Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.

Úloha č. 1

Úloha se zdála být poměrně snadná, kdyby se ovšem nevloudila do zadání chyba. Opravení této chyby jsme vám sice posílali na vaše mailové adresy, ale přesto se vyskytly různé výklady zadání. Jádrem sporu bylo, zda se pastýři naštvou, pokud je na alespoň jedné pastvině méně než sedm, nebo méně než šest koz. Problém ovšem činilo i doplňování šesti koz, neboť poslední den již pastýři žádné kozy nedoplní.

Na začátku je třeba poznamenat, že hroznýš je chytrý, a tak po něm budeme chtít, aby škrtil vždy jen jednu kozu z ohrady, ve které je koz nejvíce. Pokud je více takových ohrad, může si vybrat.

Ke zdárnému vyřešení úlohy je možné postupně odečítat třináct od x=378=42\cdot9 (celkový počet koz), a pak přičítat šest, ale tento postup je velmi těžkopádný. Uvedeme zde řešení, které vede zaručeně k cíli.

Nejprve spočteme, kolik nejvíce koz může být dohromady v ohradách, aby ještě pastýři neobjevili přítomnost hada, ale při odebrání jedné kozy navíc již ano. V první verzi zadání je to 7\cdot42=294=y_{1} koz, zatímco v případě druhém 6\cdot42=252=y_{2} koz. Označíme-li si z počet nocí, po kterých pastýři na hroznýše přijdou, pak tento počet musí splňovat následují nerovnici:

x-13\cdotz+6(z-1) < y

a zároveň to musí být co nejmenší přirozené číslo. Upravíme dvě rovnice získané z výše probraných verzí zadání, a to tak, že si vyjádříme z:

z_{1} > 78\over7 = 11 1\over7,
z_{2} > 120\over7 = 17 1\over7.

Tudíž pro jednotlivé případy dostaneme 12, nebo 18 nocí. To znamená, že po inkriminované noci pastýři začnou hada hledat.

Komentář: Většina z došlých řešení měla vážnou chybu: započítávala úbytek sedmi koz za den. Jenže poslední den ubude 13 koz, nikoli jen sedm. To posouvalo nalezení hada o den dále do budoucnosti, což jsem nemohl nechat bez penalizace, a za tuto chybu jsem strhával jeden bod.

Úloha č. 2

Nejprve si nakreslíme, jak situace vypadá -- bokorys.

Výška jehlanu je součtem poloměru koule |DS|=5 cm a vzdálenosti roviny podstavy od středu koule |OS|, což je 3 cm, tedy celkem 8 cm.

Body závěsu koule tvoří rovnostranný trojúhelník ABC, protože každé dva body jsou od sebe vzdáleny stejně. Z bokorysu vidíme, že můžeme spočítat vzdálenost těžiště O trojúhelníku ABC od jeho vrcholů, a to podle Pythagorovy věty: |OA|^{2}+|OS|^{2}=|SA|^{2}. Přitom |SA| je vzdálenost od středu koule k jejímu plášti, je tedy rovna poloměru koule, což je 5 cm. Protože |OS|=3 cm, máme nejjednodušší pythagorejský trojúhelník o stranách 3, 4, 5. Tedy |OA|=4 cm.

Nyní se podívejme na situaci shora.

V rovnostranném trojúhelníku splývají těžnice s výškami a osami úhlů i stran. Navíc těžnice libovolného trojúhelníku mají tu vlastnost, že těžiště je dělí v poměru 2:1. Z toho vyplývá, že úsečka OA tvoří dvě třetiny výšky v trojúhelníku ABC. Takže

2v \over 3 = 4 cm,

tedy v=6 cm.

Nyní můžeme spočítat podle Pythagorovy věty stranu a trojúhelníku ABC, protože výška půlí stranu a zároveň je na ni kolmá:

\left(a\over2_right())^{2} + v^{2} = a^{2}.

Obecně vyjádříme:

a = 2v\over\sqrt{3},

kam dosadíme v=6 cm a dostaneme a=4\sqrt{3} cm.

Ke spočítání objemu jehlanu potřebujeme znát obsah $\triangle ABC$. Dosadíme do vzorce

S = a \cdot v \over 2,

tedy

S = 4\sqrt{3}\cdot6_over()2 cm^{2}

a vyjde S=12\sqrt{3} cm^{2}.

Nyní máme všechny potřebné údaje, abychom mohli spočítat objem jehlanu ABCD. Ten se počítá podle vzorce

V = S_{p} \cdot v \over 3,

kde S_{p} je obsah podstavy a v je výška jehlanu. Po dosazení dostaneme:

V = 12\sqrt{3}\cdot8_over()3 cm^{3} = 32\sqrt{3} cm^{3} \doteq 55,4 cm^{3}.

Objem nejlepšího sýra je tedy 32\sqrt{3} cm^{3}.

Komentář: Většina řešení měla až na nějaké početní chyby (nejčastěji tipování poloměru kružnice opsané \triangle ABC) správný postup a úvahy. Bod jsem strhávala za každý špatný mezivýsledek (tedy pokud někdo udělal chybu při počítání strany podstavy a zbytek úlohy řešil správným postupem, ale se špatnými čísly, dostal 4 body). Nejméně se mi líbila rýsovací řešení, neboť tato úloha je početní a při rýsování vyjde jen velmi přibližně.

Úloha č. 3

Původní tatranky měly 50 gramů a prodávaly se za pět korun. Z toho jedna koruna byl zisk obchodníků a čtyři koruny tvořily náklady na výrobu. Jelikož na obal připadala jedna desetina nákladů, stál obal 0,4 koruny. Zbytek, tedy 3,6 koruny, stála výroba sušenky o hmotnosti 50 gramů.

Jestliže nové tatranky váží 40 gramů a prodávají se ve stejném obalu za stejnou cenu, tj. pět korun, připadá na náklady na obal opět 0,4 koruny. Náklady na výrobu sušenky se snížily ve stejném poměru, jako se snížila hmotnost sušenky, tedy na 2,88 koruny. Zbytek do pěti korun připadá na zisk obchodníků. Zisk je proto 1,72 koruny.

Zisk obchodníků se zvýšil o 0,72 koruny, což je 72\%.

Úloha č. 4

Celou situaci si můžeme nakreslit jako na našem obrázku. Totemy zde zobrazují středy kružnic S_{1} a S_{2}.

Střed S_{1} menší kružnice leží v jedné čtvrtině úhlopříčky čtverce ABCD. Její poloměr zjistíme, když spustíme kolmici z jejího středu ke straně AB. Pata této kolmice bude vzdálená od vrcholu A o jednu čtvrtinu strany, tedy o 2 m (plyne z podobnosti trojúhelníků APS_{1} a ABC). Z Pythagorovy věty známe vzdálenost středu S_{1} od bodu A jako délku přepony:

|AS_{1}| = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} m = 2 \sqrt{2} m.

Bod X je tedy od bodu A vzdálen

|XA| = (2 + 2 \sqrt{2}) m.

Poloměr druhé kružnice označíme jako x. Pro vzdálenost bodu X od bodu C bude obdobně platit

|XC| = (x + x \sqrt{2}) m.

Z Pythagorovy věty dále víme délku celé úhlopříčky, což je

|AC| = \sqrt{8^{2} + 8^{2}} = 8 \sqrt{2} m.

Můžeme tedy zapsat jednu rovnici o jedné neznámé:

8 \sqrt{2} m = (2 + 2 \sqrt{2} + x + x \sqrt{2}) m.

Upravíme a vyjádříme x:

x = 6\sqrt{2}-2 \over \sqrt{2}+1.

Vzdálenost d mezi středy kružnic (neboli požadovaná vzdálenost mezi totemy) je součet poloměrů obou kružnic:

d = x + 2 = 6\sqrt{2}-2 \over \sqrt{2}+1 + 2.

Rozšíříme zlomek, abychom se zbavili odmocniny:

\eqalign{ d &= 6\sqrt{2}-2 \over \sqrt{2}+1 \cdot \sqrt{2}-1 \over \sqrt{2}-1 + 2 = 12-6\sqrt{2}-2\sqrt{2}+2 \over 2-\sqrt{2}+\sqrt{2}-1 + 2 =\cr &= 14-8\sqrt{2} \over 2-1 + 2 = (16 - 8\sqrt{2}) m.}

Totemy jsou od sebe vzdáleny o 16 - 8\sqrt{2} metrů (velmi přibližně o 4,69 m).

Komentář: Mnoho z vás nevyjadřovalo výsledky mezivýpočtů pomocí odmocnin, ale pomocí desetinného rozvoje, který často přílišně zaokrouhlili. To je velmi nepřesné a vznikala tím poměrně značná odchylka již po několika krocích. Výsledky raději nechávejte vyjádřené pomocí odmocnin, zlomků, logaritmických funkcí, ustálených konstant a podobně. Tím zůstane vaše řešení přesné a nebude složité ho přepsat.

Pokud jste toto celé spočítali správně, dostali jste 5 bodů. Pokud byl někde problém ve výpočtu, nebo byla část úvahy špatně, dostali jste 4 body. Kdo se o výpočet pokusil, ale zvládl pouze poloměr menší kružnice a vzdálenost jejího středu od nejbližšího vrcholu čtverce, získal 3 body. Mnoho z vás pojalo úlohu jako rýsovací. Pouze jste narýsovali obrázek a pak z něj vzdálenost změřili. Tato metoda je velmi nepřesná. Pokud byl tedy obrázek alespoň trochu přesný, dávala jsem 2 body. Pokud byl obrázek příliš nepřesný, dávala jsem pouze 1 bod.

Úloha č. 5

Nejjednodušší způsob řešení byl následující: Stačilo si všimnout, že výrok Lucie „Nic z toho, co říká Jakub, není pravda.“, musí být nepravdivý. Kdyby totiž byl pravdivý, pak by Jakub lhal třikrát, což je v rozporu se zadáním. Protože ale každý lže právě jednou a my už jsme určili, u kterého výroku Lucie lže, víme, že její zbývající výroky jsou pravdivé. Dalekohled tedy rozbil Ondřej.

Komentář: Většina z vás úlohu vyřešila správně, i když třeba ne zrovna tímto způsobem. Pokud ale někdo zkusil pouze možnost, že dalekohled rozbil Ondřej, a nevyloučil zbylé možnosti, strhnul jsem 1 bod. Není totiž předem jasné, že výpovědi jednoznačně určí pachatele. Pokud někdo uvedl řešení bez postupu, strhnul jsem 2 body.

Úloha č. 6

Úloha byla ještě prostší, než na první pohled vypadala. Stačilo si rovnost přepsat z tvaru podílu do tvaru součinu a vykoukla na nás úloha starého známého typu:

54* \cdot *3 = 23*07.

Vidíme, že začneme-li součin klasicky roznásobovat, do poslední číslice výsledku, tedy 7, budou mít co mluvit pouze poslední číslice činitelů. Neboli čím musíme vynásobit trojku, abychom dostali výsledek končící sedmičkou? Inu, jedině devítkou. Víme tedy:

549 \cdot *3 = 23*07.

Když teď pokračujeme v roznásobování pod sebe podle klasických pravidel, vychází nám součet 1647 + ???@0 = 23*07. Číslice označená @ je výsledkem násobení 9 a neznámé číslice * a ze součtu nám vychází, že se musí rovnat 6. A čím musíme vynásobit devítku, abychom dostali na konci šestku? Malá násobilka říká, že čtyřkou. Toto číslo jsme mohli (a někteří z vás tak také učinili) odhadnout tak, aby vynásobeno 549 dalo výsledek větší než 23 000. Tak to máme:

549 \cdot 43 = 23*07.

Voil\arave, výsledek je 23 607 a naše úloha je vyřešena:

23 607 : 549 = 43.

Komentář: Možná to tak nevypadá, ale úloha byla skutečně snadná, což jste dokázali velkým množstvím suverénně správných řešení. Takové řešení bylo třeba řádně doprovodit slovním komentářem, aby si vysloužilo plný počet bodů. V opačném případě jste o jeden bod přišli.

Někteří se však nechali zlákat na scestí pomyslnou snadností a zkoušeli bezmyšlenkovitě vymámit řešení z kalkulačky. To, že jim to naposté skutečně vyšlo, sice šlechtí jejich trpělivost, ale není to v žádném případě slučitelné s jejich hrdostí matematika. Matematik neťuká, nýbrž přemýšlí. Taková řešení byla ohodnocena nízko, zpravidla dvěma body.

Úloha č. 7

Za úkol bylo k dané kružnici o poloměru 40 cm a přímce, jejíž vzdálenost od středu kružnice je 20 cm, narýsovat čtverec, který je kružnici opsán a jehož jeden vrchol leží na přímce. A vše se mělo narýsovat ve vhodném měřítku, např. 1:10. Jako řešení je zde zápis konstrukce se slovním komentářem.

Zápis konstrukce:

  • k, k (S, 40 cm); p, |pS|=20 cm; dáno,
  • čtverec KLMN, |KL|=80 cm -- narýsujeme čtverec, který má stranu stejně velkou, jako náš hledaný čtverec,
  • o, K \in o, M \in o,
  • q, L \in q, N \in q,
  • F, F \in o \cap q,
  • l, l (S,|FM|) -- naznačuje množinu, kde mohou ležet vrcholy čtverce,
  • A, A \in p \cap l -- vzniknou dva body, vybereme si jeden z nich a dále pokračuje v rýsování, konstrukce s druhým bodem vytvoří druhé řešení,
  • V, V \in p \wedge |VS|=|VA|,
  • j, j (V, |VA|) -- Thaletova kružnice,
  • T, T \in j \cap k -- bod dotyku,
  • přímka AT,
  • B, B \in AT \wedge |AB|=80 cm,
  • m, m \perp AB \wedge B \in m,
  • C, C \in m \wedge |BC|=|AB|,
  • n, n \perp m \wedge C \in n,
  • D, D \in n \wedge |AD|=|AB|,
  • čtverec ABCD.

Úloha má tedy podle konstrukce dvě řešení.

Komentář: Úloha byla bohužel nejasně formulovaná, nebylo řečeno, co je zadáno a co se má sestrojit. Když jste začali kružnicí, tak se úloha stala jednodušší. Plný počet bodů jste ale dostali za jakýkoliv správný postup. Jeden bod jsem strhávala za použitou a nevysvětlenou konstrukci tečny ke kružnici vedenou daným bodem, který neležel na kružnici. Tři body jste dostali, pokud řešení bylo správné, ale nebyl tam skoro žádný či žádný postup. Další body jsem strhávala podle závažnosti chyb.

Opravovali: 1. Ondřej Honzl, 2. Alena Bušáková, 3. Alžběta Pechová, 4. Lada Peksová, 5. Tomáš Toufar, 6. Pavel Houdek, 7. Klára Krejčíčková