Zadání 4. série 25. ročníku

Pikosobota proběhne dne 27. 2. 2010 od 10 do 16 h. Sraz je u východu stanice metra Nádraží Holešovice směrem k nádraží Praha-Holešovice (východ bez jezdících schodů).

Termín odeslání: 1. března 2010

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.


Cesta z Jochinamby byla nepříjemná. Vedla příkrým strmým svahem, všude kolem skaliska a trnité rostliny. Několikrát jsme téměř sešli z cesty, ale vždycky jsme si chybu naštěstí včas uvědomili.

Myslím, že to bylo třetí den, potkali jsme Kosodélník.

Úloha č. 1

Kosodélník mi z mého nejmilejšího čísla -- je devítimístné a každou z číslic 19 obsahuje právě jednou -- ukradl jednu číslici. Nové číslo bylo, musím uznat, neméně zajímavé. Bylo beze zbytku dělitelné osmi i jedenácti, první dvojčíslí bylo přitom dělitelné devíti. Ciferný součet nového čísla byl 42. Největší a nejmenší číslice nového čísla byly vedle sebe. Druhá největší a druhá nejmenší číslice byly rovněž vedle sebe. Také vedle sebe byla třetí nejmenší a čtvrtá nejmenší číslice. Konečně i třetí největší a čtvrtá největší číslice byly vedle sebe. Najděte největší číslo, které splňuje všechny tyto podmínky.

Kosodélník pouštěl hrůzu. Z očí mu sálal oheň, čelo měl porostlé mechem, z uší se mu kouřilo. Místo nosu měl kropítko. Báli jsme se, aby nezačal čarovat.

Začal.

Úloha č. 2

Vyčaroval tři válcové plochy. Vznášely se ve vzduchu tak, že jejich osy souměrnosti se protínaly v jednom bodě a byly na sebe po dvou kolmé (byly tedy přesně jako osy kartézské souřadnicové soustavy). Poloměry vymyslel Kosodélník tak, že se všechny tři válcové plochy protínaly v největším možném počtu bodů. Kolik to bylo bodů?

Válcové plochy nás dosti vystrašily. David posléze napsal: „Jakživ jsem nezažil nic tak strašného, hrozného, a přitom uchvacujícího, jako byly tyto plochy.“ Jistě si to dokážete představit.

Jakub dokonce zbledl a přestal se ke mně lísat. To bylo snad poprvé od chvíle, kdy mu došlo, že jsem mu nerozbila dalekohled.

Jednotlivé plochy začaly rotovat okolo svých os. Kromě toho se začaly pohybovat ve vzduchu tak, až to vypadalo, že nám rotující plochy co nevidět uříznou hlavy.

V tu chvíli zasáhla Eliška. „Kosodélníku“ vykřikla.

„Co je?“

„Podívej, mám šachovnici“

Opravdu, Eliška odkudsi vytáhla šachovnici s velice zajímavou pozicí. Kosodélník to neohromilo, spíše dožralo. Ostře se na šachovnici zahleděl, čímž způsobil, že většina polí shořela.

Kdyby byla Eliška raději mlčela, pomyslela jsem si.

Úloha č. 3

Ze šachovnice zbylo torzo, na kterém stáli dva bílí a dva černí jezdci. Vypadalo to takto:

Eliška, hloubavé děvče, se zamyslela. „Kosodélníku“ zvolala opět. „Jak bys těmihle jezdci táhl, abys vyměnil černé za bílé?“

„To nejde“ zaburácel Kosodélník. To bylo poprvé, co promluvil.

„Jde“ na to Eliška.

Kosodélník se zkroutil, zajíknul, protočil, zaštěrkal, pošuměl a zrůžověl.

Jak táhnout jezdci na zbytku šachovnice, aby si bílí a černí vyměnili pozice? Táhnout lze samozřejmě jen na pole, která z šachovnice zůstala. Jezdec (tzv. kůň) táhne jako v šachu, do písmene L, tedy dvě pole vpřed a jedno do strany. Jezdci se mohou pohybovat přes obsazená i přes spálená (zničená) pole, ale skončit musí na některém z polí, které na šachovnici zbylo a není obsazené jiným jezdcem. Napište jednotlivé tahy.

Zaskočený kosodélník KLMN ztratil veškerou sílu a přeměnil se na deltoid ABCD.

Úloha č. 4

Sestrojte nekonvexní deltoid ABCD, jestliže platí AC \perp BD, |BD|=6 cm. Označme S průsečík úhlopříček. Označme K, L, M, N body, které leží po řadě na úsečkách AB, BC, CD, AD takové, že KS \perp AB, LS \perp BC, MS \perp CD, NS \perp AD. Dále platí KL \parallel DB a vzdálenost těchto přímek je 2 cm. Poznámka: Deltoid je čtyřúhelník, u kterého mají dvě dvojice vzájemně přiléhajících stran stejnou velikost. Nekonvexní znamená, že některý vnitřní úhel má velikost větší než 180\deg.

Deltoidu jsme se pochopitelně nebáli ani trochu. Deltoid není jako kosodélník. Dokonce válcové plochy se proměnily na kuželové plochy a odletěly neznámo kam. Jakubovi se vrátila zase lidská barva a strach jej opustil. Zeptal se mě, jestli bych si s ním nedala sýr.

Jelikož jsem od přírody hodné povahy a nikoho nechci urazit, byla jsem na něj i tentokrát milá a dala jsem si s ním sýr. Koneckonců, měla jsem i trochu hlad. Nicméně tak celkově to ode mě asi nebylo moc chytré, chovat se k Jakubovi mile, protože tím jsem v něm asi živila jeho naděje.

U sýra začal zase divně mluvit...

„Chtěl bych si vybrat nevěstu,“ řekl Jakub.

„Hm,“ já na to.

„Mám doma kouzelné zrcadlo.“

„Vážně?“ zeptala jsem se, předstírajíc zájem.

„To zrcadlo ví odpověď na každou otázku. Ale odpovídá jenom ano a ne.“

„Zajímavé. Na co by ses ho tak zeptal?“

„No,“ asi nevěděl, jak to říct, „potřeboval bych zjistit, která z vás tří je nejlepší nevěsta.“

„Z nás tří?“ zeptala jsem se už poněkud otráveně.

„No,“ řekl Jakub, „jako jestli ty, Eliška, nebo Tereza.“

„Hm.“

„Potřeboval bych vědět, která z vás je nejkrásnější, nejchytřejší, nejbohatší, nejmilejší a nejpracovitější...“

„Tak se zrcadla poptej, a až budeš mít jasno, dej mi vědět,“ ukončila jsem rázně tento rozhovor a vrátila se k ostatním.

Úloha č. 5

Jakub by chtěl tu nejbohatší, nejkrásnější, nejchytřejší, nejmilejší a navíc nejpracovitější nevěstu, a nebo takovou, která splňuje co nejvíce těchto vlastností. Kandidátky má tři. K ruce má kouzelné zrcadlo. Zrcadlo umí odpovědět „ano“ a „ne“ na každou otázku, kde jsou maximálně tři atributy. Mezi atributy patří jméno, krása, chytrost, bohatost, milost a pracovitost. Kolik nejméně dotazů je potřeba, aby Jakub zjistil, která z kandidátek je ta pravá?

Eliška mezitím z dlouhé chvíle dělila mezi ostatní trojúhelník sýra.

Úloha č. 6

Eliška vzala trojúhelníkový kus sýra a rozdělila jej těžnicemi na šest dílů, které po dvou prohlásila za nedělitelné kusy (viz obrázek). Tereza dostala na výběr mezi kusem 1, 2 a 3. Vybrala si 1 a Davidovi zůstal výběr mezi 2 a 3, z nichž si vybral 2, protože mu připadal větší. Nejmladší Ondřej však nebyl smutný z toho, že dostal kus 3, protože si dokázal spočítat, jaký podíl z celého trojúhelníku zabírá. Dokážete to také? V jakém poměru jsou plochy kusů všech tří?

Pokud si dobře vzpomínám, všude bylo hrozné sucho. Pastýři, které jsme potkali, nám vyprávěli, že už hrozně dlouho nepršelo. Že prý sucho bylo ještě horší než jiné roky. Vzpomínám si, že nám docházela voda. Cestou jsme ale našli cosi, co se nám zalíbilo: basu bezedných skleniček.

Úloha č. 7

Byly to sklenice plné vody, které měly na dně otvůrek, kterým přitékala voda stálou rychlostí. Když ve skleničce není žádná voda, sklenička přestane produkovat vodu. Všichni lidé pijí stejně rychle a ve třech jsme tuhle skleničku vypili za 1 minutu. Když jsem pila sama, trvalo mi to 5 minut. Za jak dlouho vypijí bezednou skleničku dva lidé?

Ráda bych vám toho ještě hodně o naší vědecké výpravě povídala, ale není čas. Musím vařit večeři. Za chvíli se vrátí domů...