Zadání 2. série 25. ročníku
Pikosobota proběhne dne 12. 12. 2009 od 9:30 do 16 h. Sraz je u východu stanice metra Nádraží Holešovice směrem k nádraží Praha-Holešovice (východ bez jezdících schodů).
Termín odeslání: 14. prosince 2009
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
V úterý jsme konečně dorazili do sedla Jochinamba. Po třech dnech náročného pochodu, dlouhého stoupání, téměř bez jídla a s nedostatkem vody. Na to, že jsme spolu cestovali poprvé, byla celá skupina poměrně bezkonfliktní. Snad jen mezi Jakubem a Lucií to trochu jiskřilo...
V záporném smyslu toho slova.
Nahoře v sedle je taková malá útulná chatka, kde pocestný najde i něco na zub. Zásoby pravidelně doplňují místní pastýři. Konečně jsme se pořádně najedli, dokonce i vody tam bylo dost. Přestože jsme dorazili časně, již kolem třetí hodiny odpolední, rozhodli jsme se, že v chatičce přenocujeme a trošku se zotavíme, než začneme sestup směr civilizace.
V podvečer dorazili dva pastýři. Dali jsme se do řeči, pochopitelně, a dozvěděli jsme se zajímavé věci. Dověděli jsme se také věci, které nás až tak nezajímaly; například o jejich problémech s hroznýši.
Úloha č. 1
Pastýři chovají horské kozy. Celkově odpovídají za 42 pastvin, na každé z nich měli původně 9 koz. Pak se ale objevil hroznýš. Byl to nějaký pomatený hroznýš, který se neživil kuřaty či králíky, ale dávil kozy. Každou noc uškrtil 13 koz. Pastýři každý den přivedli z údolí nových 6 koz. Když jim však na jedné pastvině chyběly už celé tři kozy, naštvali se, hroznýše vyslídili a zabili...
Eliška, která měla sklony nad vším příliš přemýšlet, se mi večer svěřila se svými úvahami.
„Naštvali se, až když jim na jedné pastvině chyběly tři,“ řekla.
„No jo no,“ já na to.
„To znamená, kdyby byl hroznýš chytrý...“
„Prosím tě, jak by mohl být hroznýš chytrý?“
„Připusťme, že je. Je chytrý, ale žravý, proto žere kozy. A chce jich sežrat každou noc třináct...“
„Já jim stejně nevěřím, že to je hroznýš. Podle mě si to vymysleli, aby nás zmátli.“
„To je jedno. Počkej. Kdyby byl chytrý, mohl by ty kozy žrát tak, že by docela dlouho na žádné pastvině nechyběly tři. Hlavně kdyby pastýři těch šest koz doplňovali nějak rovnoměrně... nebo nějak... co já vím...“
Jak dlouho může hroznýš žrát kozy a pastýři je doplňovat, aby na každé pastvině bylo stále alespoň sedm koz?
Jiné věci byly v chatce zajímavější. Tak třeba, jak ukládali sýr.
Úloha č. 2
Sýr byl tvaru koule a byl zavěšen pod stropem na třech nitích, na takových špagátech. Nitě byly k sýru připevněny ve třech bodech, z nichž každé dva měly stejnou vzdálenost. Tyhle tři body byly v rovině rovnoběžné se stropem a na opačném konci sýra („koule nemá konec“ připomněla mi Eliška, když viděla, co píšu), tak tedy v nejnižším bodě sýra si představme další bod, který spolu s těmi třemi závěsnými body tvoří vrcholy kolmého jehlanu. Právě v tomhle jehlanu je sýr nejlepší!
Jaký objem nejlepšího sýra skrývá jedna sýrová koule o poloměru 5 cm, jestliže rovina závěsných bodů je od středu této koule vzdálena 3 cm?
Největším překvapením pro nás byly Tatranky! Představte si to, pastýři zde, v Jochinambě, mají Tatranky!
Úloha č. 3
Výrobci Tatranek jsou však dobří obchodníci. Původní Tatranky měly 50 gramů, prodávaly se za pět korun a zisk výrobce na jedné Tatrance byl jedna koruna. Přitom desetina nákladů byla na obal. Potom začali prodávat ve stejném obalu za stejnou cenu Tatranky, které už mají jen 40 gramů. O kolik se tímto opatřením zvýšil zisk výrobce z jedné Tatranky? Kolik je to v korunách a kolik je to v procentech?
Úloha č. 4
Před chatkou měli pastýři takovou plochu, čtverec to byl. Čtverec, jehož jedna strana měřila osm metrů. Vlastně každá jeho strana měřila osm metrů, vždyť to byl čtverec. Trošku mi to připomínalo plochu, kde jsme jako děti dělali nástupy na letním táboře. Na úhlopříčce toho čtverce, přesně v její jedné čtvrtině, stál první totem. Kolem něj byl nakreslen kruh, který se dotýkal nejbližších dvou stran čtverce. Kromě tohoto totemu byl na téže úhlopříčce ještě jeden totem. Kolem něj byl rovněž nakreslen kruh, který se dotýkal zbylých dvou stran čtverce a zároveň prvního kruhu. Jak daleko od sebe byly totemy?
Pak jsme se od pastýřů dověděli mimo jiné, jak rychle se v horách může změnit počasí, kolik kozího mléka je třeba na výrobu jednoho kilogramu sýra (osm litrů), proč je teď všude tolik turistů, kolikrát denně koza zamečí a tak... Pak jsme šli spát.
Ráno byl Jakubův dalekohled rozbitý. Jakub obvinil pochopitelně Lucii, Lucie si myslela, že to udělal Ondřej, Ondřej zase tvrdil, že si to Jakub udělal sám (koneckonců rozbil si už i hodinky).
Úloha č. 5
Oficiálně učinili tyto výpovědi:
Jakub: „Dalekohled rozbila Lucie. Vůbec nemám rád modrooké holky. Já jsem si dalekohled určitě sám nerozbil.“
Lucie: „Nic z toho, co říká Jakub, není pravda. Dalekohled totiž rozbil Ondřej. Já to nebyla“
Ondřej: „Lucie lže, když říká, že nic z toho, co řekl Jakub, není pravda. Jakub totiž opravdu nemá rád modrooké holky. Ale já ten dalekohled nerozbil“
Nakonec se ukázalo, že každý v právě jedné ze svých tří výpovědí lhal. Kdo rozbil dalekohled?
Po snídani (kozí sýr byl opravdu výtečný) jsme vyrazili směrem nížina. Pastýři na koních cestu zvládnou za den, my jsme pěšky plánovali dny tři. Počítali jsme ale s pěkným počasím. Eliška počítala s čísly.
Úloha č. 6
Napsala si rovnost
Jaké číslice je třeba doplnit na místa hvězdiček, aby rovnost platila?
Ve středu nám ještě počasí přálo. Procházeli jsme krásnou krajinou pod Chalitrasem. Krajinou s tisíci potůčků, malebnými skalisky, zelenou travou a bez ještěrek. Nálada tak byla pochopitelně úplně jiná než předchozí tři dny.
Úloha č. 7
Na jedné skále jsme nalezli vytesaný zajímavý útvar. Jednalo se o kružnici o poloměru 40 cm, kterou protínala přímka, jejíž vzdálenost od středu kružnice byla 20 cm. Kružnici byl opsán čtverec, jehož jeden vrchol ležel na zmiňované přímce. Sestrojte celý obrazec ve vhodném měřítku (co třeba 1:10) na papír. Kolik existuje řešení?
Své vědecké poslání jsme sice plnit nemohli, ale naše dobrodružné putování se nám pomalu začínalo líbit. Než přišla ve čtvrtek bouřka...
