Zadání 3. série 25. ročníku
Termín odeslání: 18. ledna 2010
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Tak prý vám mám vyprávět, co jsme na té výpravě prožili, a prý mám začít tím, jak přišla bouřka, říkali. No nevím, co vám už kdo všechno napovídal, ale asi z toho moc moudří nejste, protože moji kolegové jsou všelijací, jak už to bývá.
Takže především, naše výprava byla šestičlenná, to si pamatuji velice přesně, to ještě vím. Já si to samozřejmě všechno pamatuji zcela přesně, vždyť jsem u toho byl, já jsem to všechno zažil a paměť mám dobrou. Teď vám to tedy vypovím.
Bylo nás šest, Tereza, Eliška, Lucie, Jakub, David a já. Měli jsme vědecký úkol, ale ten byl tajný, to vám asi nesmím povídat, a stejně z něj nakonec nebylo nic.
Dobře jsem si rozuměl s Terezou a Eliškou. Měli jsme ideální věkové složení, myslím v téhle miniskupině.
Úloha č. 1
Jsem o rok mladší než Tereza. Součet mého věku s věkem Eliščiným je o 3 menší než dvojnásobek věku Terezina. Za dva roky bude poměr věků Terezy a Elišky 16:15. Kolik je nám let?
Takže bouřka. To bylo, myslím, v pátek. Nebo ve čtvrtek. Ne, v pátek. Z ničeho nic, docela nás překvapila, nikdo ji neočekával. Víte, my jsme předtím asi týden šli suchou náhorní krajinou, po dešti ani památky, vody vůbec moc nebylo, žízeň jsme měli, na bouřku jsme nemysleli.
Úloha č. 2
Mysleli jsme na hlouposti. Eliška se mě zeptala, jak se narýsuje rovnoběžník ABCD těchto vlastností: |AB|=7 cm, $|\angle BAD| = 60 \deg, strana CD prochází průsečíkem M os úhlů BAD$ a ABC. Sestrojte jej také.
To byla celá Eliška.
Neboli jak už jsem říkal, na bouřku jsme v podstatě připraveni nebyli, kromě mě teda, já jsem na bouřku pochopitelně připravený byl, nebo aspoň na déšť, deštník jsem měl, jezdit bez deštníku do hor?? O mně se vůbec ví, že jsem předvídavý, a bouřka se teda podle mě dala čekat.
Úloha č. 3
Můj deštník měl tvar jehlanu, pravidelného čtyřbokého jehlanu. Zajímavé na tom je, že doma mám sud, průměr jeho podstavy je stejný jako délka hrany podstavy tohoto jehlanu: 80 cm. Navíc jehlan a válec mají stejný objem a obsah pláště válce je stejný jako součet obsahů obou jeho podstav. Jaká je výška jehlanu?
Deštník mi všichni samozřejmě záviděli, jenže měl jsem jenom jeden, pod ten jsme se nevešli, navíc začínalo dost hustě pršet. Hledali jsme rychle místo, kde bychom se mohli schovat, což nebylo tak lehké, jak se zdálo. Nakonec jsem dostal skvělý nápad, sešel jsem poněkud ze stezky pastýřů doprava a vpravo jsem našel jeskyni, ve které jsme se všichni mohli schovat.
David si vzpomněl na náš let, nevím, co ho to napadlo, protože na ten let bychom všichni rádi zapomněli, jenom David ne, ten si vzpomněl, jak jsme letěli nad městem Rascacielid.
Úloha č. 4
Rascacielid je město plné mrakodrapů. Město vypadalo z letadla jako čtverec 5\times5. Navíc bylo z letadla vidět, že mrakodrapy jsou pěti různých výšek. Architekt byl tak důmyslný, že v každém bloku (sloupci nebo řadě čtverce) je každá výška právě jednou. Všiml jsem si, že mrakodrap nejmenší výšky je ve vyznačeném místě ve městě.
Máme jedenáct pozorovatelů, kteří stojí na okraji města vždy před nějakým blokem. Čísla na obvodu města tedy znamenají, kolik mrakodrapů pozorovatel z tohoto místa viděl. Je samozřejmé, že nižší mrakodrap se schová za vyšším a pozorovatel ho nevidí. Na obrázku vpravo je příklad sousedního města, které je o trochu menší, ale od stejného architekta. Na obrázku vlevo je naše město. Víte, jak vypadá?
Přese všechnu hrůzu bouřky, po půl hodině jsme si zvykli, koneckonců byli jsme v jeskyni v suchu, a plánovali jsme, co dál. Tereza měla celkem dobrou připomínku, že nemůžeme nic moc plánovat, jelikož nevíme, jak dlouho bude bouřka trvat. Zdálo se nám čím dál více, že v jeskyni budeme nocovat a možná ne jednou.
Eliška si začala do prachu kreslit trojúhelníky.
Úloha č. 5
Kolik je na Eliščině obrázku rovnoramenných lichoběžníků?
Pomalu se setmělo, a tak jsme pojedli sýra od pastýřů, který jsem prozíravě nacpal všem kolegům do batohu, sobě teda taky, takže jsme měli dost, i kdyby měla bouřka trvat týden. Naštěstí netrvala, ale to jsme tehdy ještě nevěděli. Posléze jsme šli spát.
Druhý den ráno stále pršelo, což jsem trochu očekával, poněvadž když prší, tak prší, ale blesky a hromy jsme viděli a slyšeli již jen sporadicky. Jakub samozřejmě navrhoval vyrazit, protože Jakub je trochu střelený, ale naštěstí byl jediný, kdo chtěl vyrazit, takže jsme posnídali sýra a začali hrát hry.
Úloha č. 6
Tereza s Eliškou si hrály s kostkami, které prý našly někde v rohu jeskyně. Chtěly postavit pyramidu, ve které by každá vrstva (kromě té nejvyšší) měla stejný počet kostek, jako je ve všech vrstvách nad ní. Nakonec se jim to podařilo. Použily celkem 651 kostek. Kolik kostek bylo v nejvyšší vrstvě?
Ve znamení her proběhl skoro celý den. V našem tehdejším stavu nás už žádný ztracený den nemohl ještě více psychicky poznamenat, nýbrž naopak se mi zdálo, že jeden den volna nám jen prospěje. Pochopitelně jsem se nemýlil, protože když o den později přestalo pršet, byli najednou všichni v mnohem lepší náladě než kdykoli předtím, a navíc jsme stále měli zásobu sýra!
Vyrazili jsme tedy hned po snídani zase směr údolí. Nešlo to moc dobře, protože bylo mokro, ale hlavně, protože jsme hned po hodině pochodu potkali kosodélník...
Úloha č. 7
Byl to kosodélník KLMN, |LN| = 8 cm, |KL| = 6 cm. Vzdálenost přímek KL a MN byla 6 cm. Mezi přímkami KL a MN procházela v 1/3 přímka p rovnoběžná s KL, na ní ležela úsečka AB (uvnitř kosodélníku). Obsahy čtyřúhelníků KAMN, AKBM a KLMB byly v poměru 5:4:3. Jak dlouhá byla úsečka AB?
