Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.


Úloha č. 1

Upravené řešení podle Františka Coufa:

Součet číslic od 1 do 9 je 45 ((1+9)\cdot9/2=45), ciferný součet nového čísla je 42. Kosodélník tedy ukradl číslici 3.

Dle zadání musí být číslice v párech 1--9, 2--8, 4--5 a 7--6.

První dvojčíslí má být dělitelné 9, a to bude jen v případě, že jeho ciferný součet bude dělitelný 9. Může to tedy být jen 45 nebo 54. Protože hledáme největší číslo, začneme s 54, pokud bychom číslo splňující podmínky nenašli, budeme pokračovat s 45.

Číslo je dělitelné 11 právě tehdy, když je rozdíl součtu číslic na lichých pozicích a součtu číslic na sudých pozicích roven 0 nebo nějakému násobku 11. Dvojčíslí 28 přispěje do součtu +6 nebo -6, podle toho, v jakém budou číslice pořadí. Obdobně dvojčíslí 19 přispěje \pm8, dvojčíslí 45 \pm1 a dvojčíslí 67 ještě přidá \pm1. Výsledný součet \pm8\pm6\pm1\pm1 musí být 0 nebo násobkem 11, a to bude jen v případech +8-6-1-1 nebo -8+6+1+1. Číslice ve dvojčíslích budou v pořadí 19, 82, 54, 76, respektive 91, 28, 45, 67. Nejprve vyzkoušíme první z nich, protože obsahuje dvojici 54.

Pokud je číslo dělitelné 8, musí být také dělitelné 4, a tedy poslední dvojčíslí musí být dělitelné 4. Tuto podmínku splňuje jen dvojice 76, bude tedy na konci. Aby bylo toto dvojčíslí dělitelné ještě 8, musíme tuto podmínku rozšířit ještě na číslici na místě stovek. Protože už nám zbývají jen dvojice 19 a 82, může být poslední trojice buď 276 nebo 976. Pouze 976 je dělitelné 8.

Hledané číslo je tedy 54821976, je nutně největší, protože jsme postupovali „odshora“.

Komentář: Řešení, které zde uvádím se vyskytlo u pár řešitelů, ale přišlo mi dost zajímavé na to, aby si ho prohlédli i ostatní. Druhým typem řešení bylo určení prvních pár podmínek a pak vypsání čísel, která se v závislosti na další podmínce dala nebo nedala použít. „Je to sice dál, zato horší cesta“, ale k cíli vede taky. Po jednom bodu jsem dávala za zjištění, že kosodélník ukradl 3, za zjištění dělitelnosti 8, 9 a 11 a poslední bod byl za správný výsledek. Chtěla bych obzvlášť pochválit Františka Coufa, jehož řešení jsem si vypůjčila jako vzorové, dále Marka Hanzla a Barboru Pešlovou.

Úloha č. 2

Nejprve si musíme uvědomit, že pokud pronikáme dva válce, je lepší, aby se protly co největší plochou a tedy je lepší uvažovat neomezeně dlouhé válce. Předpokládejme, že jeden z válců má menší poloměr než zbylé dva. A pak při průniku udaného v zadání menšího válce a jednoho z těch větších dvou vznikne toto:

(při pohledu ve směru osy menšího válce)

(při pohledu ve směru osy třetího válce)


Důležité ale je, že z tohoto pohledu je plášť třetího válce kružnice a tedy teď musím spočítat, kolik bodů bude mít průnik jedné kružnice s křivkami x a y , což jsou maximálně čtyři body. Stejně se můžeme dívat i z druhé strany, tak dostáváme celkem 8 bodů, což je správné řešení. Ještě ale musíme prošetřit případ, kdy není nejmenší jeden válec a to provedeme tak, že první protneme dva nejmenší válce (Pokud jsou tři, tak nám to nevadí) a opět se podíváme ve směru osy třetího válce:

Nyní musíme kružnicí protnout kříž, což ale opět jde jen maximálně ve čtyřech bodech. A jelikož nám toto vznikne i na druhé straně, tak celkově v 8 bodech. Maximální průnik tří válcových ploch je 8 bodů.

Komentář: Toto byla poměrně těžká úloha hlavně na prostorovou představivost, protože představit si průnik tří válců není úplně jednoduché, ale i přesto bylo došlých řešení průměrné množství a většina jich byla správně až na drobné chyby v nekomentování různých případů či jiných drobností.

Úloha č. 3

Ještě předtím, než začneme pohybovat koňmi, si trochu zmapujeme terén. Když budeme zkoumat, ze kterého políčka na které koně mohou skákat, zjistíme, že většinou nemají moc možností -- z jediného políčka mají na výběr tři směry a jinak mají jen dvě, nebo dokonce jen jednu možnost. Když si políčka šachovnice označíme jako na obrázku, můžeme trasu, po které se mohou pohybovat koně, znázornit jako dlouhou cestičku s jednou slepou odbočkou uprostřed:

To, že šachovnice má z koňského úhlu pohledu vlastně tvar cestičky, nám pomůže při vymýšlení strategie. Aby se dva koně vyhnuli na cestičce, nemají jinou možnost, než že dojdou ke „křižovatce“, tam jeden uhne do odbočky a druhý ho objede. Protože oba černí koně stojí na začátku cestičky, budeme je muset prohodit s oběma bílými koňmi. To je možné udělat hned několika způsoby, například tak, jak je znázorněno na obrázku:

\bullet Z výchozí pozice

\bullet nejprve přesuneme bílého a oba černé koně na druhý konec cestičky,

\bullet pak bílým koněm z A2 dojedeme na D3.

\bullet Černými koňmi se vrátíme dopředu, na B2 a A4 a bílého koně z C2 přesuneme na A2, aby ho černí mohli obejít.

\bullet Potom černé koně opět přesuneme do druhé poloviny cestičky.

\bullet Teď už stačí jen dojet bílým koněm z A2 na B2 a umístit černé koně tam, kde původně stáli bílí, na A4 a A2.

Komentář: Právě popsané řešení používá celkem 42 tahů koňmi a žádné výrazně kratší neexistuje. Jak si někteří z vás všimli, řešení, při kterém by se pravidelně střídali černí a bílí koně, neexistuje vůbec. Většina řešitelů nějaké řešení odhalila a více či méně přehledně napsala posloupnost tahů. U mnohých takových řešení ale jejich autoři nevysvětlili, proč se koně hýbou tak, jak se hýbou, ani jak na takové řešení přišli. V takovém případě jsem udělovala 3 body.

Úloha č. 4

Nejdříve je nutno se zamyslet, jak vlastně daný obrazec vypadá, a nakreslit si náčrtek.

Deltoid je osově souměrný podle úhlopříčky CS, proto se nejdřív budeme zaobírat narýsováním jedné poloviny a druhou poté dorýsujeme podle osové souměrnosti. Vidíme, že trojúhelníky BLS a BKS jsou pravoúhlé, proto body K a L musí ležet na Thaletově kružnici t nad úsečkou BS. Střed této kružnice leží v jedné čtvrtině délky úsečky BD. Tedy poloměr Thaletovy kružnice t je r= 1\over4 \cdot 6 cm= 1,5 cm. Ze zadání víme, že body K, L leží na jedné přímce, označme ji p, která je od přímky BD vzdálena 2 cm. Tady ale nastává problém, protože body K a L tedy musí ležet v průniku přímky p a Thaletově kružnice t, jenže ze vzdáleností vidíme, že přímka a kružnice se nikdy neprotnou. Úloha tedy pro zadanou vzdálenost nemá řešení.

Komentář: Úloha nebyla těžká, proto jsem požadovala zdůvodnit vše. Většina dostala 5 bodů, občas někomu chybělo nějaké vysvětlení, za to jsem mu strhla jeden bod. Další body jsem strhávala podle závažnosti chyby či za chybějící komentáře.

Úloha č. 5

Nejprve se podívejme, cože to vlastně přesně stojí v zadání. Jakub by chtěl mezi dívkami najít tu nejchytřejší, nejmilejší atd. Předpokládáme tedy, že právě jedna mezi nimi skutečně nejchytřejší či nejmilejší je. Tím mezi tři kandidátky rozdělíme pět nej a chceme zjistit, která jich má nejvíc. Mohlo by se stát, že jedna z nich má tři nebo více nej, pak je situace jednoznačná. Na druhou stranu by se také mohlo stát, že dvě z dívek budou mít po dvou nej -- tím se budeme zabývat později.

A dále tady máme zrcadlo. Je třeba mu položit otázku s maximálně třemi atributy. Taková typická otázka by mohla vypadat: Zrcadlo, je Eliška nejkrásnější a nejpracovitější? (Jedním atributem je jméno, dalšími dvěma vlastnosti.) Všimněme si ale, jak je tato otázka nevýhodná. Zrcadlo odpoví ne, když Eliška skutečně těmi vlastnostmi neoplývá, ale také v případě, že je pouze nejkrásnější, nebo pouze nejpracovitější. „Ano“ odpoví pouze, pokud drží oba primáty současně. To je nešikovné. Mnohem lépe pochodíme s otázkou: Zrcadlo, je Eliška nejkrásnější nebo nejpracovitější? Tady už si při odpovědi „ano“ můžeme být jisti, že Eliška má alespoň jedno ze dvou zmiňovaných nej. Snadno také vidíme, že měnit poměr atributů, tj. ptát se na méně jmen, nebo více jmen, neposkytuje tolik informací.

A co dál? Jak zjistíme, jestli má nej jedno, nebo hned obě? Poptáme se po jejích sokyních. Na totéž, na co jsme se ptali u Elišky, zeptáme se i u Terezy s Lucií. Budou-li v jejich případech odpovědi znít ne, víme, že Eliška je nejlepší v obou vlastnostech, protože už nezbývá nikdo, kdo by jí prvenství vyfouknul. Bude-li v jednom z případů odpověď znít také „ano“ -- pak víme, že jedna dívka je nejkrásnější a jiná zase nejpracovitější. Nevíme sice která je která, ale nakonec nám to může být jedno, protože nás zajímá, která vlastně drží prvenství nejvíce, ne která to jsou.

Začíná se nám tedy rýsovat postup řešení. V prvních třech otázkách prověříme slečny kandidátky řekněme na krásu a pracovitost a budeme vědět, která kolik utržila bodů k dobru. Další tři otázky věnujeme stejným způsobem dalším dvěma vlastnostem, například bohatství a chytrosti. Kdyby v tuto chvíli už některé z děvčat získalo tři nebo čtyři nej, máme jednoduše rozhodnuto. To by bylo sice pěkné, ale otázka zní Kolik nejméně dotazů je potřeba..., tedy obecně za jakýchkoli podmínek, nikoli pouze, přeje-li nám zrovna štěstí. Odpovědět musíme, za kolik dotazů pravdu skutečně zjistíme, stůj co stůj, i kdybychom měli zrovna hromskou smůlu. A proto teď budeme předpokládat, že je situace stále nerozhodná, tedy že dvě z kandidátek mají stejný počet svých nej (tj. každá po 2). Poslední, sedmý, dotaz bychom tedy cílili právě na tento spor a měli bychom hotovo.

Jenže zde nás zadání trochu nechalo na holičkách. Říká, že Jakub hledá takovou kandidátku, „která splňuje co nejvíce těchto vlastností.“ Jak se ale k tomu postavit, jsou-li na tom dvě nejlepší kandidátky stejně? (Tedy dvě dívky mají po dvou nej a třetí má pouze jedno.) Buď se spokojíme s tím, že najdeme první z těchto slečen, a budeme považovat úkol za splněný, nebo si nedáme pokoj, dokud neobjevíme obě vyrovnané soupeřky. V prvním případě rovněž pohodlně vystačíme se sedmi otázkami jako výše. V druhém případě budeme muset ještě jednu otázku přidat. Sedmou a osmou totiž podrobně zjistíme, která přesně z kandidátek je nejmilejší, což potřebujeme vědět k úplnému rozřešení problému. Uznával jsem oba přístupy stejně.

Komentář: Úloha se ukázala nečekaně obtížná a většina z vás uvízla někde v průběhu řešení. Pokud jste při svém řešení pošetile spoléhali na zásah štěstěny, dostali jste velmi málo bodů, tedy 1. Pokud jste své úvahy rozvíjeli dále a obvykle jste vymysleli příliš rozvláčný algoritmus pokládání otázek, dostali jste 2 nebo 3 body. Teprve když jste odpověď dotáhli s řádným komentářem k sedmi nebo osmi otázkám, dostali jste 5 bodů, což zvládli pouze tři řešitelé. Anna a Václav Steinhauserovi pak samotného opravujícího zaskočili svými řešeními, která sice nebyla systematická, nýbrž piplavě rozebraná případ od případu, nicméně díky ušetření otázky v tom kterém konkrétním rozložení sil nakonec vystačili každý po svém s pouhými šesti otázkami. To nebyl přístup, který jsme po vás vyžadovali při zadávání úlohy, nicméně s tak dobrým výsledkem je plně legitimní. Klobouk dolů před takovou mravenčí prací!

Úloha č. 6

Při řešení této úlohy si musíme uvědomit, co platí pro těžnice trojúhelníku: Těžnice je úsečka spojující vrchol trojúhelníku se středem protilehlé strany. Pokud například rozdělíme \Delta ABC těžnicí CC_{1} na \Delta AC_{1}C a \Delta C_{1}BC, pak tyto dva trojúhelníky mají stejný obsah, protože mají základny stejné délky (|AC_{1}|=|C_{1}B|) a stejnou výšku.

Trojúhelníky \Delta AC_{1}T a \Delta C_{1}BT: |AC_{1}| = |C_{1}B|, výška TV_{1},

S_{1a}=S_{3a}=|AC_{1}|\cdot|TV_{1}|/2=|C_{1}B|\cdot|TV_{1}|/2.

Trojúhelníky \Delta BA_{1}T a \Delta A_{1}CT: |BA_{1}|=|A_{1}C|, výška TV_{2},

S_{2a}=S_{3b}=|BA_{1}|\cdot|TV_{2}|/2=|A_{1}C|\cdot|TV_{2}|/2.

Trojúhelníky \Delta CB_{1}T a \Delta B_{1}AT: |CB_{1}|=|B_{1}A|, výška TV_{3},

S_{2b}=S_{1b}=|CB_{1}|\cdot|TV_{3}|/2=|B_{1}A|\cdot|TV_{3}|/2.

Body A_{1}, B_{1}, C_{1} tvoří trojúhelník ze středních příček \Delta ABC. Strany příčkového trojúhelníku jsou rovnoběžné se stranami AB, BC, CA. Toto tvrzení nám pomůže objasnit, že obsahy \Delta ABA_{1} a \Delta ABB_{1} (resp. \Delta BCB_{1} a \Delta BCC_{1}, \Delta CAC_{1} a \Delta CAA_{1}) jsou shodné, protože mají vždy společnou stranu a výšku na ni spuštěnou.

S_{1a}+S_{3a}+S_{2a}=S_{3a}+S_{1a}+S_{1b} \Rightarrow S_{1b}=S_{2a}

S_{2a}+S_{3b}+S_{2b}=S_{3a}+S_{2a}+S_{3b} \Rightarrow S_{2b}=S_{3a}

S_{2b}+S_{1b}+S_{1a}=S_{1b}+S_{2b}+S_{3b} \Rightarrow S_{1a}=S_{3b}

Dostali jsme 6 rovností pro obsahy našich trojúhelníčků, ze kterých je vidět, že všechny mají stejný obsah.

Závěr: Pokud rozdělíme trojúhelník na 6 částí pomocí těžnic, pak tyto části mají shodný obsah. Poměr obsahů jednotlivých částí je 1:1:1.

Komentář: Většina z vás se dopracovala ke správnému výsledku. Body jsem strhávala za nedostatečné zdůvodnění, proč by měly mít trojúhelníčky stejný obsah. Někteří řešitelé uvedli nepravdivá tvrzení týkající se trojúhelníků a jejich řešení nemohla být uznána, případně jenom z části.

Úloha č. 7

Sestavíme podle zadání soustavu rovnic. Označíme:
množství vody vypité za 1 minutu jedním člověkem ... c
množství vody, které do skleničky přiteče za 1 minutu ... p
objem skleničky ... s
čas, který chceme zjistit (tj. jak dlouho pijí 2 lidé) ... t

Jeden člověk vypije skleničku za 5 minut, tedy:

  1. 5c=5p+s (musí vypít 1 skleničku a pětkrát to, co přiteče za minutu)
    tři lidé za 1 minutu, tedy:
  2. 3c=p+s
    a dva lidé za t minut:
  3. 2tc=tp+s

Z 2. rovnice vyjádříme p=3c-s a dosadíme do 1. rovnice

\eqalign{ 5c&=15c-5s+s, \cr 10c&=4s, \cr c&=2\over5 s. \cr }

Tedy p=3c-s=6\over5 s-s=1\over5 s.

Dosadíme p a c do 3. rovnice

\eqalign{ 2t \cdot 2\over5 s &= t \cdot 1\over5 s + s, /:s \cr 4\over5 t&= 1\over5 t + 1,\cr 3\over5 t&= 1, \cr t&= 5\over3_min() = 1 min 40s. \cr }

Dva lidé vypijí sklenici za 1 minutu a 40 sekund.

Komentář: Převážná většina došlých řešení byla správně. Nejčastější chybou u těch špatných bylo, že jste vymysleli něco ve smyslu: 1 člověk 5 minut, 3 lidi 1 minuta, tedy s každým přidaným člověkem ubývají 2 minuty, a proto 2 lidé znamenají 3 minuty. Že takto to asi fungovat nebude, lze zjistit jednoduchou úvahou -- kolik minut by pili 4 lidé? Jistě se vám výsledek mínus 1 minuta, kterou předešlý postup nabízí, příliš nezamlouvá.

Opravovali: 1. Helena Pučelíková, 2. Jan Vaňhara, 3. Tereza Klimošová, 4. Klára Krejčíčková, 5. Pavel Houdek, 6. Lucie Mohelníková, 7. Hana Bílková.