Zadání 1. série 25. ročníku
Termín odeslání: 12. října 2009
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Najednou bylo zase světlo.
„Jakube“
Už od začátku se mi zdála divná. Ale za to já nemohu. Copak je to moje chyba? Nic jsem od ní nechtěl, nic jsem nepotřeboval. Jenže za těchto okolností...
Ještě včera touto dobou bylo vše v pořádku. Chystali jsme se odletět.
Podíval jsem se na hodinky.
Úloha č. 1
Nepřežily ten pád ve zdraví. Ukazovaly totiž současně vždy dva různé údaje. Přes sebe. Jenže svítily jen ty segmenty, které měly svítit v obou údajích současně. Pěkný zmatek.
Když měly ukazovat prostě čas, ukazovaly datum a stopky. Vypadalo to takhle:
Když jsem přepnul na stopky, které mají ukazovat minuty a sekundy, objevil se na hodinkách datum a čas:
Jaké bylo datum a čas a kolik bylo na stopkách?
Poznámka: Číslice měly tento tvar:
Z celé pětičlenné skupiny jsem byl technicky rozhodně nejnadanější. I proto jsem rychle pochopil, že s letadlem něco není v pořádku. A pak tma. A pak zase světlo. Piloti mrtvi. Průvodce někam zmizel. Takováhle malá letadla, to je zázrak, že to vůbec létá. Zůstalo jen nás pět. Kamarádi v nouzi.
Nejlépe ze všech jsem se znal s Davidem. Neřekl bych, že to byl můj nejlepší přítel. Ale znali jsme se dobře. A byl mi tak nějak sympatický. Ne jako Lucie.
Ještě včera jsme slavili a těšili se. Nechali jsme si upéct dort.
Úloha č. 2
A jaký dort. Měl 101 pater, každé patro kruhového tvaru (tedy přesněji řečeno válcového), nejspodnější patro mělo průměr 2 m a úplně vrchní patro mělo průměr 2 cm. Celý dort byl 202 cm vysoký, to jest 101 pater po 2 cm. Průměr každého patra byl vždy o stejnou délku menší než průměr patra pod ním (tedy řeklo by se, že se průměr rovnoměrně zmenšoval). Celý dort, i zespoda, byl natřen čokoládovou polevou: 2 gramy na každý 1 cm^{2}. Kolik se spotřebovalo balíčků čokoládové polevy? (Jeden balíček vystačí na 25 g polevy.)
Odpoledne jsme našli a osvobodili ještěrku. To bylo velice povzbuzující. Lucii to však nahnalo strach. Lucii nažene strach cokoli. Jednou mě vzbudila, že prý máme v domě duchy. Její strachy mě ničí. Lucie mě vůbec ničí. Jenže jak říkám, nemohu za to. Nemůžete mi vyčítat, že jsem se zachoval, jak jsem se zachoval. Že jsem řekl, co jsem řekl. Byla to krizová situace, naprosto neobvyklé okolnosti, byl jsem unaven, zničen, znechucen, vyhladovělý... Není to moje chyba.
Nález té ještěrky znamenal, že nejsme první lidé, kteří kdy stanuli na této planině. Ještěrka byla totiž přivázaná.
Úloha č. 3
Byla přivázaná ke kusu plotu. Nechápali jsme, kde se tady vzal plot. Ale byl tu, a k němu přivázaná ještěrka. Běhala poněkud zběsile. Měla obojek a obojek byl přivázán ke dvěma lanům. Každé lano bylo přiuzlováno k jednomu konci plotu; jedno lano mělo délku 3 m a druhé lano vlastně taky. Plot byl přímý rovný (tedy úsečka délky 2 m). Plot byl tak vysoký, že jej ještěrka nedokázala přeskočit ani přes něj přehodit provázek. Narýsujte plot a plochu, kterou mohla ještěrka podupat.
Když plot spatřila, začala se Tereza radovat. Lucie propadla depresi.
Když jsme se s Davidem poprvé potkali, nikdy by nás nenapadlo, co spolu všechno prožijeme. Bylo to ve fitness centru. Ano, na Zelené hůrce. Ano, to krásné fitness centrum s padesátimetrovým bazénem, ten klenot, ten architektonický skvost, vrchol postmodernismu. Chodili jsme tam plavat.
Úloha č. 4
V centru byla i takzvaná tandemová váha. Digitální. Pokud se na ni postaví dva lidé, kteří oba váží méně než 50 kg, objeví se na displeji součet hmotností těch dvou. Pokud alespoň jeden z těch dvou váží 50 kg nebo více, ukáže váha rozdíl hmotností. S Davidem byli tenkrát v centru i jeho čtyři bratři, Kalous, Hučous, Vrňous a Oďous. (Nejenže mají divná jména, oni jsou divní.) Kalousovi s Hučousem ukázala váha 33 kg, Hučousovi s Vrňousem 120 kg, Kalousovi s Vrňousem 87 kg, Hučousovi s Oďousem 72 kg a Kalousovi s Oďousem 21 kg. Co ukázala váha, když se na ni postavili Oďous a Vrňous?
Další zajímavá atrakce ve sportovním centru na Zelené hůrce byl dětský bazének.
Úloha č. 5
Bazének měl tvar válce o průměru podstav 7 m a výšky 120 cm. Do prázdného bazénu napustila obsluha metr vody. Poté byl instalován umělý ostrůvek, takový plovák, také ve tvaru válce: jeho spodní podstava plovala ve výšce 40 cm nad dnem bazénku, vrchní podstava dosahovala 10 cm nad hladinu vody. Hladina ale samozřejmě stoupla, takže voda teď dosahovala až po horní okraj bazénku. Určete rozměry plováku (tedy poloměr podstavy a výšku).
Po té nehodě bylo více méně jasné, že z našeho vědeckého bádání nebude asi nic. Vsadím se, že to Lucii vůbec nevadilo. Už tehdy mi byla protivná. Právě tím, jak se pořád snažila být ke mně milá. Výběr členů výpravy byl podle mého zcela nezvládnutý. Místo psychotestů jsme vyplňovali čtverečky.
Úloha č. 6
Jedním z úkolů bylo zjistit, kolika různých hodnot může nabývat součet všech číslic vepsaných do čtvercové tabulky 6\times6 polí, jestliže v každém řádku i v každém sloupci smějí být buď všechna čísla stejná nebo všechna čísla různá a jestliže se smějí vpisovat číslice 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Myslím, že David Lucii taky od začátku nesnášel.
Po večeři jsme začali budovat bivak. Bylo světlo. Světlo bylo dlouho, ale rozednívalo se pozdě. Patrně špatně nastavené časové pásmo.
Já s Davidem a Terezou jsme se utábořili vlevo. Lucie s Ondřejem vpravo. Tedy vlevo a vpravo od toho plotu.
Úloha č. 7
Rozdíl mezi jistým dvouciferným číslem a součinem jeho číslic je roven součtu jeho číslic. Určete toto číslo, jestliže víte, že je dělitelné sedmi.
Padla tma.