Zadání 5. série 24. ročníku
Termín odeslání: 30. března 2009
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Bratři přišli do Sdeoxova-63 bytu. Byl opravdu zvláštní, dokonce ještě daleko zvláštnější než Sdeox-63, a to už bylo opravdu co říct. První dveře, kterými vstoupili dovnitř, vypadaly jako rovnostranný trojúhelník. Nejen jejich nevelký rozměr, ale i struktura tohoto vchodu byla poněkud netradiční.
Úloha č. 1
Dveře tvaru rovnostranného trojúhelníku ABC o straně 50 cm se otevíraly jakousi příčkou tohoto trojúhelníku, která vznikne tak, že přehnu zmiňovaný trojúhelník tak, že bod A splyne s bodem X, X \in BC, |XB|=|CB|/3. Tuto příčku označme PQ, P \in AB, Q \in AC. Spočtěte poměr |QX|/|PX|.
Honza-7 504 741 002 měl při soukání se do Sdeoxova-63 bytu značné problémy. Co si budeme povídat, Honza nikdy nebyl zrovna anorektická žížala, řečeno velmi zaobaleně. Nikdy se nesnažil sportovat, nikdy se nesnažil snížit počet večeří před spaním na méně než šest, nepokusil se ani omezit své hodinové příjmy šlehačkových dortů s čokoládovou polevou a tučným krémem jako bonus. Z uvedených důvodů se teď nemohl divit, že při zdolávání takovýchto překážek bodoval o něco hůře než ostatní sourozenci. Nakonec se mu to ale podařilo a ocitl se uvnitř Sdeoxova-63 bytu s nimi. „To je zvláštní, to je zvláštní... Ta chodba je ve tvaru ostroúhlého trojúhelníku,“ prohlásil Axel-57 a Sdeox-63 mu bryskně odpověděl: „No, ano. Už je to tak. Miluju ostroúhlé trojúhelníky. Jsem jimi přímo posedlý!!! Všechny pokoje, které zde vidíte, jsou ostroúhlé trojúhelníky. Chodba, záchod, koupelna, kuchyň, obývák, ložnice, pracovna a dokonce i pokoj pro hosty.“ „A půdorys bytu je taky ostroúhlý trojúhelník?“ zeptal se Xssssfool-1. Při této otázce se Sdeox-63 odmlčel a sklesle padnul do křesla. Vypadal smutně. „Ne... Půdorys je čtvercový. Nechtěl jsem ho mít čtvercový. Architektka byla ale taková hrozná ženská, že..., promiňte, nerad o tom mluvím.“ Propukl v pláč a následujících několik minut jej sourozenci utěšovali.
Úloha č. 2
Jak mohl vypadat Sdeoxův-63 byt? Rozdělte čtverec na právě osm ostroúhlých trojúhelníků.
„Víte, co,“ navrhl Axel-57, „zahrajeme si nějakou veselou hru. Třeba kostky, co vy na to?“ Všichni nadšeně souhlasili, protože je to už od dětství bavilo. Vždycky spolu hrávali o různé věci -- o hrášky, o peníze. Tentokrát se rozhodli, že budou hrát o kuličky, kterých měli po kapsách spousty. Sdeox-63 si utíral slzy do růžového kapesníku a vzlykal. Nemohl se teď soustředit na hru, byl citově zhroucen. Ta bolestná vzpomínka na ženu architektku v něm probudila hluboký žal a on se od něj najednou nemohl oprostit. „Tady máte hrací náčiní,“ podal jim kostky s černým fixem a dodal, že raději zajde pro něco k jídlu.
Úloha č. 3
Kostky byly stejné, ale žádné dvě stěny neměly stejnou barvu. Kolika způsoby je možné vyrobit hrací kostku, tj. namalovat na každou stěnu jednu až šest teček tak, aby součet na protilehlých stěnách byl roven sedmi?
Bratři tedy popadli černý fix a na kostky namalovali černé tečky. Když měli tuto činnost za sebou, mohli se konečně pustit do hry.
Úloha č. 4
Xssssfool-1, Axel-57, Honza-7 504 741 002 si zahráli společně tři hry. Vždy ten, kdo prohrál, musel dát zbylým dvěma právě tolik kuliček, aby se jejich aktuální počty kuliček zdvojnásobili. V prvním kole vyhráli Axel-57 a Honza. Ve druhém kole vyhráli Xssssfool-1 a Honza. Ve třetím kole vyhráli Xssssfool-1 a Axel-57. Na konci měli všichni stejně. Kolik měli na začátku, víme-li, že všichni měli pod 20 a nikdo nebyl ani na nule, ani v záporu?
Když dohráli, vrátil se Sdeox-63 s krychlkem. Předpokládám, že všichni víme, co to krychlko je, ovšem pro jistotu se o něm běžně zmíním, kdyby se náhodou vyskytl někdo, komu by tento pojem nějakou nešťastnou náhodou nic neříkal.
Biologický název krychlka zní „krychlko studijní“, latinsky cubomalus scholus. Bylo tak pojmenováno pro jeho v-přírodě-ničím-nenapodobitelné účinky. Krychlko totiž obsahuje nesmírné množství vitamínů, které jednak zlepšují paměť a jednak posilují schopnost soustředění (jedná se především o vitamíny B1, B5 a B12). Také je tento druh ovoce pln protistresových látek, které dokonale uvolní organismus a o nervozitě si konzument krychlka může nechat jenom zdát. Cubomala rostou na stromě zvaném „krychloň“ a jsou originálního kubického tvaru.
I začal Sdeox-63 tato krychlka stejně originálně porcovat.
Úloha č. 5
Dělal to tak, že vzal toto krychlko ve tvaru krychle o straně 10 cm a vyřezal z něj pravidelný osmistěn tak, že vrcholy osmistěnu byly středy stěn krychle, potom z tohoto osmistěnu vyřezal krychli, jejíž vrcholy byla těžiště stěn osmistěnu. Kolikrát byla takhle získaná podoba krychlka menší než původní (jejich objemy)?
Takovýmto způsobem ořezal Sdeox-63 všechna krychlka a všichni se společně pustili do jídla. „Teda, je to opravdu dobré,“ pochválil krychlka Axel-57 ve snaze zlepšit mu alespoň trochu náladu. Marně. Sdeox-63 byl zalit slzami a s brekem posmrkával.
„Co to tam máš za stroj?“ zeptal se po chvíli Honza-7 504 741 002, když uviděl zajímavou mašinu v zajímavém rohu ostrého rohu ostroúhlého pokoje. „To je Ferda, tak jsem ho pojmenoval. Je to bezvadná mašina. Rád si s Ferdou hraju. Vždycky mne dokáže potěšit a tak... Magické zařízení. Strkám do něj zelené a modré jehlany a co z něj vyleze? No, pokaždé něco jiného. Věřili byste tomu?“ Znovu se vysmrkal a plačtivě popotáhnul, zatímco Xssssfool-1, Axel-57 a Honza-7 504 741 002 se přiblížili k Ferdovi a začali ho zkoumat.
Úloha č. 6
Máme zelené a modré jehlánky. Chceme vymyslet magické zařízení, do kterého se na jedné straně vloží dva jehlánky a na druhé straně vypadne jeden. Chceme dosáhnout toho, aby vypadl modrý jehlánek, když do zařízení pošleme modrý a zelený jehlánek. Pokud do něj pošleme jakékoliv dva jiné jehlánky, vypadne nám zelený. Toto zařízení můžeme složit z jiných zařízení, které máme k dispozici a to: Jedno „udělátko“, které z jednoho jehlánku udělá 2 jehlánky stejné barvy. Čtyři „serepetičky“, které fungují tak, že když do serepetičky vložíme dva modré jehlánky, vypadne jeden zelený, v ostatních případech dostaneme modrý jehlánek. „Chodbičky“, které spojují udělátka a serepetičky tak, že když z udělátka nebo serepetičky vyleze jehlánek, musí se dále pohybovat spojovátkem v daném směru. Chodby mohou být libovolně dlouhé.
Celé toto magické zařízení zabalíme do krabice a uvidíme jen na začátku dvě vstupní roury a na konci jednu výstupní rouru. Jak bude zařízení vypadat uvnitř krabice, aby splňovalo naše požadavky?
„Ferda je fakt drsný,“ zvolal Honza-7 504 741 002, když ho uviděl v akci. „Hrál bych si s ním celé dny, kdybych byl tebou, Sdeoxi-63.“ Sdeox-63 se poprvé po dlouhé době usmál a pohladil Ferdu po konstrukci. „Ještěže mám aspoň jeho.“ „Víš, Sdeoxi-63, začínáš mne zajímat jako Zeťan, jsi takový... svérázný. Pověz nám ještě něco o sobě. Jaké bylo třeba tvé dětství?“ „Mé dětství je zakódované,“ odpověděl. „Jak?“ chtěli vědět.
Úloha č. 7
„Ke klíči mého dětství přijdete takto. Pro přirozené číslo n určíme součet jeho cifer, potom určíme součet číslic výsledku atd., až dostaneme jednomístné číslo, které označíme l(n). Čemu je rovno číslo l(2010^{2010})?“
Axel-57 provedl rychlý výpočet a výsledek oznámil. „Správně, to je ono,“ pravil Sdeox-63, „teď vám tedy můžu něco o svém již téměř zapomenutém dětství povědět.“
