Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.

---

Úloha č. 1

Víme, že vždy svítí segmenty, které jsou ve dvou údajích současně, jen ty a žádné jiné. To znamená, že segmenty, které svítí na druhém obrázku (zobrazující datum a čas) a nesvítí na obrázku prvním (s datem a stopkami), nemůžou svítit ve stopkách. (To, že svítí na druhém obrázku, nám říká, že jsou v datu i čase. Z toho, že nesvítí na prvním obrázku, plyne, že nejsou zároveň v datu a stopkách. A protože v datu jsou, nemohou být ve stopkách.)

A naopak segmenty, které svítí na prvním obrázku a nesvítí na obrázku druhém, nemohou být v čase. Z toho už lze vyvodit, jak vypadají stopky:

Z čehož dostaneme jednoznačně:

Rovněž pro čas dostaneme:

Vznikne opět jednoznačně:

Nyní si uvědomme, že segmenty, které jsme doplnili, abychom získali z prvního obrázku stopky a z druhého obrázku čas, nemohou být zastoupeny v datu, a dále, že datum je v obou obrázcích. Můžeme určit jednoznačně datum z následujícího obrázku:

Výsledné datum tedy je:

Bylo 23. 2., 4 hodiny 36 minut a stopky ukazovaly 50:40.

Komentář: Většina z vás úlohu vyřešila správně, vymysleli jste spousty různých cest, jak k řešení dojít. Často jste prostě hledali čísla, z kterých by vznikly znaky v zadání. Zde bych chtěla poznamenat, že je dobré dříve, než začnu zkoušet všechny možnosti, dobře si rozmyslet, zda hledání nemůžu nějak omezit, vyloučit nějaké možnosti logickou úvahou apod. Řešení je pak daleko hezčí.

Úloha č. 2

K tomu, abychom zjistili, kolik balíčků polevy na dort spotřebujeme, musíme znát povrch dortu. Ten můžeme rozdělit na několik částí. Na dolní podstavu, horní části jednotlivých pater a stěny dortu.

Dolní podstava dortu má obsah S_{d}, který spočítáme jednoduše jako obsah kruhu o poloměru 100 cm,

Když poskládáme horní části všech pater do sebe, dostaneme kruh o stejném obsahu, jaký má dolní podstava. Jeho obsah S_{h} bude

Zbývá vypočítat obsahy stěn jednotlivých pater. To jsou obdélníky s délkami stran 2 cm (výška patra) a 2 \pi r (obvod patra, kde r je poloměr příslušného patra). Položme vedle sebe obdélníky odpovídající stěnám 1. a 101. patra, získáme obdélník o stranách 2 cm a 2 \pi \cdot 1 + 2 \pi \cdot 100 = 202\cdot\pi cm a obsahu S_{p} = 404\cdot\pi cm^{2}. Když vedle sebe položíme obdélníky odpovídající stěnám 2. a 100. patra, získáme obdélník se stejným obsahem, protože patra se zmenšují (nebo zvětšují, záleží na úhlu pohledu) rovnoměrně a o co se zmenší obsah jednoho patra, o to se zvětší obsah druhého patra. Proto můžeme stejně pokračovat i s 99. a 3. patrem 98. a 4. patrem atd. Tuto úvahu znázorňuje následující obrázek.

Takto vytvoříme 50 obdélníků, které mají všechny stejný obsah S_{p}, a zbude pouze 51. patro, které už nemáme s čím spojit a které bude mít obsah S_{p}\over2. Povrch S_{s} stěn dortu bude

Celkový povrch S dortu bude součet všech tří částí:

Víme, že na 1 cm^{2} spotřebujeme 2 g čokolády, proto na námi vypočítaný povrch spotřebujeme 2 \cdot 40402\cdot\pi = 80804\cdot\pi g čokolády. V jednom balíčku je 25 g čokolády. Budeme tedy potřebovat 80804\cdot\pi : 25 = 10154,13 \doteq 10155 balíčků čokoládové polevy.

Komentář: Většinou jste se při řešení ubírali správným směrem, ale často jste to nedotáhli do konce. Nejčastěji jste zapomínali na 51. patro nebo jste spočítali obvod všech pater, ale nedopočítali jste jejich povrch.

Úloha č. 3

Označme A a B okraje plotu. Pro zjednodušení nejprve uvažujme, že plot pro ještěrku není překážkou. Potom by prostor, který ještěrka mohla podupat, znázorňoval průnik dvou kruhů (to znamená to, co mají oba kruhy společné) s poloměry 3 m (tj. jako délka lan) a středy v bodech A a B.

Ovšem naše ještěrka plot přelézt neumí. Takže na jedné straně plotu se sice může pohybovat přesně podle předešlého obrázku, ale kdyby se chtěla dostat na druhou stranu plotu, musela by ho obejít. Kdyby se tedy snažila plot obejít okolo bodu B, omezovalo by ji jen lano připevněné v bodě A. Protože plot je o metr kratší než lano, může se ještěrka na druhé straně plotu pohybovat nejvýše metr od okraje B, jako je to vyznačeno na následujícím obrázku. Při obcházení okraje A nastane stejná situace, akorát že ještěrku by omezovalo pouze lano připevněné v bodě B, a proto by se mohla pohybovat nejvýše metr od okraje A.

Výsledná plocha, kterou ještěrka mohla podupat, je vyznačena na dalším obrázku.

Komentář: S úlohou jste si většinou poradili dobře, jen některým z vás se pletou pojmy kruh a kružnice. Kružnice je množina všech bodů, které mají od daného středu kružnice stále stejnou vzdálenost r. Kdežto kruh je množina všech bodů, které mají od daného středu kruhu stále stejnou nebo menší vzdálenost než je r. Takže kružnice je v podstatě jen čára, ale kruh je plocha ohraničená kružnicí. Jeden bod jsem strhávala těm, kteří sice úlohu vyřešili správně, ale zapomněli nám ji vysvětlit.

Úloha č. 4

Čtyři bratry označíme K, H, O, V, podle počátečních písmen jejich jmen. Když napíšu H,V=42, znamená to, že si na váhu stoupli H a V a váha ukázala hodnotu 42. Napíšu-li H,V, bavím se o rovnici ze zadání H,V=120.

Náš plán, jak řešit tuto úlohu, je jasný: abychom zjistili váhy bratrů, musíme nejdříve znát přesný tvar rovnic.

Předpokládejme, že K,H=33 je součet. Musí platit K<33, H<33 a K=33-H. Z rovnosti K,V=87 plyne V>54. Konkrétně to znamená, že tato rovnost musí být rozdílem ve tvaru V-K=87. Po dosazení K z rovnice K,H=33 získáme výraz V+H-33=87, což upravíme na V+H=120. To je už spor, protože dobře víme, že součet 120 na tandemové váze nikdy nezískáme -- maximum, které jsme schopni získat součtem je 98. Proto je K,H rozdílem obou členů.

Dále předpokládejme, že H,O=72 je rozdíl. Tedy že platí buďto H-O=72, nebo O-H=72. To se dá zapsat jako |H-O|=72. Z rovnic K,H a K,O se sice nedá říci, který ze členů je menšenec a který menšitel, ale dá se říct to samé co o H,O. Totiž že |O-K|=21 a |H-K|=33. Tato soustava rovnic ovšem nemá řešení. Proto neplatí původní předpoklad a H,O je ve tvaru O+H=72.

Teď tedy víme, že K,H je rozdílem, H<50 a O<50. Z toho plyne, že rovnice K,O a K,H jsou ve tvaru K-O=21 a K-H=33. Máme tak tři rovnice o třech neznámých:

Odtud dostaneme K=63, O=42 a H=30. Z rovnice H,V plyne V=150, neboť tato rovnice je určitě ve tvaru V-H=120, kde H=30. Když zvážíme O,V, získáme 108.

Komentář: Ve většině případů jste k tomuhle příkladu přistoupili metodou pokus-omyl a prostě jste vyzkoušeli většinu možností. To se sice dalo použít, ale představte si, že by bratrů bylo deset. Pak by tento způsob k řešení sice vedl, ale práce by bylo několikanásobně více. Proto jsem toto řešení hodnotil třemi body, pokud jste se alespoň pokusili popsat, co jste vlastně dělali, a dvěma body, pokud jste mi prostě napsali výsledek bez jakéhokoli komentáře. Někteří z vás řekli, že rovnice vypadají takhle a hotovo. Žádné odůvodnění, proč zrovna v téhle rovnici je mínus a v téhle plus. To jsem hodnotil rovněž třemi body. Čtyři body dostali ti z vás, kteří měli hezký postup a správný výsledek, nicméně některé myšlenkové pochody byly nejasné, popřípadě nedotažené do úplného konce.

Úloha č. 5

Pro začátek bylo důležité si uvědomit, že objem ponořené části ostrůvku spolu s původním objemem vody v bazénku dá dohromady objem celého bazénku. Objem bazénku je objem válce, tedy V=\pi \cdot r^{2} \cdot v. Objem bazénku spočteme podle vzorce V= \pi \cdot 3,5^{2} \cdot 1,2 = 14,7 \cdot \pi m^{3}. Objem vody v bazénku je podle toho samého vzorce $V = \pi \cdot 3,5^{{2} \cdot 1 = 12,25 \cdot \pi m}{3}$.

Dále bylo podstatné si uvědomit, že výška celého ostrůvku je součtem jeho výšky pod vodou a jeho výšky nad vodou. Nad vodou je 10 cm a pod vodou je 80 cm, protože plovák plave v nově zvednuté vodě 40 cm nad dnem. Pro naše účely ale potřebujeme pouze těch 80 cm=0,8m. Objem plováku pod vodou je V = \pi \cdot r^{2} \cdot 0,8, kde r je poloměr plováku.

Když dám do rovnice první větu, dostanu

tedy

a z toho

Poloměr plováku je 1,75 m a výška je 0,9 m.

Komentář: Většina řešitelů správně vypočetla výšku plováku. S poloměrem to už bylo daleko horší, ale i to místy šlo. Někteří počítali objem plováku pomocí poměru vytlačené vody a části plováku, která ji vytlačila. Ti se sice dobrali výsledku, ten však ale nikdy nebyl správný. Posledním kamenem úrazu bylo převádění jednotek. Jinak bych zvlášť chtěla vyzdvihnout řešení Jakuba Hory a Lukáše Petráska za dokonalou úpravu výrazu.

Úloha č. 6

Zadání se dalo pochopit dvěma způsoby. Jeden z nich je, že v každém řádku i sloupci jsou všechna čísla stejná nebo různá, tzn. pokud budou v jednom sloupci nebo jednom řádku všechna čísla stejná nebo různá, bude to platit i pro všechny ostatní řádky či sloupce. Toto pochopení přináší sedm řešení. Druhá možnost, jak příklad pochopit, byla taková, že každý řádek a sloupec na sobě nezávisle můžou mít všechna čísla různá a to přinášelo celkově dalších 6 řešení, což je celkově 13 řešení.

Nejdřív se snadno přesvědčíme, že ať jakkoliv změníme pořadí sloupců nebo řádků, tak se nám vlastnost, že všechna čísla jsou různá nebo stejná v řádcích i ve sloupcích celé tabulky, nezmění. Z toho je vidět, že spousta řešení se stejným součtem může vzniknout jen přeskládáním řádků a sloupců tabulky. Vezmeme si prázdnou tabulku 6 \times 6 a do levého horního rohu dáme libovolnou číslici. Nyní máme na výběr, jestli vedle ní dáme na řádek stejnou číslici nebo různou. Pokud bychom chápali řešení prvním způsobem, tak nám toto už automaticky vyplní tabulku, protože pokud budou ony dvě číslice stejné, tak musí být stejná i čísla v celé tabulce, a pokud stejná nebudou, tak musí být všechna čísla na řádku různá, a tedy i v každém řádku i sloupci celé tabulky, a tak máme jednu variantu pochopení za sebou se sedmi výsledky (po vypočtení dostaneme ještě 7 různých čísel pro tabulku plnou 1, 2, 3, 4, 5, 6 dostáváme po řadě 36, 72, 108, 144, 180, 216 a pro tabulku různých čísel je součet 126, protože v každém z 6 řádků jsou různá čísla od jedné do 6, a tedy celkový součet je 6 \cdot (1+2+3+4+5+6) = 126).

Nyní se zaměříme na druhé pochopení příkladu. Dáme vedle cifry v levém horním rohu nějakou druhou a tyto dvě cifry (podle toho, jestli jsou různé nebo stejné) nám vykreslí první řádek tabulky (zde si zvolíme jedničku za ono číslo, ale můžeme zvolit i nějaké další):

1

1

1

1

1

1

$$

1

2

3

4

5

6

x

x

x

x

x

x

$$

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

$$

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

$$

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

$$

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

$$

x

x

x

x

x

x

No a nyní nastane ještě jeden krok, a to že si někam do prostoru místo x dáme nějakou číslici a uvidíme, jak nám to vykreslí tabulku. Pokud si do tabulky vlevo dáme kamkoli za x hodnotu 1, tak se nám ten sloupec vyplní samými jedničkami, a pokud jiné číslo než 1, tak to ten sloupec vyplní různými čísly.

1

1

1

1

1

1

$$

1

1

1

1

1

1

x

x

1

x

x

x

$$

x

x

x

3

x

x

x

x

1

x

x

x

$$

x

x

x

4

x

x

x

x

1

x

x

x

$$

x

x

x

2

x

x

x

x

1

x

x

x

$$

x

x

x

6

x

x

x

x

1

x

x

x

$$

x

x

x

5

x

x

Nyní pokud do tabulky vlevo dáme kamkoliv libovolné číslo, tak pokud je to jednička, dostaneme tabulku samých jedniček (a tedy i samých ostatních čísel -- pokud místo jedničky máme jiné číslo), a pokud tam umístíme nějaké jiné číslo, dostaneme tabulku tvaru níže vlevo. A pokud dáme do tabulky vpravo někam jiné číslo než jedničku, tak nám to vykreslí tabulky tvaru níže uprostřed a vpravo. Konečně pokud bychom do tabulky vpravo umístili jedničku, potom opět dostaneme tabulku níže vlevo.

1	1	1	1	1	1	$$	1	1	1	1	1	1	$$	1	1	1	1	1	1
2	3	1	4	5	6	$$	1	5	4	3	2	6	$$	3	3	3	3	3	3
3	4	1	5	6	2	$$	1	6	5	4	3	2	$$	4	4	4	4	4	4
4	5	1	6	2	3	$$	1	2	6	5	4	3	$$	2	2	2	2	2	2
5	6	1	2	3	4	$$	1	3	2	6	5	4	$$	6	6	6	6	6	6
6	2	1	3	4	5	$$	1	4	3	2	6	5	$$	5	5	5	5	5	5

Když se ale podíváme, tak zjistíme, že první a druhá tabulka vlevo jsou stejné. A tedy máme šest možných řešení typu tabulka vlevo, rovnocenná řešení uprostřed a šest možných řešení typu tabulka vpravo (nesmíme zapomínat, že můžeme přehazovat libovolně sloupce navzájem a řádky navzájem). Když zkontrolujeme jednotlivé tabulky, jestli nemají stejný součet čísel, tak máme hotovo a součty tabulek jsou: 36, 72, 108, 144, 180 a 216 (vlevo), 126 (uprostřed), 111, 117, 123, 129, 135, 141 (vpravo). Celkově pro tuto možnost pochopení zadání je to 13 řešení.

Úloha č. 7

Každé dvojciferné číslo můžeme zapsat ve tvaru 10a+b, kde a a b jsou jeho cifry (resp. přirozená čísla). Převedeme-li větu „Rozdíl našeho dvojciferného čísla a součinu jeho cifer se rovná součtu jeho cifer.“ do matematické rovnice, dostáváme:

Z toho vyplývá, že b=9, protože jsme mohli rovnici 9a=ab vydělit a (a \neq 0). Máme podmínku pro cifru na místě jednotek a zbývá nám určit, jak bude vypadat celé naše hledané číslo, k čemuž nám poslouží poslední podmínka, která říká, že toto číslo je dělitelné 7. Nyní můžeme snadno určit, že výsledné číslo je 49, které je jediným dvojciferným číslem dělitelným sedmi končícím devítkou.

Komentář: Většina řešitelů vypisovala všechny násobky sedmi a testovala, který z nich splňuje zadané podmínky. Tento styl řešení je u dvojciferných čísel použitelný, ale ve chvíli, kdybyste dostali deseti a více ciferná čísla, nejspíš byste nebyli schopni vypsat všechna čísla a zkusit, zda nemohou být řešením úlohy. Nemalý počet z vás našel číslo 49 a spokojil se s jediným řešením a neodůvodnil, že nemůže existovat žádné další splňující dané podmínky.

Další častou chybou byl zápis ab - a\cdot b. Nelze zapsat číslo, jež má na místě desítek a a na místě jednotek b souhrnně tímto způsobem, protože zápis ab je vyčleněn pro součin čísel a, b. Pokud tento zápis použijete, může se stát, že bude pochopen tímto způsobem: ab-a \cdot b=0, což jistě nechcete.

Opravovali: 1. Hana Bílková, 2. Tereza Pechová, 3. Karolína Rezková, 4. Jiří Harasim, 5. Helena Pučelíková, 6. Jan Vaňhara, 7. Lucie Mohelníková.