Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.

Úloha č. 1

Nejprve si uvědomíme, jaká je rychlost, čas a dráha pro Janu i Bětku při jejich první cestě. Rychlosti obou děvčat známe ze zadání, vyjela zároveň, jejich časy se tedy rovnají. Dráhu, kterou urazily ke kapličce, neznáme. Pro přehlednost vše zapíšeme do tabulky.

Při cestě zpět jsou jejich rychlosti stejné jako při cestě tam. Jana vyrazila o 12 min (1/5 h) dříve než Bětka, čas Jany je tedy o 1/5 h větší. Zdolaná vzdálenost tentokrát bude pro Bětku s_{1}+4 a pro Janu s_{2}-4, protože se potkaly 4 km od kapličky. Vše je opět pro přehlednost zapsáno v tabulce.

Pro každou cestu každé slečny použijeme vztah mezi dráhou, rychlostí a časem s=vt. Dostaneme tak následující čtyři rovnice:

Soustavu můžeme vyřešit například tak, že s_{1} z rovnice (1) dosadíme do rovnice (4) a s_{2} z rovnice (2) dosadíme do rovnice (3):

Dále řešíme tuto soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:

Levou stranu druhé rovnice dosadíme do první za 5t_{2}:

Rovnici vyřešíme:

Když víme, jak dlouho trvala děvčatům cesta ke kapličce, spočítáme dráhu, kterou při tom urazila. K tomu použijeme rovnice (1) a (2):

Za t dosadíme 8/25 hod:

Vzdálenost mezi Angreštovicemi a Běloticemi se rovná součtu vzdáleností, které děvčata urazila, než se potkala u kapličky:

Angreštovice a Bělotice jsou od sebe vzdáleny 8 km.

Komentář: Uvedený postup je pouze jeden z několika možných způsobů řešení. Většina z vás úlohu vyřešila správně, jen u některých jsem měla problém sledovat postup. Piště proto prosím rovnice v tom pořadí, v jakém je počítáte, a napište, co které písmenko označuje.

Úloha č. 2

Označíme úhly a body dotyku kružnice vepsané jako na obrázku:

Úhly \alpha, \beta, \gamma a \delta mají dohromady 180\deg, protože AB\parallel CD a úhly \omega a \lambda jsou pravé (tečna kružnice je kolmá na poloměr v bodě dotyku).

Trojúhelníky XBM a YBM jsou shodné podle věty Ssu (mají společnou stranu MB, |XM|=|MY|, protože jsou to poloměry kružnice vepsané a \epsilon=\omega=90\deg). Proto platí \alpha=\beta. Obdobnou úvahou o trojúhelnících MYC a MZC zjistíme, že \gamma=\delta.

Máme tedy:

Z toho:

Velikost úhlu BMC je 90\deg.

Komentář: Všimněte si, že k určení velikosti úhlu BMC není potřeba o lichoběžníku vědět víc, než že se mu dá vepsat kružnice. Někteří z Vás předpokládali, že je lichoběžník rovnoramenný, což vůbec není nutné. Často se vyskytovala řešení typu „narýsuju a změřím“. Pořádný obrázek rozhodně není na škodu, pomůže vám si úlohu představit, případně i odhadnout řešení, ale potom je třeba hodnotu spočítat. Měření je totiž nepřesné, kdyby byl výsledek o malinko jiný, nepoznali byste to. Navíc zrovna u této úlohy by se musely narýsovat všechny možné lichoběžníky, abyste si mohli být jistí, že je úhel BMC opravdu vždy pravý, a to se Vám asi jen tak nepovede.

Úloha č. 3

Úloha se dá řešit více postupy, zvolila jsem postup, při kterém je potřeba z geometrie znát pouze, jak se spočítá obsah čtverce a pravoúhlého trojúhelníku.

Obsah trojúhelníku MAT si označím S (S=|MA|\cdot|MT|/2=6\cdot12/2=36 cm^{2}). Tento obsah si můžu také vyjádřit jako součet obsahů S_{1}+S_{2}+S_{3} (S_{1} je obsah \triangle OKT, S_{2} značí obsah PIKO, S_{3} je obsah \triangle IAK). Postupně vyjádřím tyto obsahy v závislosti na délce strany čtverce a:

Obsah \triangle MAT:

Obvod čtverce PIKO: o=4a=16 cm.

Komentář: Uznávala jsem všechna správná řešení, jež vedla k nalezení délky strany čtverce početní cestou. Velké množství řešitelů si úlohu narýsovalo a změřilo délku strany čtverce. Tento styl řešení nelze uznat, neboť je značně nepřesný. Pokud bychom zadali trojúhelník tak, že by vycházela neceločíselná délka strany, změřením byste tuto hodnotu neměli šanci správně určit (při měření dochází k nepřesnostem). Takováto řešení jsem hodnotila 1 bodem, neboť jste určili správně obvod čtverce. Podobné úlohy se řeší dopočítáním potřebných hodnot pomocí těch, které známe.

Nejčastěji jste řešili úlohu pomocí podobnosti trojúhelníků. Několik z vás napsalo, že trojúhelníky OKT, MAT a IAK jsou podobné, ale náležitě podobnost nezdůvodnili. Za neodůvodnění podobnosti jsem strhávala 1 bod (pokud nedošlo k jiné chybě, takovéto řešení dostalo 4 body).

Úloha č. 4

Máme zadaný obvod, výšku a úhel, a tak začneme tím nejjednodušším -- úhlem a výškou. Sestrojíme libovolnou přímku p a na ní zvolíme bod A. Z Bodu A vedeme přímku q, která bude svírat s přímkou p úhel 70 stupňů. Nyní využijeme výšku a narýsujeme přímku r rovnoběžnou s p ve vzdálenosti 5 cm. Průsečík q, r označíme B. Nyní ale již známe délku strany c, což můžeme pomocí rovnoramenného trojúhelníku nanést na přímku p a vznikne nám bod B'. Zbývá nám již pouze nanést 18 cm na polopřímku B'A za vzniku bodu X. Znovu využijeme rovnoramenného trojúhelníku a sestrojíme osu strany XB a její průsečík s p označíme C. Sestrojili jsme tedy trojúhelník ABC s danými rozměry.

Nyní formální zápis:

• p
• q;q svírá s p úhel 70\deg
• A;A \in p \cap q
• r; |pr|=5 cm
• B;B \in q \cap r
• B';B' \in p,|BA|=|B'A|
• X;|XB'|=18 cm
• C \in p \cap osa XB
• ABC.

Komentář: Viděl jsem spoustu pěkných řešení, ale na druhou stranu spousta z vás nepochopila, že se jedná o úlohu konstrukční a tudíž nelze délky, které neznáme, dopočítávat pomocí Pythagorovy věty, či dokonce goniometrických funkcí. Už vůbec nemůžeme hádat, kde by tak body mohly ležet s tím, že to pak „vyšlo“. Několik z vás se navíc snažilo konstruovat elipsu. Tento nápad k řešení bezesporu vedl, ale příště se prosím snažte konstrukční úlohy řešit jen za pomocí úhloměru, tužky, pravítka a kružítka.

Úloha č. 5

K řešení úlohy si stačilo uvědomit, že nemusíme znát přesné rozložení čísel v jednotlivých políčkách. Stačí vzít vždy několik políček, jejichž součet je jedna, a tedy ho známe. Oblasti vybereme tak, abychom každé políčko započítali právě jednou. Pokud sečteme tyto oblasti, dostaneme součet v celém čtverci. K vybrání každého políčka právě jednou potřebujeme 6 oblastí, součet v každé z nich je jedna. Tedy celkově bude součet 6.

Součet všech čísel ve čtverci je 6.

Komentář: Mnoho řešitelů dospělo ke správnému výsledku zkoušením. Lepší je zamyslet se nad zadaným problémem, než jen zkoušet nějaké možnosti. Za tento přístup jsem dávala 4 body. Za drobné chyby jsem strhávala bod.

Úloha č. 6

Zkušený počtář v naší úloze na první pohled spatří součet aritmetické posloupnosti. Sečíst prvních n členů takové posloupnosti (1, 2, 3, 4, 5,...) lze jednoduchým vzorečkem:

Ten, kdo tento šikovný vzoreček dosud nezná, může si jej snadno odvodit. Nechť si představí třeba pyramidu tabletek o 10 (n) patrech. Sečte-li 1. a 10. patro, nebo 2. a 9., nebo 3. a 8., dostane vždy součet 11 (tj. n + 1). Takto se od obou konců dopracuje až doprostřed a nebude více co sčítat. Získá tedy n \over 2 součtů o n + 1. A vzoreček je na světě. Toto je jistě jen ilustrace, jeho obecnou platnost (např. i pro liché n) si ještě důkladně promysli.

Umíme tedy tabletky spočíst, ale to nestačí. Potřebujeme ještě, aby součet byl ze stejných číslic. Jak to jen vyjádřit?

Je-li součet dvouciferný a k přirozené číslo, tak už jsme doma. Z toho také vyplývá, že součin n (n + 1) by měl být dělitelný 11. To by splňoval například součin 10\cdot 11 (n = 10) nebo 11\cdot 12 (n = 11), ale to už jsme vlastně dostali v zadání. Tak dál. Co 21\cdot 22? Tím už jsme ale hrubě překročili hranici dvouciferných čísel, budeme se tedy muset poohlédnout mezi trojcifernými.

Tentokrát tedy hledáme součin dělitelný 111. Jelikož se 111 prvočíselně rozkládá na 3\cdot 37, zabrousíme právě k 37. Součin 36\cdot 37 splňuje všechny požadavky dělitelnosti a pyramida o 36 patrech se bude skládat z...

... 666 tabletek! Součin nižších po sobě jdoucích čísel dělitelný 37 jak vidno těžko najdeme, tudíž je pyramida o 36 patrech správným řešením.

Komentář: Úlohu velká většina řešitelů správně vyřešila, krom těch několika, kteří opomněli trojciferná čísla. Hlavní rozdíl byl pak v užitém postupu. Řešitelé, kteří využili výše uvedeného vzorečku a pokusili si tak práci nějak sofistikovaně ušetřit, dostali plných 5 bodů. Ti, kteří vsadili na hrubou sílu bez špetky elegance, a prostě tak dlouho přičítali, až se slavnostně dopočítali, dostali pouhé body 3.

Úloha č. 7

Tento příklad byl trošku složitější než se na první pohled mohlo zdát. Nejprve musíme říct, kolika nejvíce hranami by mohl komár projít. Když kvádr umístíme do prostorové mřížky a vrcholu, kde je na začátku komár, dáme souřadnice (0,0,0) a vrcholu, kde chce skončit, dáme souřadnice (1,1,1) a k tomu jednotlivé hrany vedeme rovnoběžně s některou z hlavních os mřížky, pak zjistíme, že když komár projde po jedné z hran, změní se pouze jedna ze souřadnic a ostatní zůstanou nezměněné.

Změní se z jedničky na nulu nebo naopak. Takže pokud chceme se dostat z (0,0,0) do (1,1,1), musíme použít lichý počet hran ve stejném směru. Jenže tyto hrany jsou vždy 4 (reprezentované stejnou délkou). Takže musíme použít 3 nebo 1 z nich. Nejlepší by bylo použít pro každou souřadnici právě ty 3 hrany (aby ušel co nejdelší vzdálenost), což je také maximální vzdálenost, kterou by teoreticky mohl komár ujít. Celkově je to tedy 9 hran, kterými by měl projít, pokud by chtěl ujít co nejdelší vzdálenost. Nyní si všimněme, že každým vrcholem kromě počátku a konce (tedy zbylými 6 vrcholy) může projít maximálně jedenkrát. Protože když do něj přijde a odejde z něj, použije dvě hrany. Ale všechny vrcholy jsou spojené právě třemi hranami s ostatními. Tudíž opravdu každým vrcholem kromě počátku a konce projdu právě jednou (z počátku totiž odcházím jednou hranou a do konce jednou hranou přijdu a zůstanu tam a tudíž u nich mohu použít všechny tři hrany). Nyní si kvádr překresleme takto:

Délkami se nyní nezabýváme, protože každou délku (v tomto obrázku reprezentovanou rovnoběžnými hranami) projdu stejněkrát. Pokud chceme použít našich 9 hran a využít každou z hran počátku a každou z hran konce, tak nesmíme využít k pohybu právě tři hrany ve střední části předchozího obrázku. Tohle už chtělo trochu vyzkoušet, které hrany odebrat, ale víme, že musíme z ostatních šesti vrcholů vybrat ke dvěma vrcholům jednu hranu a ty tři hrany nesmějí být rovnoběžné, takže to nebylo zas až tak obtížné:

A skutečně jsme našli cestu, která zabírá požadovaný počet hran. Teď už jen spočítáme její délku, která byla: 3\times (4+12+26) = 126 cm. A je hotovo.

Komentář: Spousta lidí našla nějakou cestu (velice často špatnou) a o ní se snažili dokázat, že jim 118 cm stačí. Jenže nepomysleli, že můžou projít cílem a pak se do něj zase vrátit, což v zadání omezeno nebylo. Jinak bylo klasické rozložení správných a špatných odpovědí.

Opravovali: 1. Tereza Pechová, 2. Hana Bílková, 3. Lucie Mohelníková, 4. Lukáš Zavřel, 5. Alžběta Nečadová, 6. Pavel Houdek, 7. Jan Vaňhara.