Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.
Úloha č. 1
Pro konstrukci řezu potřebujeme najít průsečíky roviny řezu s hranami krychle, ty už bude stačit pospojovat. Dva takové průsečíky C a F už známe. Bod Z určíme jako průsečík úseček AE a FX, bod Y jako průsečík AD a CX. Výsledkem je lichoběžník CFZY.
Řez rozdělil objem krychle na dvě části: objem V_{J} komolého jehlanu BFCAZY a objem V_{Z} zbývající části tělesa.
Objem V_{J} určíme jako rozdíl objemu V_{V} většího jehlanu BFCX a objemu V_{M} menšího jehlanu AZYX. Vzoreček pro objem jehlanu je V = 1/3 S v, kde v je výška jehlanu a S je obsah podstavy.
Výška jehlanu BFCX je podle zadání 2a, výška jehlanu AZYX je a. Podstavu jehlanu BFCX tvoří pravoúhlý trojúhelník s oběma odvěsnami dlouhými a, obsah této postavy je tedy a^{2}/2. Víme, že trojúhelníky BFX a AZX jsou podobné s koeficientem podobnosti 1/2 (všechny úhly jsou stejné a |AX| = 1/2 |BX|), takže |AZ|=a/2. Totéž platí i o délce úsečky AY. Podstava jehlanu AZYX je tedy tvořena pravoúhlým trojúhelníkem s oběma odvěsnami dlouhými a/2 a její obsah je 1/2 \cdot \left(a/2\right)^{2} = a^{2}/8. Teď už můžeme pomocí vzorečku pro objem jehlanu snadno spočítat V_{J}:
i V_{Z} (jako rozdíl objemu celé krychle a V_{J}):
Poměr objemů obou částí je tedy V_{J}/V_{Z} = 7/24a^{3} \over 17/24a^{3} = 7/17.
Komentář: S úlohou jste si poradili poměrně dobře, plný počet bodů jste ale dostali jedině za řešení obsahující postup konstrukce řezu nebo aspoň rozumný obrázek a správný a okomentovaný výpočet objemu. Často jsem strhával body za chybějící konstrukci řezu a nedostatečné komentáře.
Úloha č. 2
Řešení podle Jana Soukupa: označíme si počet bonbónů za výhru X, za prohru Y, počet mých výher A a počet mých proher (tedy Jakubových výher) B. Platí:
Obě rovnice odečteme:
Celočíselní dělitelé 9 jsou pouze 1, 3 a 9, z toho je jasné, že rozdíl počtu bonbónů za výhru a prohru musí být 1, 3 nebo 9, stejně tak i rozdíl počtu mých výher a proher.
Obdobně obě rovnice sečteme:
Celočíselní dělitelé 99 jsou 1, 3, 9, 11, 33 a 99, budou to tedy součty bonbónů za prohru a výhru, i počty mých výher a proher.
Nyní rozebereme všechny možnosti, jak mohou vypadat X+Y a X-Y, a určíme výsledek:
<hr size="1"> | ||||||||||||||
$$ | X+Y=1 | : | $$ | Nemá řešení -- | X | i | Y | totiž musejí být alespoň | 1 | , tedy jejich součet musí být alespoň | 2 | . | ||
<hr size="1"> | ||||||||||||||
$$ | X+Y=3 | : | $$ | X-Y=1 | : | Má řešení | X=2 | , | Y=1 | , | A=21 | , | B=12 | . |
$$ | $$ | X-Y=3 | : | Nemá řešení -- | Y | by muselo být | 0 | . | ||||||
$$ | $$ | X-Y=9 | : | Nemá řešení -- | Y | by muselo být záporné. | ||||||||
<hr size="1"> | ||||||||||||||
$$ | X+Y=9 | : | $$ | X-Y=1 | : | Má řešení | X=5 | , | Y=4 | , | A=10 | , | B=1 | . |
$$ | $$ | X-Y=3 | : | Má řešení | X=6 | , | Y=3 | , | A=7 | , | B=4 | . | ||
$$ | $$ | X-Y=9 | : | Nemá řešení -- | Y | by muselo být | 0 | . | ||||||
<hr size="1"> | ||||||||||||||
$$ | X+Y=11 | : | $$ | X-Y=1 | : | Má řešení | X=6 | , | Y=5 | , | A=9 | , | B=0 | . |
$$ | $$ | X-Y=3 | : | Má řešení | X=7 | , | Y=4 | , | A=6 | , | B=3 | . | ||
$$ | $$ | X-Y=9 | : | Má řešení | X=10 | , | Y=1 | , | A=5 | , | B=4 | . | ||
<hr size="1"> | ||||||||||||||
$$ | X+Y=33 | : | $$ | X-Y=1 | : | Nemá řešení -- muselo by totiž platit | A+B=3 | a | A-B=9 | , počet prohraných her by v takovém případě byl záporný. | ||||
$$ | $$ | X-Y=3 | : | Má řešení | X=18 | , | Y=15 | , | A=3 | , | B=0 | . | ||
$$ | $$ | X-Y=9 | : | Má řešení | X=21 | , | Y=12 | , | A=2 | , | B=1 | . | ||
<hr size="1"> | ||||||||||||||
$$ | X+Y=99 | : | $$ | Nemá řešení -- pak by muselo platit | A+B=1 | , tedy by se hrála pouze jedna hra, což zadání vylučuje. | ||||||||
Celkem je 8 možných řešení, jak se mohly rozdávat bonbóny.
Komentář: Tento elegantní způsob jsem v řešení viděla málokdy, každopádně za správný jakýkoli nepříliš zdlouhavý postup se všemi řešeními jsem dávala 5 bodů, 1 bod jsem strhávala za řešení, která byla v rozporu se zadáním (např. uvažovala i možnost jedné jediné hry nebo nulového ohodnocení prohry), další bod až dva za neúplná řešení. Po 1 bodu dostali ti, kteří našli pouze jedno řešení.
Úloha č. 3
Úloha se dá řešit mnoha způsoby, ukážeme si dva z nich. Pro začátek zmíníme, že počet kombinací můžeme zapsat jako součin počtů jednotlivých druhů oblečení (tedy pokud bychom měli k dispozici čtyři košile, troje kalhoty, dvoje boty, desatery ponožky a neměli žádná další omezení, byl by počet možných kombinací roven 4\cdot3\cdot2\cdot10=240).
Nejprve si všimněme, že žádné z pravidel pro oblékání se nevztahuje zároveň na boty a na kalhoty, navíc kalhoty máme troje a boty dvoje, což dává 3\cdot2=6 různých kombinací bot a kalhot (to není mnoho), proto budeme zkoumat, kolik možností existuje vždy pro konkrétní kalhoty a boty. Vybereme-li černé kalhoty a černé boty, nemáme pro ponožky ani košile žádné omezení, tedy máme 4\cdot10=40 možností, jak nakombinovat ponožky a košile k černým botám a kalhotám. Stejně tak 40 možností dostaneme i pro modré kalhoty a černé boty. Vybereme-li černé kalhoty a hnědé boty, nemůžeme si k nim vzít čtvery z našich ponožek, tedy dostaneme 4\cdot(10-4)=24 možností, jak nakombinovat košile a ponožky k černým kalhotám a hnědým botám. Naprosto stejně to bude pro hnědé boty a modré kalhoty. Pokud si vybereme zelené kalhoty a černé boty, nemůžeme si k nim vzít černou košili, ani troje z ponožek, tedy dostaneme (4-1)\cdot(10-3)=21 kombinací k zeleným kalhotám a černým botám. Zbývá už jen poslední možnost, a to zelené kalhoty a hnědé boty. K těm si nesmíme vzít černou košili a šestery ponožky (k zeleným kalhotám nejdou tři páry ponožek, k hnědým botám nejdou čtyři páry, ale jeden pár se opakuje v obou případech, tedy skutečně 4+3-1=6), takže nám vzniká dalších (4-1)\cdot(10-6)=12 nových kombinací. Nyní už stačí jen všechny možnosti sečíst: 2\cdot40+2\cdot24+21+12=161. Vychází nám tedy 161 možných kombinací.
Druhá cesta, jak dojít ke správnému výsledku, je tato: nejprve určíme počet všech možných kombinací, jako jsme to udělali na začátku. Máme tedy 240 možných kombinacích, přijatelných i nepřijatelných. Od něj odečteme počet kombinací, ve kterých se poruší první pravidlo (tedy počet kombinací, kdy máme na sobě černou košili, zelené kalhoty a libovolné ponožky i boty; těch je 1\cdot1\cdot10\cdot2=20), druhé pravidlo (zelené kalhoty, jedny ze tří párů ponožek a libovolná košile i boty, tj. 1\cdot3\cdot4\cdot2=24) a třetí pravidlo (hnědé boty, jedny ze čtyř párů ponožek, libovolnou košili a kalhoty, tedy 1\cdot4\cdot4\cdot3=48). Ovšem pozor, všimněme si, že kombinace, ve kterých porušujeme najednou dvě pravidla (jako například černá košile, zelené kalhoty, růžově páskované ponožky a černé boty), jsme odečetli dvakrát -- jednou u každého ze dvou pravidel. Musíme je tedy zase přičíst zpátky. Spočteme tedy, kolik kombinací porušuje najednou první a druhé pravidlo (černá košile, zelené kalhoty, jeden ze tří párů ponožek a libovolné boty, tedy 1\cdot1\cdot3\cdot2=6), první a třetí pravidlo (černá košile, zelené kalhoty, hnědé boty a jedny ze čtyř ponožek, tj. 1\cdot1\cdot1\cdot4=4), nebo druhé a třetí pravidlo (zelené kalhoty, hnědé boty, modře tečkované ponožky a libovolná košile, tj. 1\cdot1\cdot1\cdot4=4). Ale pořád to není všechno. Kombinace, kdy se poruší všechna pravidla, jsme nejprve třikrát odečetli, ale potom zase třikrát přičetli. Proto je musíme ještě jednou odečíst, nemůžeme přece nosit takové oblečení, které porušuje najednou všechna tři pravidla. A kolik je kombinací, které porušují všechna pravidla: černá košile, zelené kalhoty, hnědé boty a modře tečkované ponožky, tedy jedna kombinace. Takže celkem to bude 240-20-24-48+6+4+4-1=161 možných kombinací.
Komentář: Většina z vás si možnosti rozepsala podle nějakého kusu oblečení, stejně jako já v prvním způsobu řešení. Někteří dokonce vypsali všechny kombinace do tabulky a škrtali ty nevhodné. Tímto způsobem se ale nadělalo asi největší množství zbytečných chyb. Další skupina řešitelů volila postup, který jsem popsala jako druhý způsob řešení, ale velká část si zase neuvědomila, že po prvním odečtení se některé kombinace odečetly vícekrát. Nejčastější odpovědi, které přišly, byly 161 a potom 158, takže jste si vedli velmi dobře.
Úloha č. 4
Nejprve si uděláme náčrtek, abychom si uvědomili, jak situace vypadá. Je-li měřítko 1:20, pak obvod stolu bude v nárysu 4 m : 20 = 20 cm a délka úhlopříčky bude 140 cm : 20 = 7 cm.
Úlohu budeme řešit pomocí osové souměrnosti. Na přímku, která s úhlopříčkou svírá 30\deg, naneseme délku poloviny obvodu rovnoběžníku (úsečka AC'). Vrchol B pak leží na průniku osy úsečky CC' s přímkou AC'. Tento postup vychází z toho, že trojúhelník CC'B je rovnoramenný.
Tento postup bychom měli ještě zapsat přehledným jazykem matematiky, popisem konstrukce:
- AC; |AC| = 7 cm,
- \angle CAX; |\angle CAX|=30\deg,
- C'; C' \in \primka AX, |AC'|=10 cm,
- o; o osa CC',
- B; \primka AC' \cap o = \lbraceB\rbrace,
- p; p \parallel \primka AB, C \in p,
- q; q \parallel \primka BC, A \in q,
- D; p \cap q = \lbraceD\rbrace,
- rovnoběžník ABCD.
Konstrukce:
Máme narýsován rovnoběžník ABCD, zbývá jen zamyslet se nad tím, kolik má úloha řešení. Při rýsování vznikly dva osově souměrné rovnoběžníky. Úloha tak, jak byla zadána, je úlohou nepolohovou, což znamená, že známe rozměry nějakého útvaru, který chceme rýsovat. Za různá řešení takové úlohy se počítají pouze útvary, které nejsou shodné, a to ani nepřímo. Opakem je úloha polohová, která obvykle začíná slovy: „Je dán/a/o ...“ -- Řešením takové úlohy jsou pak všechny útvary, které vzniknou, i ty shodné. Tudíž má naše úloha pouze jedno řešení.
Komentář: Až na výjimky jste všichni rýsovali opravdu rovnoběžník. Byla jsem s bodováním tentokrát asi poněkud přísná, ale narýsovat výsledek opravdu nestačí. Do řešení konstrukční úlohy patří náčrtek, rozbor (jak to budeme rýsovat a proč), popis konstrukce, samotná konstrukce a diskuse o počtu řešení. Tudíž i ti z vás, kteří měli výsledek správně, ztráceli zbytečně body za chybějící náčrtky, popisy konstrukce aj. Nemluvě o řešeních, kde postup buď nebyl naznačený vůbec, a nebo výsledek vyšel, ač nemohl (někteří operovali s bodem B, aniž znali jeho polohu).
Úloha č. 5
Lomená čára musí procházet všemi 37 puškami. Nejprve si najdeme takové pušky, které lze protnout jen jedním způsobem, tj. existuje pouze jedna spojnice dvou pistolí taková, že protne danou pušku. Dále si uvědomíme, že pokud leží v řadě za sebou více pistolí, můžeme jednou úsečkou spojit krajní dvě tak, že tato úsečka protíná nejen pušky, ale i několik dalších pistolí. Jednoznačné úsečky si zatím nakreslíme co nejkratší, nebudou nám protínat žádné pistole. Tím získáme právě dvanáct úseček.
Pak už je stačí jen prodloužit tak, aby na sebe všechny úsečky navazovaly a tvořily tak jednu lomenou čáru.
Komentář: Úloha byla jednoduchá na vyřešení, bylo ale potřeba také formulovat postup, kterým jste k řešení dospěli. Za správný výsledek, bez komentáře vašich myšlenek, jsem dávala pouze dva body. Za drobné chyby jsem strhávala bod.
Úloha č. 6
Označme P průsečík úseček AB a KN (viz obrázek).
Ze zadání vyplývá, že IJKA, AKBN a KLMB jsou kosočtverce. Nejprve určíme obsah trojúhelníku ABN. Protože AB a NK jsou úhlopříčky v kosočtverci, jsou na sebe kolmé. Navíc KN dělí AB na dvě stejné části, platí proto |AP| = |AB| \over 2 = 60 cm. Délku PN můžeme nyní snadno spočítat z Pythagorovy věty:
Obsah trojúhelníku ABN spočteme jako $1\over2 \cdot |AB| \cdot |PN| = 1\over2 \cdot 120 cm \cdot 25 cm = 1500 cm{2}$. Protože celý šestiúhelník IJKLMN se skládá z šesti trojúhelníků shodných s ABN, je jeho obsah 6 \cdot 1500 cm^{2} = 9000 cm^{2}.
Od tohoto obsahu ještě ale musíme odečíst obsah kruhu. Vidíme, že kruh je vepsaný trojúhelníku IMN. Z poznámky, která byla v zadání, už poloměr kruhu určíme snadno:
Obsah postele je \pi \cdot 24^{2} cm^{2}. Obsah cely bez postele tedy bude
Komentář: Většina z těch, kteří se o řešení pokusili, úlohu vyřešila správně. Mezi nejčastější chyby patří zbytečné zaokrouhlování. Pokud jste používali goniometrické funkce a pak počítali se zaokrouhlenými mezivýsledky, strhával jsem jeden bod. Někteří z vás také napsali, že střed kružnice je bod P. To ale není pravda -- pak by kružnice k musela procházet bodem N a nedotýkala by se stran IN a NM.
Úloha č. 7
Abychom si zkrátili zápis, budeme používat a= b mod c (čti a modulo c je b) jako zkratku za fakt, že a a b mají stejný zbytek po dělení c. V tomto příkladu se může například vyskytnout, že 1 = 13 mod 12.
Víme, že funguje normální „sčítání“ hodin a že III byla přiřazena 9. Z rovnice III + III = VI dostáváme, že VI je přiřazeno 9 + 9 = 6 mod 12. Podobně VI + III = IX, a tedy IX přiřadíme 3. A konečně IX + III =XII, tedy XII přiřadíme 12.
Nyní potřebujeme zjistit další čísla. Víme, že III = I + I + I, přiřadíme-li I nějaké číslo x, v arabských číslech platí 3x = 9 mod 12. Neboli musí platit jedna z rovnic 3x = 9, 3x = 21, 3x = 33, pak už se začnou rovnice opakovat, protože 3(x + 12) = 3x + 36, tj. když k pravé straně přičteme 36 dostaneme stejné x modulo 12. Rozebereme všechny tři možnosti:
- x = 3, potom ale I a IX přiřadíme stejná čísla a to by znamenalo, že jeden náš čas lze napsat více způsoby, což nelze,
- x = 7, pak podobně jako nahoře dostáváme první řádek tabulky,
- x = 11, dostáváme druhý řádek tabulky.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
$$ | I | $$ | $$ | II | $$ | $$ | III | $$ | $$ | IV | $$ | $$ | V | $$ | $$ | VI | $$ | $$ | VII | $$ | $$ | VIII | $$ | $$ | IX | $$ | $$ | X | $$ | $$ | XI | $$ | $$ | XII |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
$$ | 7 | $$ | $$ | 2 | $$ | $$ | 9 | $$ | $$ | 4 | $$ | $$ | 11 | $$ | $$ | 6 | $$ | $$ | 1 | $$ | $$ | 8 | $$ | $$ | 3 | $$ | $$ | 10 | $$ | $$ | 5 | $$ | $$ | 12 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
$$ | 11 | $$ | $$ | 10 | $$ | $$ | 9 | $$ | $$ | 8 | $$ | $$ | 7 | $$ | $$ | 6 | $$ | $$ | 5 | $$ | $$ | 4 | $$ | $$ | 3 | $$ | $$ | 2 | $$ | $$ | 1 | $$ | $$ | 12 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
$$ |
Ještě je tu jeden problém, proč bude fungovat opravdu všude sčítání? Všimněme si, že každému číslu (např. VII) je přiřazeno číslo odpovídající danému násobku I (např. 7 \cdot 7 = 49 = 1 mod 12 nebo 7 \cdot 11 = 77 = 5 mod 12). Takže když potřebujeme sečíst dvě čísla, napíšeme si je jako součet jedniček a vše bude fungovat.
Komentář: Ukázalo se, že nejtěžší u této úlohy bylo pochopit zadání. Nejčastější chyba byla, že jste si mysleli, že I hodina je 1 hodin, a přičítali jste k římským číslům arabská. Za správné vyřešení špatného zadání jsem dávala jeden bod. Pokud jste si uvědomili, jaké hodnoty odpovídají VI, IX, XII, byl za to další bod. Bod za úvahu o tom, že nám stačí určit, co bylo přiřazeno I, a za každé řešení také po bodu.
Opravovali: 1. Kryštof Měkuta, 2. Helena Pučelíková, 3. Karolína Rezková, 4. Alena Bušáková, 5. Alžběta Pechová, 6. Tomáš Toufar, 7. Eva Černohorská.