Zadání 5. série 25. ročníku
Pikosobota proběhne dne 27. 3. 2010 od 10 do 16h. Sraz je u východu stanice metra Nádraží Holešovice směrem k nádraží Praha-Holešovice (východ bez jezdících schodů).
Termín odeslání: 29. března 2010
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
V pondělí jsme rozdělili poslední krychli sýra.
Úloha č. 1
Krychli sýra označme ABCDEFGH. Tuto krychli jsme rozřezali rovinou CFX, kde X leží na přímce AB tak, že A je střed úsečky XB. Tento řez rozdělil sýr na dva díly. Větší jsme snědli hned v pondělí, menší nechali na úterý. Sestrojte tento řez a určete poměr objemů obou dílů.
Ve středu už sýr nebyl.
Ve čtvrtek začal hlad.
V pátek jsme narazili na civilizaci. Pět džípů. V každém čtyři vojáci. Cestou dolů: v každém čtyři vojáci a jeden až dva členové naší expedice.
Mělo to své výhody i nevýhody. Do Bokalvy bychom jinak pěšky šli ještě několik dní; takhle jsme se tam dostali za pár hodin. Také najíst jsme dostali. Ovšem neměli jsme své cestovní pasy. Neměli jsme opasky, neměli jsme tkaničky od bot a na oknech našeho „hotelu“ byly mříže.
Minžerská armáda o víkendu nepracuje (malý tip pro nepřátelské státy). V cele jsem byl s Jakubem. Krátili jsme si čas hraním piškvorek -- Jakub odněkud vyhrabal křídu, takže jsme mohli hrát na kamenné podlaze.
Úloha č. 2
Našel jsem v krosně jeden starý, ale veliký pytlík Hašlerek. Navrhl jsem, že kdo vyhraje jednu partii, dostane Hašlerku. Jakub nesouhlasil; nakonec jsme se domluvili, že vítěz dostane vždy určitý počet Hašlerek a poražený určitý menší, ale nenulový počet. Hráli jsme několikrát za sebou. Když už byla podlaha kompletně počmáraná, přestali jsme. Já jsem do té doby vyhrál 54 a Jakub 45 Hašlerek. Kolik bral v každém kole vítěz a kolik poražený?
Pro Jakuba jsem byl asi nudným společníkem. On byl spíše sportovní typ, zatímco já raději přemýšlím. Piškvorky se mnou hrál jen velice nerad; v cele ovšem nebylo jinak moc co dělat. Tak jsme si povídali o všem možném, třeba jak se těšíme domů, kdo má chytřejšího psa, kolik bychom chtěli mít dětí a s kým, kde rostou nejšťavnatější pomeranče, proč byl Kraus zvolen prezidentem atd.
Naštěstí nám vojáci nechali veškeré naše oblečení.
Úloha č. 3
Měl jsem s sebou černou, zelenou, modrou a oranžovou košili, černé, modré a zelené kalhoty, černé a hnědé boty a deset párů ponožek, každé s jiným vzorem. Černou košili nikdy neoblékám k zeleným kalhotám, to se nehodí. K zeleným kalhotám jsou také zcela nepřípustné oranžově kostkované, růžově páskované a také modře tečkované ponožky. Stejně tak jsou nepoužitelné kombinace modře tečkovaných, žlutě károvaných, zcela bílých a bledě zeleně flekatých ponožek s hnědými botami. Jinak snesu vše. Jak dlouho mohu zůstat v cele, chci-li mít každý den jinou kombinaci oblečení (tj. košile, kalhot, ponožek a bot)?
Tak dlouho to ovšem netrvalo. Hned v pondělí se nám začali vojáci zase věnovat. Po jednom nás odváděli k výslechu.
Úloha č. 4
Stůl, jenž vyslýchající odděloval od vyslýchaného, měl tvar rovnoběžníku o obvodu 4 m. Jedna jeho úhlopříčka byla dlouhá 140 cm a s jednou z jeho stran svírala úhel 30\deg. Sestrojte tento rovnoběžník v měřítku 1:20.
Otázky vojáků nebyly zrovna nápadité. Kolik nás je, odkud jsme přišli, kdo je šéfem výpravy, co hledáme ve skalách, proč s sebou vláčíme teleskopy, kam jsme ukryli pušky... Jsem rád, že se po celou dobu chovali korektně. Nedopustili se na mně žádného násilí, o mučení nemluvě. Možná proto, že jsem spolupracoval: Na všechny otázky jsem odpověděl popravdě. Až na ty pušky.
Úloha č. 5
Řekl jsem, že pušky jsou zakopané u nás doma na čtvercovém dvoře. Celkem jsme prý měli 37 pušek a 12 pistolí. Nakreslil jsem jim dokonce plánek:
V plánku jsou pušky označeny tečkami, pistole tečkami v kroužku. Nakreslil jsem je tak chytře, že všechny pušky lze spojit lomenou čárou složenou z 12 úseček, které mají krajní body v pistolích a navazují na sebe. Čára přitom neopustí čtverec ohraničený těmito body. Nakreslete, jak je to možné udělat.
Nevím, nakolik brali vojáci moje sdělení o puškách a pistolích vážně, nicméně přeřadili mě do jednolůžkové cely. Správně se tomu asi říká samotka. Nevím, nemám s vězněním žádné velké zkušenosti.
Úloha č. 6
Moje cela měla velmi zajímavý tvar: tvar útvaru IJKLMN na obrázku. Strany IJ, JK, KL, LM měří 65 cm, strany IJ, KL a MN jsou rovnoběžné, stejně jako JK, LM a IN. Body A a B jsou středy úseček IN a NM. Vzdálenost A a B je 120 cm. Uprostřed je malá kruhová postel, jejíž obvodová kružnice se dotýká stran IN a NM a prochází bodem K. Jaký je obsah šedivé plochy cely? Poznámka: Obsah trojúhelníku je roven součinu poloměru kružnice tomuto trojúhelníku vepsané a poloviny součtu délek jeho stran.
V této cele jsem přečkal dvě noci a dva dny. Ve středu večer nás vojáci eskortovali na letiště.
Úloha č. 7
Na letišti v Bokalvě byl zvláštní orloj. Hodiny v časových údajích byly uvedeny římskými čísly I--XII. Tato čísla však neměla svůj obvyklý význam: např. III neznamenalo 3, nýbrž 9. Přiřazení „normálních“ časových údajů římským číslům bylo provedeno tak chytře, že fungovalo i obvyklé sčítání: že tedy např. VIII hodin poté, co bylo II, bylo X nebo že IX hodin po V bylo II. Jaké hodinové údaje odpovídaly jednotlivým římským číslům?
Ve čtvrtek ráno jsme v Praze od české policie dostali zpět své cestovní pasy. Naše expedice tím, poněkud neslavně, skončila.