Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.


Úloha č. 1

Nejprve si připomeňme fakta o pravidelném šestiúhelníku. Skládá se z šesti rovnostranných trojúhelníků, tudíž je například jeho úhlopříčka dvojnásobkem jeho strany a vnitřní úhel má 120\deg. První, co nám notně schází, je poloměr vnitřní kružnice. Jak si ho tedy opatříme? Spočítáme výšku SU:

\eqalign{a^{2} &= (a\over2)^{2} + |SU|^{2}, \cr |SU| &= \sqrt{a^{2} - \left(a\over2_right())^{2}}, \cr |SU| &= 2\sqrt{3} cm.}

A co vidíme? Úsečku SU tvoří poloměr půlkružnice r a poloměr vnitřní kružnice. Protože r je \sqrt{3} cm, zbývá na poloměr vnitřní kružnice ještě jednou tolik, je tedy také rovný r. Obsah vnitřního šedého kruhu je proto \pi r^{2} = 3\pi cm^{2}.

A podíváme se na zoubek těm drobným šedým střípkům při okraji. Půl jednoho takového získáme, když odečteme kruhovou výseč TUB od trojúhelníku TUB, s chutí tedy do toho. Úhel \angle UTB je pravý, protože se jedná o dotyk tečny. Toho využijeme k formulaci Pythagorovy věty:

|UB|^{2} = |UT|^{2} + |TB|^{2}.

Délku |UT| známe, je to poloměr r, |UB| také známe, je to půl strany a. Můžeme tedy vypočítat |TB|:

|TB| = \sqrt{|UB|^{2} - |UT|^{2}} = \sqrt{4 - 3} = 1 cm.

Tím jsme si otevřeli cestu k obsahu \triangle TUB:

S_{\triangle TUB} = |UT| \cdot |TB| \over 2 = \sqrt{3} \over 2 cm^{2}.

Už nám chybí jen ona kruhová výseč. Jaký má asi úhel? Víme, že \angle UTB je pravý. Také je zřejmé, že |\angle ABS| = 60\deg. Na úhel \alpha tedy zbývá rovných 60\deg. To dělá dvanáctinu kruhu. Její obsah je:

S_{výseče TUB} = \pi \cdot r^{2} \cdot 1\over12 = \pi \over 4 cm^{2}.

Po odečtení na půl šedého střípku zbude:

S_{půl střípku} = S_{\triangle TUB} - S_{výseče TUB} = \left(\sqrt{3} \over 2 - \pi \over 4\right) cm^{2}.

Takových celých střípků je vybarveno šest, tedy dvanáct půlek, a ještě přičteme celý vnitřní kruh:

S_{šedé plochy} = 12 \cdot (\sqrt{3} \over 2 - \pi \over 4) + 3\pi = 6\sqrt{3} - 3\pi + 3\pi = 6\sqrt{3} cm^{2}.

Voilá, a máme tu výsledek. Dopočítali jsme se k tomu, že obsah vybarvených částí šestiúhelníku je 6\sqrt{3} cm^{2} \doteq 10,39 cm^{2}.

Komentář: Úloha nebyla přehnaně početně náročná. Pokud jste měli trochu za ušima, vystačili jste si bohatě se znalostí šestiúhelníku a Pythagorovou větou. V řešení šlo spíše o to, zda zvládnete náročný postup a jednotlivé myšlenkové obraty správně popsat a zapsat a zda podáte všechny potřebné důkazy svých tvrzení. V tom už neuspěli zdaleka všichni a strhával jsem v těchto případech po bodu.

Dále mnoho z vás nenačasovalo správně zaokrouhlování. S obsahy, délkami a jinými čísly nepočítáme v zaokrouhleném stavu dále, naopak je udržujeme co nejdéle v přesné podobě, využívajíce \pi, odmocnin atd. Teprve finální stále přesný výsledek můžeme pro doplnění představy zaokrouhlit. V opačném případě si kumulujeme ve výpočtu chybu. Za nedodržení tohoto zlatého matematického pravidla jsem také strhával po bodu.

Mnoho pěkných variací se dalo vytvořit pomocí přeuspořádání plošek v rámci šestiúhelníku. Například Václav Steinhauser si všiml, že kruhové výseče po obvodu, jako je třeba TUB, mají celkově stejnou plochu jako středový kruh a může je tedy bez složitých propočtů zaměnit. Tím se mu celá vybarvená plocha přesunula k okraji a ve středu šestiúhelníku se mu vytvořil druhý, menší šestiúhelník, jehož obsah následně nebylo obtížné spočítat.

Úloha č. 2

Zadání si nejprve přehledně zapíšu. Mám sečíst dvě čísla: ABCD a xxx.

$$ A B C D
+ $$ x x x

$$ 2 0 1 0

Sčítám-li postupně v jednotlivých řádech, dostanu tyto čtyři rovnice:

\eqalignno{ D + x &= 19, \cr C + x + 1 &= 20, \cr B + x + 1 &= 19, \cr A + 1 &= 2. \cr _NOALIGN( Po úpravě dostanu:) D &= 19 - x, \cr C &= 19 - x = D, \cr B &= 18 - x = D - 1, \cr A &= 1. \cr }

Je-li x = 18 nebo x = 17, má první číslo dvě různé cifry (1011 nebo 1122), v ostatních případech má tři různé cifry (B se nerovná A ani D se nerovná A).

První číslo může mít dvě nebo tři různé cifry.

Komentář: Velká část řešitelů místo zamýšlení se nad problémem jen zkoušela všechny možnosti, pokud jste tímto způsobem nalezli správné řešení, strhávala jsem jen jeden bod (většinou jste ale na něco zapomněli, i z tohoto důvodu to není zrovna nejšťastnější způsob řešení). Občas si někdo neuvědomil, jak se sčítá v devatenáctkové soustavě.

Úloha č. 3

Lahev rozdělíme na pět částí. Jejich objemy označíme V_{1}V_{5}, jak je znázorněno na následujícím obrázku.

Spodní část lahve má tvar komolého rotačního kužele. Jeho objem V_{1} spočítáme podle vztahu V_{1} = 1\over3 \pi v_{1} (r_{1}^{2}+r_{1} r_{2} + r_{2}^{2}). Po dosazení vyjde:

V_{1} = 1\over3 \pi \cdot 4 \cdot (7^{2} + 7 \cdot 5 + 5^{2}) = 436\pi_over()3 \doteq 456,58 cm^{3},

což je méně než 0,5 l, takže kofola bude i ve druhé části lahve. Ta má také tvar komolého rotačního kužele. Její objem bude:

V_{2} = 1\over3 \pi v_{2} (r_{2}^{2}+r_{2} r_{3} + r_{3}^{2}) = 1\over3 \pi \cdot 8 \cdot (5^{2} + 5 \cdot 6 + 6^{2}) \doteq 762,36 cm^{3}.

Objem prvních dvou částí je větší než 0,5 l, takže hladina kofoly bude někde ve druhé části lahve. Následující obrázek znázorňuje druhou část lahve. Pro větší přehlednost nejsou zachovány původní poměry stran, v značí výšku hladiny kofoly od spodního okraje druhé části a r značí poloměr hladiny kofoly.

Hladina kofoly dělí druhou část lahve na dva komolé rotační kužely. Výška v hladiny kofoly se dá vyjádřit ze vzorečku pro objem komolého rotačního kužele: V = 1\over3_pi() v (r_{2}^{2}+r_{2} r + r^{2}). Objem V známe, V = 0,5 l - V_{1} = 500 cm^{3} - V_{1}. Konkrétní čísla zatím dosazovat nebudeme, abychom se vyhnuli zaokrouhlovacím chybám. Neznáme ale výšku hladiny v a poloměr r.

Trojúhelníky ABC a A'BC', vyznačené na předchozím obrázku, jsou podobné podle věty uu. Proto platí:

\eqalignno{ |BC|\over|BC'| &= |AC|\over|A'C'| \cr r_{3}-r_{2} \over r_{3}-r &= v_{2} \over v_{2}-v \cr 6-5 \over 6-r &= 8 \over 8-v \cr 1\cdot(8-v) &= 8\cdot(6-r) \cr v &= 8r-40. \cr }

Tím jsme získali soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, kterou vyřešíme dosazovací metodou:

\eqalignno{ V &= 1\over3 \pi v (5^{2} + 5r + r^{2}), \cr v &= 8r-40, \cr V &= 1\over3 \pi \cdot (8r-40) \cdot (25 + 5r + r^{2}), \cr 3V\over\pi &= 200r + 40r^{2} + 8r^{3} - 1000 - 200r - 40r^{2}, \cr 3V\over\pi &= 8r^{3} - 1000, \cr 3V\over8\pi + 1000\over8 &= r^{3}, \cr r &= \root \of, \cr v &= 8 \cdot \root \of - 40. \cr }

Hladina kofoly tedy sahá do výšky

v_{1} + v = 4 + 8 \cdot \root \of - 40 \doteq 4,55 cm.

Komentář: Někteří z vás si všimli, že poloměry a výšky na obrázku nejsou ve správném poměru, a že lahev se zadanými poloměry by vypadala poněkud zvláštně. Se zadáním si totiž pohrál tiskařský šotek a změnil slovo průměr na poloměr. Jako správné řešení jsem tedy uznávala, i pokud jste zadané číslo považovali za průměr. Úloha se v tom případě počítala téměř stejně. Jediný rozdíl byl v tom, že lahev byla skoro plná, takže bylo potřeba na začátku spočítat více objemů.

Úloha č. 4

Označme místnosti písmeny A, B podle obrázku. Při pohledu na obrázek vidíme, že místnost s jedním písmenkem sousedí jen s místnostmi písmenka druhého. Neboli z kterékoli místnosti s A můžeme přejít jen do místnosti s B a naopak.

Nejprve si vezmeme, že začíná myš. Pokud kočka začíná na jiném písmenku než myš, tak se myš přesune na stejné písmenko (ale jinou místnost než je kočka) a má vyhráno, protože se v příštím kole za ní kočka nedostane. Pokud stojí myš i kočka na stejných písmenkách, tak myš může kolo počkat a nechat kočku přijít do místnosti s jiným písmenkem, což ale kočka nevyhraje, jak jsme si o řádek výš ukázali.

Nyní kdyby začínala kočka, tak pokud myš stojí v místnosti s jiným písmenkem než je kočka, tak má kočka šanci 3:4, že myš chytí, když myš bude ve vedlejší místnosti. A pokud myš bude v té místnosti, která nesousedí s místnosti, kde je kočka, tak se kočka někam přesune a bude na tahu myš a obě kamarádky budou v místnostech se stejným písmenem, což vyhraje myš, jak jsme si ukázali nahoře. A pokud kočka začíná a obě jsou v místnostech stejného písmenka, tak ať se kočka pohne do jakékoliv místnosti opačného písmenka, tak myš bude moct do dvou místností, kde není kočka, ale písmenko bude stejné, jako písmenko místnosti, ve kterém je kočka. Navíc si kočka nemůže dovolit počkat, protože by potom čekala i myš, a tedy má kočka šanci chytit myš jen, pokud začíná a myš je ve vedlejší místnosti.

Komentář: Úloha byla poměrně volná a řešitelé na tom byli opravdu různě, ale pár dobrých řešení se nakonec našlo.

Úloha č. 5

Ze zadání plyne, že 3 cm by mohla měřit základna nebo ramena. Rozebereme tedy oba případy.

  • \bullet 3 cm bude měřit základna:

Popis konstrukce:

  • AB; |AB|=3 cm,
  • o; o osa AB,
  • U; střed AB,
  • S; S \in o, |SU|=1 cm,
  • k; k(S,1 cm),
  • T; střed AS,
  • k_{2}; k_{2}(T,|TS|),
  • X; X = k \cap k_{2}, X \neq U,
  • C; C= \primka AX \cap o.

Existuje jen jedno řešení, ostatní jsou symetrická jako původní.

  • \bullet 3 cm budou měřit ramena:

Druhý případ byl o něco těžší. Většina z vás po několika neúspěšných pokusech o narýsování trojúhelníku usoudila, že takový trojúhelník neexistuje. Ukázat to ale není jednoduché.

Označme x délku úsečky LC. Ukážeme, že neexistuje x takové, aby trojúhelník „vyšel“. Délka AL tedy podle zadání musí být 3-x. Protože trojúhelníky ALS a AMS jsou shodné, musí být i délka AM rovna 3-x. Délka základny AB tedy je 6 - 2x. Nyní použijeme vzoreček pro obsah trojúhelníku, který jste potkali v minulé kapitole, totiž obsah trojúhelníku je roven jedné polovině součinu obvodu a poloměru kružnice vepsané. Ramena mají délku 3 cm, základna 6-2x, obvod tedy je 12-2x, poloměr kružnice vepsané je 1 cm. Dosazením dostaneme:

S = (12-2x) \cdot 1 \over 2 = 6-x.

Teď si obsah vyjádříme jinak: použijeme vzoreček

S = 1\over2 ab \sin (\gamma),

kde a,b jsou strany trojúhelníku a \gamma je úhel jimi sevřený. Za a a b zvolíme ramena trojúhelníku ABC. Úhel \gamma sice neznáme, víme ale, že \sin(\gamma) bude menší než jedna. Obsah trojúhelníku tedy můžeme odhadnout shora:

S = 1\over2 ab \sin (\gamma) \leq 1\over2 ab = 4,5 cm^{2}.

Víme tedy, že obsah ABC je menší než 4,5 cm^{2}. Pokud tento odhad zkombinujeme s S=6-x, dostaneme 6-x \leq 4,5, tedy x \geq 1,5.

Nyní použijeme další odhad: délka výšky na stranu AB musí být menší než 3 cm, protože výška je vždy kratší než přilehlé strany. Pokud si vyjádříme obsah pomocí základny a výšky, dostaneme:

S = 1\over2 |AB| \cdot v_{ab} = (3-x) \cdot v_{ab} < 9 - 3x.

Tento odhad už jenom stačí spojit s rovností, kterou jsme odvodili na začátku: S=6-x. Dostaneme

\eqalign{ S &( 9 - 3x, \cr 6-x &( 9 - 3x, \cr 2x &( 3, \cr x &( 1,5 cm. \cr }

Teď víme, že kdyby trojúhelník existoval, tak pro x platí tyto vztahy x \geq 1,5 cm a x < 1,5 cm. Žádné x ale nemůže splňovat oba, a proto trojúhelník zadaných vlastností neexistuje.

Komentář: Za vyřešení dvou případů bylo 4 až 5 bodů, dle vysvětlení. Za část příkladu, kdy byl vyřešen pouze případ vycházející z úvahy o základně 3 cm (bod 1) jsem udělovala 2 body, zbytek bodů v závislosti na důvěryhodnosti důkazů.

Úloha č. 6

V úloze budeme používat jistě dobře známý vztah pro rychlost, dráhu a čas, tedy rychlost = dráha / čas. Nejdříve spočítáme pomocí uvedeného vztahu, jak dlouho jela Eliška (vypravěčka), tento čas označíme t_{E}. Ze zadání víme, že jela celou dobu 8 km/h a trasa je dlouhá 12 km: t_{E} = 12\over8 = 3\over2 = 1 h 30 min. Dále spočteme, kolik kilometrů ujela Lucie, když se vracela. Po třetině se obrátila, takže ujela 4 km, zpět se otočila po dvou kilometrech a pak už to dojela do konce, celkem tedy ujela: 4+2+10=16 km. Lucie Terezu potkala po 15 minutách cesty a pak na šestém kilometru. Můžeme tedy určit, jaký je poměr ujetých kilometrů Lucie a Terezy. Během toho, co Tereza ujela 6 km, Lucie stihla 4+2+4=10 km. Takže poměr kilometrů Lucie vůči Tereze je 10\over6 = 5\over3. Z toho je vidět, že Lucie potkala Terezu poprvé na 3. kilometru. Odsud vypočítáme rychlost Lucie, než začala zpomalovat, protože víme, že Terezu poprvé potkala po 1\over4_hod(). Tuto rychlost označíme v_{L1}:

v_{L1} = 5 \over 1\over4 = 20 km/h.

Dále ze zadání víme, že Lucie touto rychlostí jela třetinu trasy, tedy 12 - 12\over3= 8 km, ale jela ještě navíc 4 km, tedy celkem ujela rychlostí v_{L1} trasu dlouhou 12 km. Nyní můžeme spočítat, jak dlouho jela tuto trasu:

t_{L1}= 12\over20 = 3\over5_hod() = 36 min.

Zbytek trasy (4 km) jela Lucie třetinovou rychlostí, tedy celková doba, za kterou ujela Lucie závod je:

t_{L1} + 4 \over 20\over3 = (36 + 36) min = 1 h 12 min.

Víme, kde se setkala Tereza s Lucií a po jaké době to bylo, můžeme tedy spočítat rychlost Terezy (v_{T}):

v_{T} = 3\over 1\over4 = 12 km/h.

Touto rychlostí jela Tereza 3\over4 závodu, tedy 12 - 12\over4 = 9 km. Zbylé 3 km jela rychlostí $5\over9 \cdot 12 = 60\over9_kmh(). Nyní můžeme podobně jako u Lucie spočítat celkovou dobu Terezina závodu (t_{T}$):

t_{T} = 9\over12 + 3 \over 60\over9 = 3\over4_hod() + 9\over20_hod() = 45 min + 27 min = 1 h 12 min.

Ze zadání víme, že jedna dojela v čase 1 h, což může být jen Martina, protože jen u ní neznáme celkový čas. Tedy první dojela Martina v čase 1 h, na druhém a třetím místě Lucie s Terezou v čase 1 h 12 min a poslední dojela Eliška s časem 1 h 30 min.

Komentář: Úloha se pro vás nezdála příliš těžká. Většina má plný počet bodů. Musím pochválit, že jsme vás snad naučili pěkně komentovat vaše řešení, protože jsem nemusela strhnout nikomu ani jeden bod za nedostatek vysvětlení. :)

Úloha č. 7

Nejprve všechna čísla rozložíme na prvočinitele:

\eqalign{ 3861 &= 3^{3} \cdot 11 \cdot 13, \cr 4851 &= 3^{2} \cdot 7^{2} \cdot 11, \cr 6435 &= 3^{2} \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13. \cr }

Ze zadání musí být číslo x takové, aby byly splněny následující podmínky:

\eqalign{ x &\mid 3861 \cdot 4851 \cdot 6435, \cr 3861 &\mid x \cdot 4851 \cdot 6435, \cr 4851 &\mid x \cdot 3861 \cdot 6435, \cr 6435 &\mid x \cdot 3861 \cdot 4851, \cr }

kde symbol \mid znamená „dělí“, tedy výraz vpravo je dělitelný výrazem vlevo, což znamená, že např. zlomek 3861 \cdot 4851 \cdot 6435 \over x je celé číslo.

Nyní do výše uvedených podmínek přepíšeme čísla jako součiny prvočinitelů. Ještě budeme potřebovat použít jednu úpravu. Platí, že $a{b} \cdot a{c} = a{b+c}$. Tedy:

  • x \mid 3^{7} \cdot 5 \cdot 7^{2} \cdot 11^{3} \cdot 13^{2} -- odtud vyplývá, že x není dělitelné dvěma, zato může být dělitelné třemi, pěti, sedmi, devíti, patnácti... až po případ, kdy x se přímo rovná pravé straně. V každém případě však žádná mocnina každého z prvočinitelů čísla x nesmí převyšovat stupeň této mocniny na pravé straně, neboť pak by dělitelnost neplatila.
  • 3^{3} \cdot 11 \cdot 13 \mid x \cdot 3^{4} \cdot 5 \cdot 7^{2} \cdot 11^{2} \cdot 13 -- z této dělitelnosti nevyplývá pro číslo x žádné omezení, protože bez ohledu na volbu čísla x levá strana pravou stranu dělí, neboť mocninné stupně všech prvočinitelů jsou na levé straně nižší.
  • 3^{2} \cdot 7^{2} \cdot 11 \mid x \cdot 3^{5} \cdot 5 \cdot 11^{2} \cdot 13^{2} -- u prvočísel 3 a 11 mocninné stupně na levé straně nepřevyšují ty na pravé, ale u čísla 7 vidíme, že jím pravá strana dělitelná není, natož v druhé mocnině. To znamená, že číslo x musí ve svém rozkladu na prvočinitele obsahovat mj. i člen 7^{2}.
  • 3^{2} \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13 \mid x \cdot 3^{5} \cdot 7^{2} \cdot 11^{2} \cdot 13 -- vidíme, že součin na pravé straně není dělitelný pouze pětkou, tudíž číslo x musí být dělitelné pěti.

Celkem tak dostáváme x = 7^{2} \cdot 5 = 245. Je to zároveň nejmenší možné číslo splňující zadání, protože obsahuje pouze takové dělitele, kteří byli nezbytně nutní, a žádné jiné.

Komentář: Velká většina dorazivších řešení úloh byla bez chybičky, v několika málo nebyl postup dostatečně dovysvětlen, a jen jediné řešení bylo zkoušené dosazováním (neúspěšně). Mohla jsem tedy být s udělováním bodů poměrně štědrá.

Opravovali: 1. Pavel Houdek, 2. Alžběta Nečadová, 3. Tereza Pechová, 4. Jan Vaňhara, 5. Helena Pučelíková, 6. Klára Krejčíčková, 7. Alena Bušáková.