou dlouhé, těžké a zbytečné, většinou to jde spočíst i jinak.

Úloha č. 3

Zadání si přepíšu do rovnice: 64a^{3}+b^{3}=1024, kde a, b jsou celočíselné hrany krychliček. Celou rovnici vydělím 64 a dostanu: a^{3}+\left(b/4\right)^{3}=16. Protože a i b jsou celá čísla, musí být b dělitelné čtyřmi (\left(b/4\right)^{3}=16-a^{3}). Levá strana rovnice je nezáporná, musí být nezáporná i pravá strana, dostávám podmínku: 16-a^{3}\geq0. Postupně se podívám, jak vypadají třetí mocniny čísel 1,2,3,\ldots:

  • a=1: \left(b/4\right)^{3}=15, číslo 15 není třetí mocninou žádného přirozeného čísla, a=1 není řešením.
  • a=2: \left(b/4\right)^{3}=16-2^{3}=8 \Rightarrow \left(b/4\right)=\root \of=2 \Rightarrow b=8
  • a=3: \left(b/4\right)^{3}=16-3^{3}=-13, tato možnost nepřipadá v úvahu, protože délka hrany b by byla záporná.
  • a=4,5,\ldots nepřipadají v úvahu, protože jejich 3. mocniny jsou větší než 16 (b by muselo být záporné).

Krychličky mají délky hran: a=2, b=8.

Komentář: Přišla spousta velmi pěkných řešení, ale také několik, ve kterých jste psali o stranách (správně: hrana) a obsahu krychličky. Dány byly vztahy pro objem, nikoliv pro povrch. Abyste dostali plný počet bodů, museli jste uvést korektní postup řešení a hlavně zdůvodnění, že vámi nalezené řešení je jediné. V opačném případě jsem strhávala 1 bod.

Úloha č. 4

Podle zadání lze sestrojit trojúhelník ABC (podle věty sss). Dále protože znám střed strany (A) a těžiště hledaného trojúhelníku (C), můžu sestrojit těžnici. Těžiště dělí těžnici v poměru 2:1 směrem od vrcholu, tedy na polopřímce AC můžu sestrojit bod M. Bod B je středem kružnice opsané novému trojúhelníku, a protože znám vrchol M trojúhelníku, můžu kružnici sestrojit. Střed kružnice opsané leží na průsečících os stran -- přímka AB je osou strany KL, je na ni kolmá. Můžu tedy sestrojit přímku kolmou na AB v bodě A, body K a L budou průsečíky této kolmice a kružnice opsané trojúhelníku. popis konstrukce:

  • \Delta ABC (sss)
  • M, M \in \poloprimka AC, |MC|=2|AC|
  • k (B,r=|BM|)
  • p, p \perp AB, A \in p
  • K, K \in p \cap k
  • L, L\in p \cap k
  • \Delta KLM -- 2 řešení

Komentář: Dva body jsem udělovala za popis a vysvětlení, jak z těchto údajů lze sestrojit trojúhelník. Bod za popis konstrukce a dva body za sestrojení.

Úloha č. 5

Tento příklad je trochu obtížnější, ale s trochou kombinatorických úvah, které všichni ovládáme se snadno dobereme výsledku. Nejdříve si příklad rozebereme na 4 podúlohy. A to podle toho kolik lidí nám jednotlivá kola vytvoří. Buď použijeme 2 a 9 lidí nebo 3 a 8 nebo 4 a 7 anebo 5 a 6. Každou možnost spočítáme zvlášť a pak jenom výsledky sečteme. Podívejme se tedy na kola o 4 a 7 lidech. Kolika způsoby můžeme lidi mezi tyto dvě kola rozdělit? Na to nám bude stačit obyčejné kombinační číslo, protože do skupiny o 4 lidech vybíráme z 11 a tedy možností je 11 ''nad'' 4. Jenže to jsme je zatím jenom rozdělili. Teď musíme pro každé kolo ještě spočítat možnosti jak budou za sebou naskládaní bez ohledu na pootočení. Jenže tady nám bude stačit metoda pevného bodu. To jest jednoho člověka zvolíme jako pevný bod a ostatní se naskládají za něj. Jak je vidno, takto se zbavíme možností navíc, které se liší pouze otočením. A tedy pro kruh o n lidech bude možností seřazení (n-1)!. Kolik tedy máme možností pro dva kruhy o 7 a 4 lidech?

11 ''nad'' 4 \cdot 3! \cdot 6!

Tedy násobíme počet možností rozdělení do těch dvou kruhů a možností seřazení do jednoho kruhu a do druhého kruhu, protože všechny tyto tři věci jsou na sobě nezávislé. Obdobně to uděláme pro zbylé tři možnosti a dostaneme součet:

11 ''nad'' 2 \cdot 1! \cdot 8! + 11 ''nad'' 3 \cdot 2! \cdot 7! + 11 ''nad'' 4 \cdot 3! \cdot 6! + 11 ''nad'' 5 \cdot 4! \cdot 5!.

Toto číslo hledáme. Při počítání můžeme udělat pár fint jako vytknout 11! a podělit faktoriály do následujícího tvaru:

11! ( 1/18 + 1/24 + 1/28 + 1/30 ) = 6636960.

A počet možností je na světě.

Komentář: ...

Úloha č. 6

a) Krychle stojící na hraně AB má objem V = a^{3}, kde a je délka její hrany. Krychli si rozdělíme na dva trojboké hranoly ADEBCF a EDHFCG (hranoly stojí na jedné ze stěn, nikoliv na podstavě), každý z nich má objem V/2. Voda tedy bude sahat i do horního hranolu. Výška hladiny v bude celková výška u, tj. délka úhlopříčky BG, od které odečteme výšku podstavy trojbokého hranolu v_{z} o objemu V/3, tedy části, která není vyplněna vodou.

v = u - v_{z}
u = \sqrt{2} a

Objem hranolu, který není vyplněn vodou známe, odtud vypočítáme velikost odvěsny podstavy (podstava je rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník o základně z a odvěsnách x. Objem hranolu se určí jako obsah jeho podstavy krát výška hranolu, výška našeho hranolu je rovna a, je to hrana původní krychle.

\eqalign{ a^{3} \over 3 &= x^{2}\over2 a \cr x &= \sqrt{2\over3} a \cr }

Pomocí Pythagorovy věty určíme velikost základny z:

z = \sqrt{2} x = 2\over\sqrt{3} a.

Stejně tak určíme velikost výšky podstavy v_{z}, jelikož se jedná o pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník víme, že výška v_{z} protíná základnu z v její polovině.

\eqalign{ v_{z} &= \sqrt{x^{2} - z^{2}\over4} \cr v_{z} &= \sqrt{2\over3 a^{2} - 1\over4 4\over3 a^{2}} \cr v_{z} &= 1\over\sqrt{3} a \cr }

Odtud již můžeme určit výslednou výšku vodní hladiny:

v = u - v_{z} = \sqrt{2} a - 1\over\sqrt{3} a,
v = a \left(\sqrt{2} - 1\over\sqrt{3}\right) = a \left(\sqrt{2} - \sqrt{3}\over3_right()).

Je-li krychle postavená na hraně AB tak, že rovina ABGH je svislá a krychle je naplněná ze dvou třetin, bude hladina vody sahat do výšky v = a \left(\sqrt{2} - \sqrt{3}/3\right) .

b) Stojí-li krychle na vrcholu A tak, že je tělesová úhlopříčka AG svislá, úloha je o trochu složitější. Hlavním pomocníkem nám zde bude vzorec pro výpočet objemu jehlanu, který zní

V = 1\over3 \cdot S \cdot v,

přičemž S značí obsah podstavy a v je velikost výšky jehlanu. Dalším poměrně základním vzorcem je obsah rovnostranného trojúhelníku o straně b

S_{b}=b^{2}\sqrt{3}\over4.

Jako přípravu k úspěšnému řešení nejprve spočteme objem jehlanu BDEA. To půjde poměrně snadno, stačí si uvědomit, že jeho podstavou je rovnostranný trojúhelník o straně a\sqrt{2} a výška je rovna a \sqrt{3}\over 3. Tu bychom spočítali jednoduchým použitím Pythagorovy věty postupně na pravoúhlé trojúhelníky ABE, BES a ABT, kde S je střed úsečky BD a T je těžiště trojúhelníku BDE. Dobře si postup zapamatujeme, neboť budeme obdobnou úvahu ještě používat.

Objem jehlanu BDEA je tudíž roven

V_{a} = 1\over3 \cdot S_{a\sqrt{2}} \cdot a\sqrt{3}\over3 = 1\over3 \cdot (a\sqrt{2})^{2}\sqrt{3}\over4 \cdot a\sqrt{3}\over3 = a^{3}\over6,

tj. jedné šestině objemu celé krychle.

Tím máme natrénováno, ale díky tomu si také všimneme, že pokud je krychle ze dvou třetin naplněna vodou, nemůže voda zasahovat až do jehlanu CFHG, kam by sahala, až v případě, že by bylo vody v krychli více než 5/6 objemu krychle.

Nyní se podívejme na následující obrázek.

Je to trochu netradiční pohled na krychli ABCDEFGH, neboť na ni hledíme shora, tedy vrchol A a G splývají. Leč na obrázku je ještě něco navíc. Provedli jsme totiž řez krychle rovinou XYZ, což je nějaká hladina vody. Ale zatím předpokládáme, že stěny EFGH, BCGF a CDHG vodě dovolily protéci až k vodou nepropustným rovinám ABD, ABE a ADE. To nám ovšem dává návod na to, jak vypočítat skutečný objem vody v krychli s hladinou na úrovni roviny XYZ. Vypočteme objem jehlanu XYZA a odečteme objemy tří malých jehlánků.

Nechť je tedy vodní hladina ve výšce x, ke zdárnému výpočtu objemu jehlanu XYZA potřebujeme znát délku úsečky XY, její výpočet se provede podobně jako se počítá výška v jehlanu BDEA s tím rozdílem, že nyní známe výšku a hledáme hranu podstavy. Že to je hodně počítání? Ale kdepak. Když si uvědomíme, že před tím byl poměr hrany podstavy ku výšce \sqrt{2} : \sqrt{3}/3 a tento poměr se zachovává, vyjde nám

|XY|=x\cdot3\sqrt{2}\over\sqrt{3}=x\sqrt{6}.

Objem jehlanu XYZA je potom

V_{x} = 1\over3 \cdot S_{x\sqrt{6}} \cdot x = 1\over3 \cdot (x\sqrt{6})^{2}\sqrt{3}\over4 \cdot x = x^{3}\sqrt{3}\over2.

A jak spočteme objem malých jehlánků? Inu podobně. Známe výšku, ta je rovna

y = x - a\sqrt{3}\over3.

Poměr hrany a výšky malých jehlánků je opět stejný, neboť se opět jedná o podobné jehlany, takže

y\over h = \sqrt{3}\over3 \over \sqrt{2},

tedy h=y\sqrt{6}.

Objem všech tří jehlánků je

3\cdot V_{y}= (y\sqrt{6})^{2}\sqrt{3}\over4 \cdot y = 3\sqrt{3}y^{3}\over2.

Objem vody v krychli je tedy

2a^{3}\over3 = V_{x}-3\cdotV_{y} = x^{3}\sqrt{3}\over2 - 3\sqrt{3}y^{3}\over2,
2a^{3}\over3 = x^{3}\sqrt{3}\over2 - (x-a\sqrt{3}\over3)^{3} \cdot 3\sqrt{3}\over2.

a po několika úpravách dostaneme rovnici

18x^{3}-27x^{2}a\sqrt{3}+27xa^{2}+a^{3}\sqrt{3}=0.

To je ovšem kubická rovnice, kterou není zrovna lehké vyřešit a to jsme ani po řešiteli nemohli chtít. Pakliže bychom použili nějaký vhodný program, vyšly by tři kořeny rovnice, ale jen jeden by ležel v požadovaném intervalu (a \sqrt{3}\over 3, 2a\sqrt{3}\over 3) a ten by byl přibližně roven x\doteq a\cdot 0,997345.

Omlouváme se řešitelům, kterým se tento dosti složitý příklad nepodařilo vyřešit, navrhujeme mu zkusit si ukázat, že vodní hladina bude sahat do výšky, která je menší než hrana krychle.

Potom by odpověď zněla, že tomu tak je, ač jen o chloupek.

Komentář: Část úlohy za b) byla těžká na výpočet, takže jsem se nakonec rozhodla pro následující bodování: 3 body za správné vyřešení úlohy a), 2 body za správné řešení úlohy b) i když bylo bez konečného výpočtu, příp. jen 1 bod, pokud bylo řešení jen nastíněno nebo nebylo úplně správně.

Úloha č. 7

Síť má 9 čtverečků, každý tvar má 4 čtverečky. Aby bylo možné pokrýt síť bez překrývání čtverečků a bez přesahování čtverečků ze sítě, musí počet čtverečků v použitých tvarech být roven devíti. Ale 9:4=2 zbytek 1, tedy použijeme dva tvary a jeden čtvereček vždy zůstane prázdný. Proto žádné pokrytí neexistuje.

Komentář: Ze zadání nebylo úplně jasné, zda pokrytí sítě znamená bez překrývání (a přesahování) nebo s ním, obě tyto varianty jsem hodnotila jako správné.

Opravovali: 1. Karolína Rezková, 2. Klára Krejčíčková, 3. Lucie Mohelníková, 4. Helena Pučelíková, 5. Jan Vaňhara, 6. Alžběta Nečadová, 7. Lenka Petržilková.

Vzorové řešení úlohy 6 b) zpracoval Ondřej Honzl.