Zadání 6. série 24. ročníku
Termín odeslání: 4. května 2009
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
„Tak tedy,“ rozvyprávěl se Sdeox-63 poté, co bratři Xssssfool-1, Axel-57 a Honza-7 504 741 002 rozšifrovali kód k jeho vzpomínkám, „když jsem se narodil, nebyl mi ještě ani jeden rok. Byl jsem tehdy docela maličký. Měl jsem nohy, ruce, tělo..., ale chyběla mi hlava. Když otec zjistil, že jsem po matce zdědil tuto nevítanou anomálii, utekl a od té doby jsem ho neviděl. Nechápal jsem, proč se odlišuju od ostatních Zeťančat. Nechápal jsem, proč jsem jiný. Smáli se mi ve školce, když jsem pak vyrostl, tak i ve škole. Posmívaly se mi všechny půvabné Zeťanky, o které jsem projevil zájem. Protloukal jsem se zkrátka životem a čím dál tím víc jsem nenáviděl svou matku za geny, které do mne vložila. Definitivně skončil náš vztah v okamžiku, kdy jsem byl úplně na dně a nutně jsem potřeboval její psychickou podporu. Ona...“ „Co se stalo?“ chtěl vědět Axel-57, Sdeox-63 však nebyl schopen pokračovat, a tak pravil: „Nedáme si jednu šachovou partii, Axele-57? Potřebuju trochu vydechnout, než budu moct pokračovat ve svém vypravování...“ „Tak dobrá,“ řekl na to Axel-57, „ale mohli bychom si na to rožnout, začíná být docela tma...“
Úloha č. 1
Sdeox-63 měl ve svém bytě 4242 žárovek a zvláštní vypínač, který prvním přepnutím všechny rozsvítí, druhým každou druhou zhasne, třetím přepne každou třetí -- z nerozsvícených na rozsvícené a naopak, čtvrtým vypínačem přepne každou čtvrtou atd. „To by mne zajímalo, kolik žárovek bude svítit po 4242 přepnutích?“ prohlásil zničehonic Xssssfool-1. Odpovězte na Xssssfoolovu-1 otázku.
Konečně bylo dostatek světla a mohli začít hrát. O šachách planety „Z“ mluvíme poměrně často, proto si myslím, že by bylo více než vhodné objasnit, jak taková pravá zeťanská šachovnice vypadá. Pravidla hry jsou stejná jako u nás a princip této zábavy se také v ničem neliší. V čem jsou tedy jejich šachy jiné? Prvním ze základních rozdílů je fakt, že je Zeťané nepovažují za sport. Šachy u nich spadají do oblasti tzv. „Společenského mlčení“, jinými slovy, nabídne-li Vám Zeťan šachovou partii, znamená to, že se mu momentálně nechce konverzovat. Nyní tedy můžeme vrhnout naši pozornost na slibovanou šachovnici. Inu, polí má stejně jako pozemská -- 8\times8. S figurkami už to vypadá poněkud jinak. Například místo krále je zde tzv. prezident. Nutno podotknout, že kdysi, v období absolutistické monarchie, se tato figurka nazývala také král. Spolu se svržením posledního panovníka Karlíka XX. Nudného však došlo k četným reformám nejen v oblasti politiky, ale i ve sféře šachů, která taktéž vyžadovala jistý stupeň demokracie. Místo naší královny nacházíme na zeťanské šachovnici „ochranku“, věž zde nahrazuje „psí bouda“, koně „kudlanka“, střelce „tank“ a pěšáci jsou v tomto případě nahrazeny objekty, které bývají nazývány „ostrohroty“.
Úloha č. 2
Ostrohrot vypadá jako kolmý trojboký jehlan, jehož boční stěny mají stejný obsah a podstava má tvar rovnostranného trojúhelníku s jednotkovými stranami. Jakou délku mohou mít zbylé tři hrany?
V půlce hry se najednou Sdeox-63 opřel do křesla a pokračoval ve svém předešlém vyprávění:
„... odešla hledat odpověď na otázku „Z“ místo toho, aby mi pomohla. Prostě se na mě vykašlala! Nikdy jsem jí to neodpustil...“ „Záhada, ách,“ vzdychl Honza-7 504 741 002. „Přesně tak. Víte, ona ji nakonec stejně nerozluštila, onemocněla nezájmem. Ale co vím, přiblížila se jí nejvíc ze všech, kdož se o to kdy v historii pokusili.“ Všichni tři bratři zpozorněli a začali se vyptávat. Sdeox-63 se už nesnažil nic skrývat, a tak povídal: „Nejprve si myslela, že musí projít všemi možnými způsoby naše město...“
Úloha č. 3
Dráha ovšem musela být specifická. Skládala se právě ze dvanácti čtvrtkružnic se stejným poloměrem. Musela začínat a končit ve stejném místě, mohla sice sama sebe protínat, ale nesměla jít po žádné čtvrtkružnici dvakrát. Dále v dráze nesměl nastat zlom. Situace na obrázku vlevo je v pořádku, zatímco vpravo nikoli:
Dráhy které jsou osově či středově souměrné byly považovány za shodné. Kolik takových drah musela Zeťanka projít?
„Bylo to k ničemu. Totiž, poradil jsem jí to já. Chtěl jsem se jí pomstít za to, co mi udělala. Když se tehdy začala zajímat víc o Záhadu než o mě, přestala vydělávat peníze a já jsem musel začít pracovat. Chápejte, bylo to hrozné, neměl jsem vzdělání a mohl jsem se živit sotva manuální prací... Kdo za to mohl? Ona! Vracel jsem se domů pozdě večer, unavený, vyčerpaný a hladový. Kdo mohl za tohle? Zase ona! Nesnášel jsem ji.“
Úloha č. 4
„Dostali jsme tehdy za úkol vydláždit prostor, kde měla stát velká pyramida. Materiál jsme si sháněli sami v okolí. To bylo čím dál tím těžší, proto jsme druhý měsíc vydláždili polovinu toho co první, třetí měsíc polovinu toho co druhý atd. -- každý následující měsíc jsme vydláždili vždy polovinu toho co předešlý měsíc. Šestý měsíc jsme vydláždili 15 625 m^{2}. Co myslíte, byli jsme schopni vydláždit více než 2 km^{2}?“
„To nevím,“ přiznal Xssssfool-1. „No nic, zpět k matce,“ řekl Sdeox-63 a pokračoval: „Později někde zjistila jinou informaci, která už nepocházela z mých úst. Odpověď prý měla být někde v oblasti sousedního města Hledejta“.
Úloha č. 5
„Město Hledejto je trojúhelníkového tvaru, označme ho třeba ABC, přičemž |AB|=4 km, velikost úhlu BAC je 135\deg a velikost úhlu ABC je 30\deg. Máme osu o=AS, kde S je střed strany BC. V osové souměrnosti podle o se zobrazí bod B na B'. Buď X bod, který je průnikem přímek SB' a AC. Přesnější možné místo rozřešení Záhady má prý ležet v oblasti vzniklého trojúhelníku CSX. Dovedete si představit, na jaké to bylo ploše?“ Spočtěte tedy plochu trojúhelníku CSX. Malá nápověda: podívejte se, zda trojúhelník BB'C není nějaký speciální. Rovněž trojúhelník SB'C asi nebude jen tak obyčejný.
Sourozenci jednohlasně přiznali, že si to představit nedovedou. „Dobrá, odteď vám to budu kreslit.“ Vzal tužku a papír a začal rýsovat.
Úloha č. 6
Je dán čtverec KLMN o straně 6 cm. Vně čtverce leží bod A s vlastnostmi |AL|= 3 cm, |AM|= 4 cm. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC tak, aby vrcholy B, C ležely na obvodu čtverce KLMN. Nápovědou u této úlohy je užití otočení. O jaký úhel a kolem kterého bodu však musíte zjistit sami. Nezapomeňte postup řádně odůvodnit.
Zatímco Sdeox-63 rýsoval, Xssssfool-1 a Honza-7 504 741 002 si hráli se šachovnicí.
Úloha č. 7
Prohazovali šachové figurky na šachovnici -- střídavě každý z nich vždy dvě vybral a prohodil je. Oba dva udělali stejný počet prohození. Když je Axel-57 přistihl, řekl, že mají uvést šachovnici do původního stavu, ale jen tím, že budou vždy cyklicky zaměňovat tři figurky. Může se jim to vždycky podařit? Nápověda: „Zkuste se zamyslet nad tím, jak by to bylo, kdyby každý měnil pouze jedenkrát.“
Oba zlobiví sourozenci se tedy dali do napravovaní škod, které způsobili, a Axel-57 si pečlivě prohlížel narýsovaný plánek. „A Sdeoxi-63, když víš místo pravděpodobného rozřešení Záhady, nevíš ještě něco víc?“
„Vím,“ odpověděl Sdeox-63 po krátké pauze, „jen nevím, jestli vám to mám prozrazovat, jste takoví, jak bych to jen řekl... Nenakažení. Je to skoro až škoda.“ „Ne, ne, ne! To nám nemůžeš udělat! Kvůli tomu jsme byli za tvou nepříjemnou matkou, kvůli tomu jsme poslouchali tvé sice zajímavé, ale promiň, příliš dlouhé příběhy! Jenom kvůli tomu jsme snědli jepičí baštu a bylo nám po ní celý den špatně... Kvůli Záhadě jsme tady teď s tebou a...“
„Dobrá, dobrá,“ přerušil je Sdeox-63, „povím vám to.“ Hluboce vydechl. Pak se na ně podíval a každému z nich to „Ono“ pošeptal do ucha. Nebylo to jméno planety, jen jakýsi důležitý mezikrok nezbytný k tomu, aby bylo nalezeno. „Hmmmmmmmmm, éééch,“ pravil Xssssfool-1. „Nééé... Nudááuu... Ble,“ řekl Axel-57. „Spááát,“ vyjádřil se konečně i Honza-7 504 741 002. Zvedli se a za doprovodu chorobného nezájmu odešli.
