Úloha č. 1

Úlohu řešíme v decimetrech. Vnitřní obvod o věže spočteme jako o = 2\pir = 40\pi dm. Počet schodů na jeden obvod věže je tedy roven n = 40\pi/4 = 10\pi.

Objem V válcového mezikruží spočítáme jako rozdíl objemů V_{1} vnějšího válce a V_{2} vnitřního válce věže:

V = V_{1}-V_{2} = \pi r_{1}^{2}v - \pi r_{2}^{2}v = \pi \cdot 20^{2}\cdot 1 - \pi \cdot 10^{2} \cdot 1 = 300\pi dm^{3}.

Objem jednoho schodu je $V_{s} = V/n = 300\pi/10\pi = 30 dm{3} $. Věž je vysoká 300 decimetrů a obsahuje N těsně na sebe navazujících schodů o výšce 1 dm_gr() , celkový počet schodů je proto 300. Celkový objem V_{s} schodiště dostaneme ze součinu $V_{s} = 300 \cdot 30 = 9000 dm{3} $. Nyní zbývá jen dopočítat hmotnost schodiště: $m = \rho \cdot V = 0,9 \cdot 9000 = 8100 kg$, což je konečný výsledek naší úlohy. Celé schodiště váží 8,1 tuny.

Komentář: Většina řešitelů se správným postupem dostala ke správnému výsledku, za což byli odměněni plným počtem bodů. Čtyři nebo tři body jsem udělovala za drobnou početní chybu, např. v převodu jednotek, ale správný postup při řešení. Řešitelé, kteří se nedostali ke správnému výsledku kvůli větší logické chybě nebo více chybám početním dostali jeden až dva body.

Úloha č. 2

Nejprve vytvoříme nový mnohostěn podle zadání. Vyznačíme středy všech stran domečku, poté spojíme ty středy, u kterých spojnice povede po stěně krychle nebo jehlanu.

Jediný problém nastává na spojení krychle a jehlanu, kde by mohla vzniknout čtyřúhelníková stěna ABCD nebo dvě stěny trojúhelníkového tvaru ABD a BCD. Záleží na tom, jestli všechny čtyři body A, B, C a D leží v jedné rovině. Jelikož část BCD je kolmá k původní horní podstavě krychle a část ABD nikoliv, neleží tyto čtyři body v jedné rovině, a tedy budou tvořit dvě stěny nového mnohostěnu. Tato situace nastává obdobně ve všech čtyřech rozích domečku. Ostatní vzniklé stěny jsou již jednoznačné, stačí určit jejich počet.

Nově vzniklý mnohostěn má 22 stěn.

Stěny nově vzniklého mnohostěnu jsou tvořeny pěti různými útvary:

  • čtverec se stranou a = 1 cm,
  • rovnoramenný trojúhelník se základnou a = \sqrt{2} cm a ramenami b = 1 cm,
  • rovnostranný trojúhelník se stranou a = \sqrt{2} cm,
  • čtverec se stranou a = \sqrt{2} cm,
  • rovnostranný trojúhelník se stranou a = 1 cm.

Čtverec o délce strany 1 cm má menší obsah než čtverec o délce strany \sqrt{2} cm. Všechny tři trojúhelníky mají nejdelší stranu dlouhou \sqrt{2} cm, budou tvořit vnitřní část čtverce o délce strany \sqrt{2} cm. Tudíž jejich obsah je menší než obsah tohoto čtverce.

Největší obsah mají stěny tvaru čtverce o délce strany \sqrt{2} cm. Čtyři jsou na bočních stěnách původní krychle a jeden na její podstavě.

Komentář: Většina došlých řešení obsahovala pouze více či méně správný výsledek. Důležitý je však postup, vaše myšlenky, jak jste ke svému výsledku došli. Další častou chybou bylo, že jste uvažovali krychli a jehlan zvlášť a pak jste se pokoušeli dávat dohromady dva nově vzniklé útvary. Celou dobu je potřeba pracovat s domečkem, tedy s krychlí a jehlanem dohromady. Při počtu stěn nového mnohostěnu je potřeba hlavně odůvodnit nejednoznačnou situaci kolem přelomu krychle a jehlanu (proč vzniknou dvě trojúhelníkové stěny a ne jen jedna čtyřúhelníková), což si nikdo neuvědomil. Určování stěny, která má největší obsah, už většině z vás nečinilo žádné potíže.

Úloha č. 3

Budeme postupovat podle informací, které dostáváme v zadání:

  • Součin cifer není nulový znamená, že ani jedna z cifer není 0.
  • Hledané trojciferné číslo obsahuje alespoň jednu číslici 5, protože součin cifer je dělitelný pěti. Důležité je, uvědomit si, že cifra 5 nemusí být na pozici jednotek, stačí pouze její výskyt v čísle.
  • Pokud je součet cifer dělitelný 11, může být pouze 11 nebo 22, neboť nejvyšší možný součet tří číslic je 3 \cdot 9 = 27 (pro číslo 999).

Nyní víme, co nám řekly podmínky v zadání, a přejdeme k samotnému řešení. Rozdělíme si součty cifer na případy, kdy je 11 a kdy 22.

Součet cifer je 11 a číslo obsahuje alespoň jednu pětku: 1+5+5 (už nemusíme samostatně řešit případ, kdy číslo obsahuje dvakrát číslici 5), 2+4+5, 3+3+5. Číslo může obsahovat nejvýše dvě pětky, protože $3 \cdot 5=15$ (není dělitelné jedenácti). Vytvoříme všechny permutace, ve kterých se vyskytují tyto trojice čísel: 155, 515, 551, 245, 254, 425, 452, 524, 542, 335, 353, 533. Celkem máme 12 trojciferných čísel.

Součet cifer je 22 a číslo obsahuje jednu pětku (nemůže jich obsahovat víc, protože 5+5=10 a do 22 zbývá 12, což není jednociferné číslo). Zde existuje jediná možnost: 5+8+9. Uděláme všechny permutace, ve kterých se tato čísla vyskytují: 589, 598, 859, 895, 958, 985. Celkem dostáváme 6 trojciferných čísel.

Skupinka měla celkem 18 členů.

Komentář: Setkala jsem se s velkou řadou moc pěkných řešení, ale i s řešeními, ve kterých bylo vidět, že autor nepochopil správně zadání. Největší problém dělal součin cifer dělitelný 5, předpokládali jste, že cifra 5 musí být na místě jednotek, případně, že má být celé číslo dělitelné pěti, což také odpovídá předchozímu popsanému případu. Důležité bylo popsat nějakým způsobem své řešení, případně zdůvodnit svůj postup. Strhávala jsem bod/y, pokud jste nalezli méně řešení než 18 (podle počtu Vámi nalezených řešení).

Úloha č. 4

Úhel ABC je pravý (ABCD je obdélník), tedy je úsečka BX výška trojúhelníku AFX na stranu AF. Můžeme proto vyjádřit obsah trojúhelníku AFX jako:

\eqalignno{ S_{\triangle AFX} &= |BX|\cdot|AF|/2. \cr}

Protože je |AF|=2/3|AB|, platí

\eqalignno{S_{\triangle AFX} &= |BX|\cdot|AB|\cdot2/2\cdot3,\cr S_{\triangle AFX} &= |BX|\cdot|AB|/3. & (1) \cr }

Dle zadání má platit

\eqalignno{ S_{\triangle AFX} &= 3/4\cdot S_{ABCD}. \cr }

Použitím známého vzorce pro obsah obdélníku dostáváme

\eqalignno{ S_{\triangle AFX} &= 3/4\cdot|AB|\cdot|BC|. & (2)\cr}

Nyní z (1) a (2):

\eqalignno{ |BX|\cdot|AB|/3 &= 3/4\cdot|AB|\cdot|BC|, \cr |BX| &= 9/4\cdot|BC|.\cr}

Protože |BC|=4 cm, musí |BX|=9 cm. Bod X tedy leží na polopřímce BC ve vzdálenosti 9 cm od bodu B.

Komentář: Většina z Vás si s úlohou poradila dobře. Nejčastější chybou bylo zbytečně brzké dosazování hodnot a následné zaokrouhlování desetinných čísel. Na to pozor. A nezapomínejte svá řešení pořádně komentovat.

Úloha č. 5

Pro začátek bylo důležité si uvědomit, že čtverec je zvláštním typem obdélníku. V případě použití jen samých "opravdových" obdélníků úloha neměla řešení.

Aby se nestalo, že umístím spoustu malých čísel a pak na ta velká nezbude místo, umístím nejdřív ta velká, pokud možno jednoznačně. Největší je 16, tu můžu umístit buď jako čtverec (4\times4) nebo svisle jako obdélník (2\times8). Zkusím najít něco jednoznačnějšího. Číslo 12 lze umístit jen jedním způsobem, do pravého dolního rohu vodorovně (4\times3). Tím se mi hned omezí možnosti pro 6 vlevo od 12 -- umístím ji hned vedle, vodorovně (3\times2). Tím už jsem vyloučila možnost umístit 16 jako obdélník, a musí to tedy být čtverec (4\times4). Číslo 3 vlevo dole lze umístit jen v rozměrech (3\times1), bude tedy úplně na levém dolním okraji. Hned nad něj přijde číslo 2 (2\times1). Potřebuji vyplnit sloupeček nalevo od čtverce 16. Na levém okraji tabulky je číslo 6, tak ho tam umístím (1\times6).

Mezi čísly 16 a 12 mi zbylo číslo 2 a taky jediná možnost, jak ho umístit -- svisle (1\times2). Číslo 4 nad právě umístěnou 2 nemůžu umístit jinak než čtverec (2\times2). Tím jsme dostali jednoznačnost pro umístění čísla 3 vpravo od 2 -- lze ho umístit jen vodorovně (3\times1). Číslo 2 úplně vpravo nad 12 lze umístit jen svisle (1\times2). Číslo 3 vedle právě umístěné 2 lze položit jen svisle (1\times3). Tím je vyřešené umístění čísla 4 nalevo od 3 -- svisle (1\times4) a čísla 2 napravo od 3 -- svisle (1\times2). Číslo 4 vpravo skoro nahoře lze umístit jen jako čtverec (2\times2). Tím mi zůstanou volná políčka v pravém horním rohu, která zaplním tím, že číslo 10 umístím vodorovně v rozměru (10\times1). Pro číslo 2 hned pod 10 už mi zbývá jen jedna možnost -- vodorovně (2\times1). Teď už můžu umístit číslo 8, protože je jednoznačné -- vodorovně (4\times2). Mezi číslem 8 a 10 mi zůstala prázdná políčka -- umístím tam zbývající 6 vodorovně (6\times1). Číslo 3 pod 6 lze umístit jen vodorovně (3\times1) a číslo ještě pod ním také vodorovně (2\times1). Tím mám zaplněnou celou tabulku.

Komentář: Chápu, že místy je další postup řešení zcela jasný, ale do řešení to napište. Rozhodně je mi milejší (a tím i víc bodovaná) popsaná A4 i sebejasnějším postupem, než čistě předložený výsledek, a postup abych si domyslela. Všechna řešení, která přišla, byla správně. Bohužel jen u málo z nich byl postup. Oceňovala jsem jakoukoli snahu o něj, a podle rozsahu jsem za něj udělovala 1 až 3 body. Za správně doplněnou tabulku bez postupu byly body 2.

Úloha č. 6

Přelévaní jednotlivých litrů můžeme začít vždy s plnou desetilitrovou nádobou (mohli bychom pokaždé pokračovat tam, kde jsme skončili, ale vyjde to úplně stejně).

Nejjednodušší je přelít:

  • 2 l a 8 l: z plné desetilitrové nádoby naplníme dvoulitrovou, 10 l-2 l=8 l nám zbylo v desetilitrové nádobě,
  • 7 l a 3 l: z plné desetilitrové nádoby naplníme sedmilitrovou, 10 l-7 l=3 l zbudou v desetilitrové nádobě.

Dále:

  • 4 l a 6 l: z (plné) desetilitrové nádoby odlijeme 2 l (do dvoulitrové nádoby) a ty přelijeme do sedmilitrové nádoby, toto opakujeme ještě jednou, v sedmilitrové máme 2\cdot2 l=4 l tekutiny a v desetilitrové 10 l-4 l=6 l,
  • 5 l: z plné desetilitrové nádoby odlijeme plnou sedmilitrovou nádobu a z ní odlijeme 2 l do dvoulitrové nádoby, v sedmilitrové nám zbylo 7 l-2 l=5 l,
  • 1 l: z plné desetilitrové nádoby odlijeme plnou dvoulitrovou a sedmilitrovou nádobu a zbude nám 10 l-7 l-2 l=1 l.

Zbývá nejtěžší úkol:

  • 9 l:
  • z plné desetilitrové nádoby odlijeme plnou sedmilitrovou,
  • ze sedmilitrové odlijeme 2 l do dvoulitrové a ty poté přelijeme do desetilitrové,
  • krok 2 opakujeme ještě dvakrát (tedy celkem do desetilitrové přilijeme 2 l+2\cdot2 l=6 l),
  • nyní je v desetilitrové nádobě 10 l-7 l+3\cdot2 l=9 l tekutiny.

Ano, s pomocí těchto nádob lze přelít 1, 2, 3, \ldots, 9 litrů tekutiny.

Komentář: Nejčastější chybou bylo odměření 9 l do dvou nádob (7 l+2 l), to je ale špatně, protože daný počet litrů má být v jedné nádobě a pokud bychom je chtěli přelít dohromady, tak se vejdou jen do desetilitrové nádoby a tam je zbývající litr. Pokud někdo úlohu pochopil tak, že není nutno mít tekutinu v jedné nádobě na konci přelévání, ale pouze přelít daný počet litrů odněkud někam, tak mu byla odpověď také uznána (měl jednodušší 9 l ale složitější 1 l).

Úloha č. 7

Úloha se dala řešit více způsoby, ukážu řešení pomocí rovnice. Skupinka šesti propadlíků se přidala pátý den, tedy tento pátý den už půjdou všichni. Počet osob obsahující celou skupinku označím jako x. Spotřeba zásob na osobu a den byla stále stejná, řeknu si, že je to jedna jednotka zásob. Víme, že kdyby šli všichni celých 7 dní, tak spotřebují všechny zásoby. Ale když šli čtyři dny v počtu x-6, tak jim zbyly zásoby na další dva dny, kdy už měla skupinka x osob.

Získávám tak rovnici:

\eqalignno{ 7x &= 4(x-6)+ 3x + 2x, \cr _NOALIGN(tu když vyřeším, dostanu:) x &= 12.}

Celá skupina měla 12 členů.

Komentář: Nejasnost byla v tom, co znamená, že se přidali pátý den, jestli s nimi už ten pátý den spotřebovávali zásoby či ne. Uznávala jsem obě řešení. Jinak byla úloha poměrně jednoduchá, občas jsem strhla nejeden bod za chybějící komentář a postup.

Opravovali: 1. Veronika Paštyková 2. Alžběta Nečadová 3. Lucie Mohelníková 4. Hana Bílková 5. Helena Pučelíková 6. Lenka Petržilková 7. Klára Krejčíčková