Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.


Úloha č. 1

Ze zadání snadno vyplývá soustava tří rovnic o třech neznámých (e = Eliška, j = já, t = Tereza):

\eqalign{ t-1 &= j, \cr j+e+3 &= 2t, \cr t+2 \over e+2 &= 16\over15. \cr}

Z prvních dvou rovnic snadno plyne t=e+2. Dosazením této formulky do třetí rovnice dostáváme

t+2 \over t = 16\over15.

Tuto rovnici upravíme a zjistíme, že t=30. Snadno už dopočítáme i poslední dvě hodnoty. Výsledek tedy zní: Eliška má dvacet osm, já mám devětadvacet a Tereze je třicet let.

Komentář: Jak ukazují bodové zisky, příklad byl pro vás snadným soustem. Strhl jsem jen málo bodů, převážně kvůli řešení zkoušením možností. Několik z vás si všimlo, že rozdíl věků Elišky a Terezy zůstává konstantní, tedy se dá hledaný věk z poměru snadno odvodit.

Úloha č. 2

Ze zadání víme, že velikost úhlu BAD je 60\deg. Strana BC je rovnoběžná se stranou AD. O straně CD víme, že je rovnoběžná s AD a že na ní leží průsečík os úhlů ABC a BAD, který umíme snadno najít. Postup konstrukce rovnoběžníku může být například následující:

  • AB, |AB|=7 cm,
  • \poloprimka AX, |\angle BAX|=60\deg,
  • \poloprimka BY, BY \parallel AX,
  • \poloprimka o_{1}, o_{1} je osa \angle BAX,
  • \poloprimka o_{2}, o_{2} je osa \angle ABY,
  • M, M \in o_{1} \cap o_{2},
  • \primka p, p \parallel AB \wedge M \in p,
  • rovnoběžník ABCD.

Úloha má dvě řešení, po jednom v obou polorovinách určených přímkou AB.

Komentář: Výše popsaný postup použila většina řešitelů. Protože nalezení postupu nebylo u této úlohy nijak složité, plný počet bodů jste získali jedině za správné řešení obsahující kromě postupu i náčrt a diskuzi počtu řešení. Body jste často ztráceli za chybějící diskuzi počtu řešení a za rýsování os úhlů pomocí úhloměru.

Úloha č. 3

Délku hrany jehlanu a průměr podstavy sudu označme jako a, výšku jehlanu jako v a výšku sudu jako u. Objem našeho jehlanu pak můžeme vyjádřit jako:

V = 1\over3 va^{2}.

Objem jehlanu je roven objemu sudu, tedy zároveň platí:

V = \pi \left(a\over2_right())^{2} u.

O sudu navíc víme, že obsah obou jeho podstav je stejný jako obsah jeho pláště. Známe tedy vztah mezi průměrem podstavy sudu a jeho výškou ze vztahu

\eqalign{ 2 \pi \left(a\over2_right())^{2} &= 2 \pi \left(a\over2_right()) u, \cr a\over2 & = u. \cr }

Porovnáme objemy obou těles:

1\over3 v a^{2} = \pi \left(a\over2_right())^{2} a\over2.

Upravíme:

\eqalignno{ v & = 3 \pi a \over 8 \cr _NOALIGN(a dosadíme za $a$:) v & = 3 \pi 80 \over 8 cm, \cr v & = 30 \pi cm. \cr }

Výška jehlanu je 30 \pi cm, což je přibližně 94,25 cm.

Komentář: Většina řešitelů neměla s pochopením úlohy problém. Nejčastější chybou ovšem bylo to, že jste již od začátku zaokrouhlili \pi na dvě desetinná čísla a počítali s ním jako s racionálním číslem. Tím se vaše řešení stávalo již od začátku nepřesným a s každým dalším výpočtem jste se vzdalovali od správné hodnoty. Záchranné pokusy ve formě \pi na deset desetinných míst jsou zoufalé a strašně nepřehledné. Do výpočtů nemusíte vždy dosazovat numerickou hodnotu a můžete si vše nechat vyjádřené pomocí symbolů. Svým způsobem to tedy mělo správně jen pár řešitelů.

Úloha č. 4

Pro lepší orientaci nejprve označíme řádky písmeny A až E a sloupce čísly 1 až 5. Jak vyplývá ze zadání, je na políčku C2 jednička. Na políčcích E3 a D5 musí být číslo pět. Kdyby tam bylo něco jiného, pozorovatel, který stojí před tímto blokem, by viděl více mrakodrapů než jeden. Ve sloupci 4 může být budova výšky pět jen v řádku C. Pokud by totiž byla v řádku A nebo B, viděli by pozorovatelé zprava jen dvě budovy a ne čtyři a v řádku D a E už pětka je. V řádku B musí být pětka na políčku B2, aby pozorovatel zleva viděl dvě budovy a pozorovatel zprava čtyři. Aby byl v každém sloupci a každém řádku mrakodrap výšky pět, musí být ještě jeden na políčku A1.

V řádku A bude čtyřka ve sloupci 2. Ve sloupci 3 a 4 být nemůže, protože by pozorovatelé shora viděli jenom dva mrakodrapy a ne tři a na políčku A5 být nemůže, protože by pozorovatel zprava viděl jen dva mrakodrapy. V řádku E bude čtyřka na políčku E5. Nemůže být na E1, protože by pozorovatel zespoda viděl jen dva mrakodrapy a ne čtyři. Ve sloupci 2 už čtyřka je, proto ani na E2 nebude. Kdyby byla na E4, viděl by pozorovatel zprava více než dva mrakodrapy. Ve sloupci 4 musí být čtyřka v řádku D. V řádku A nebo B nemůže být ze stejného důvodu, z jakého tam nemohla být pětka, a v řádku E již je. V řádku C musí být čtyřka na políčku C1, aby pozorovatel zleva viděl jen dva mrakodrapy. Opět doplníme poslední čtyřku do řádku a sloupce, ve kterém ještě není, tedy na políčko B3.

Na políčko D1 musíme doplnit číslo tři, aby pozorovatel zleva viděl tři mrakodrapy. Další trojka bude na políčku B4. Jinde v řádku B být nemůže. Kdybychom ji umístili do sloupce 1, byla by tam dvakrát. Ve sloupci 5 být také nemůže, to by pozorovatel viděl jenom tři mrakodrapy a ne čtyři. Ve sloupci 2 nemůže být trojka jinde než v řádku E (v řádku D už trojka je). Ve sloupci 5 musí být trojka v řádku C. Kdyby byla v řádku A, pozorovatel zprava by neviděl čtyři mrakodrapy. Trojka chybí v řádku A a sloupci 3, takže poslední bude na políčku A3.

Teď doplníme řádek A. Aby pozorovatel zprava viděl čtyři mrakodrapy, musí být na políčku A5 dvojka a na políčku A4 jednička. Jediné místo, kde může být dvojka v řádku B, je políčko B1. Na B5 tedy bude jednička. V řádku C už zbývá doplnit jenom dvojku, a to na políčko C3. Nyní chybí v každém sloupci 1 až 4 jedno číslo, proto doplníme vždy to, které tam ještě není. Na políčko E1 jedničku, na D2 dvojku, na D3 jedničku a na E4 dvojku. Tím jsou všechna políčka zaplněná.

Komentář: Úloha se řeší podobně jako sudoku. Políčka je možné doplňovat také v trochu jiném pořadí. Většina z vás přišla na to, jak město vypadá. Plný počet bodů tedy dostal ten, kdo měl nejen správné řešení, ale i popsal, jak při řešení postupoval.

Úloha č. 5

Prvním důležitým krokem je uvědomit si, že takových lichoběžníků je opravdu hodně, a abychom je spočítali opravdu všechny a na žádný nezapomněli, musíme to dělat systematicky. Co nám v tom hodně pomůže, je uvědomit si, že existují tři základní skupiny lichoběžníků, podle toho, se kterou stranou velkého trojúhelníku mají rovnoběžnou základnu:

Tudíž nám stačí spočítat lichoběžníky z jedné z těchto skupin a tento počet vynásobit třemi.

Dále se podíváme, jaké různé tvary (resp. velikosti) lichoběžníků nám mohou vzniknout, jsou to:

S tím, že dva z nich existují i obrácené, tedy delší základnou ležící k vrcholu, nikoli ke straně trojúhelníku:

Nyní zbývá spočítat, kolikrát se v zadaném obrázku vyskytuje lichoběžník každého typu. Počty lichoběžníků jednotlivých typů jsou uvedeny v následující tabulce:


**Typ** **Počet** **Popis**

(1) 6 Třikrát ve spodní vrstvě, dvakrát v další vrstvě a pak ještě jednou
(2) 3 Dvakrát ve spodní vrstvě, jednou ve vrstvě nad ní
(3) 1 Jednou ve spodní vrstvě
(4) 3 Dvakrát s delší základnou na spodní straně trojúhelníku, jednou o vrstvu výš
(5) 1 Jednou ve spodní vrstvě
(6) 1 Pouze jednou ve spodní vrstvě
(7) 3 Lichoběžník (1) otočený o 180\deg ; Je dvakrát ve spodní vrstvě a jednou o vrstvu výš
(8) 1 Lichoběžník (2) otočený o 180\deg ; Pouze jednou s kratší základnou na spodní straně trojúhelníku.

$$

V součtu dostáváme 19 lichoběžníků. Víme ale, že toto číslo musíme ještě vynásobit třemi, což dává 57 lichoběžníků. To je tedy počet všech rovnoramenných lichoběžníků, které se v obrazci nacházejí.

Komentář: Více než polovina řešení byla správně. Vyskytlo se několik málo řešení s drobnými nedostatky, například se správným výsledkem, ale nepřehledným postupem, ta si vysloužila čtyři body. Častými chybami bylo opomenutí některých typů lichoběžníků nebo vynechání těch obrácených delší základnou k vrcholu, což vedlo k zisku tří bodů. Nejhorším prohřeškem dle mého názoru bylo opomenutí faktu, že počet lichoběžníků musí být dělitelný třemi, a počítání každého jednotlivě, což některým sice dokonce vyšlo, většině však nikoli.

Úloha č. 6

Tereza s Eliškou stavěly pyramidu tak, aby v každé vrstvě (kromě té nejvyšší) byl stejný počet kostek jako ve všech vrstvách nad ní. To znamená, že celkový počet kostek, ze kterých se skládá libovolná pyramida, si můžeme rozdělit na polovinu. Z první poloviny kostek bude nejspodnější vrstva a z druhé poloviny všechny vrstvy nad ní (čímž splníme zadání pyramidy). Pyramidu tedy tvoří sudý počet kostek, který je mocninou dvojky. Výjimka je pouze pyramida, obsahující jen jednu vrstvu. Ta totiž může mít jakýkoliv počet kostek a zadání je vždy splněno.

Pokud bylo na pyramidu použito 651 kostek, což je liché číslo, bude mít pyramida jen jednu vrstvu, která obsahuje všechny kostky a je zároveň nejvyšší.

V nejvyšší vrstvě bylo 651 kostek.

Zadání bylo poté upřesněno tak, že do zadaného počtu použitých kostek se nezapočítává nejvyšší vrstva. Ostatní podmínky pro stavbu pyramidy zůstávají stejné. Pyramidu můžeme opět dělit na poloviny již popsaným způsobem. Počet použitých kostek tedy je (2^{n} - 1) \cdot x, kde x je počet kostek v nejvyšší vrstvě. To nám dává tři způsoby, jak můžeme rozdělit 651 kostek, a to na 3\cdot217, 7\cdot93 nebo 31\cdot21.

V nejvyšší vrstvě pyramidy by mohlo být 217, 93 nebo 21 kostek.

Komentář: Velká většina z vás došla ke správnému výsledku (tj. 651 kostek v nejvyšší vrstvě, uznávala jsem i závěr, že pyramidu nelze sestavit, jelikož pyramida musí mít více vrstev), pokud jste však nijak nevysvětlili proč, nebo jste na výsledek přišli pouze zkoušením (je potřeba svůj závěr nějak zdůvodnit), ohodnotila jsem to jen třemi body.

Úloha č. 7

Nejdříve si všimneme, že dané čtyřúhelníky KAMN, KAMB, KLMB vyplňují celý rovnoběžník, jehož obsah je $S_{KLMN} = |KL| \cdot v = 6 \cdot 6 = 36 cm{2}. Protože čtyřúhelník KAMB má zabírat 4\over(3+4+5) = 4\over12 jeho plochy, dostáváme S_{KAMB} = 4\over12 \cdot 36 = 12 cm{2}. Čtyřúhelník KAMB se ale skládá ze dvou trojúhelníků KAB a MAB. Jejich obsahy vyjádříme pomocí délky základny AB$:

\eqalign{ S_{KAB} &= 1\over2 |AB| \left(1\over3_right()) v = |AB|, \cr S_{MAB} &= 1\over2 |AB| \left(2\over3_right()) v = 2|AB|. \cr}

Zjistili jsme, že obsah KAMB je 12 = 3|AB| a z toho vyplyne výsledek: Strana AB byla dlouhá 4 cm.

V zadání byla podmínka, že úsečka AB leží celá uvnitř rovnoběžníku, proto musíme ověřit, že tomu tak je (jinak by úloha neměla řešení). To plyne například z toho, že kdyby bod A ležel na úsečce KN, tak by se čtyřúhelník KAMN zredukoval na trojúhelník AMN a měl by obsah 12 cm^{2}, ale ve skutečnosti má obsah 5\over(3+4+5) \cdot 36 = 15 cm^{2}, což je možné jenom pokud bod A leží uvnitř rovnoběžníku. Stejné zdůvodnění použijeme pro čtyřúhelník KBML, kde je 6 cm^{2} < 9 cm^{2}, a tedy i bod B je uvnitř rovnoběžníku.

Komentář: Většina řešení byla správná. Body jsem strhávala za nedostatečný komentář a chyby. Naopak jsem body nestrhávala za neověření, že AB je opravdu uvnitř rovnoběžníku. Někteří z vás zaměňovali AB a |AB|. Vězte, že zatímco |AB| je číslo značící délku úsečky AB, AB je samotná úsečka.

Opravovali: 1. Jiří Harasim, 2. Kryštof Měkuta, 3. Lada Peksová, 4. Tereza Pechová, 5. Alena Bušáková, 6. Alžběta Pechová, 7. Eva Černohorská.