Zadání 4. série 24. ročníku

Termín odeslání: 23. února 2009

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.

Seděli na lavičce. Slunce svítilo a venku bylo krásně. Bratři však byli naštvaní, stále se jim totiž nepodařilo rozdýchat krutou zkušenost z restaurace, která je potkala. Po dlouhé chvíli mlčení si konečně Honza zanadával. Protože nechtěl používat sprostá slova, zněla jeho slova takto: ,,Ten číšník je vážně

Xssssfool-1 se k němu nadšeně přidal a vyslovil tutéž nadávku. Tentokrát v základním tvaru.

Úloha č. 1

Jak zněla nadávka v základním tvaru?

„Ale no tak. Nebuďte pořád tak namíchnutí. Řeknu vám takový příběh, abych vás přivedl na jiné myšlenky. Poslouchejte,“ vyzval sourozence Sdeox-63, a přestože se ani jeden z bratrů nepohnul, dal se do vypravování.

Kdysi dávno, před mnoha a mnoha lety, za desatero horami, šestero řekami a osmero paneláky, žil byl jeden král. A ten měl tři syny. Protože to bylo ještě v dobách, kdy naše jména neobsahovala číslo antimasové originality, jmenovali se zcela prostě Honza, Jan a Jenda.

Úloha č. 2

Celý život je hýčkal a rozmazloval. Ke všem se ale, na druhou stranu, choval spravedlivě. Když jim chtěl rozdělit víno z plného džbánu o objemu 24 l na tři stejné díly, používal k tomu další tři džbány, které měly objemy po řadě 13 l, 11 l a 5 l, a vždy se mu to podařilo. Jak to dělal?

Jednoho dne však synům řekl: „Umírám, synové. A mým posledním přáním je, aby na trůn nastoupil nejchytřejší z vás.“ Honza byl zvědavý: „Ale tatíčku, jak to poznáme, který z nás je nejchytřejší?“ Když to král uslyšel, zděsil se: „Honzo, ty to nevíš? Opravdu to nevíš? V tom případě myslím, že ty to nebudeš.“ Po těchto slovech jej vyřadil z trojice kandidátů na trůn a nadešel boj jen mezi Janem a Jendou.

Úloha č. 3

I pravil král: „Půjdete na poušť a vaším úkolem je do 833 km vzdálené oázy dopravit co nejvíce banánů. K dispozici máte 1890 kusů banánů a jednoho velblouda, který unese nejvýše 630 banánů. S velbloudem je však potíž, neboť vždy, když ujde 1 km, musíte mu dát jeden banán, jinak nepůjde dál. Komu z vás se podaří dopravit více banánů, stane se mým nástupcem.“

Kolik lze do oázy dopravit nejvíce banánů? Banány ve velbloudově žaludku se samozřejmě nepočítají.

Bratři se tedy vydali do pouště a udělali přesně to, co jim otec přikázal. Oba byli inteligentní a oba se snažili tento fakt dokázat. Tak moc se snažili, že dosáhli stejného počtu banánů, a to toho nejvyššího.

Král byl vyveden z míry: „Co teď? Co budeme dělat, když selhala stará rodinná tradice?“ Zívl. Jan a Jenda na sebe útočně pohleděli a ve vzduchu bylo cítit, že rivalita mezi nimi silně roste. „Víte co?“ ozval se opět král. „Dám vám prostě geometrickou úlohu. Kdo ji vyřeší dříve, nechť..., však vy víte, bude králem...“

Úloha č. 4

Úloha zněla takto: Sestrojte trojúhelník ABC, znáte-li |\angle BAC|=45\deg, výšku v_{b} na stranu AC, která je dlouhá 6 cm, a rozdíl délek stran a=|BC| a b=|AC|, který je 2 cm.

Zápas probíhal dramaticky. Chvíli vedl Jan, pak Jenda, pak zase Jan. V podobném duchu se to střídalo až do okamžiku, kdy se Janovi zlomila tužka, a protože tehdy, v těch dávných dobách, ještě neexistovala ořezávátka, mohl se po této nehodě definitivně vzdát myšlenky na trůn. Na trůn dosedl Jenda dnes známý jako Jenda IX. Chytrý a žil šťastně až do smrti.

„Hmm,... To je sice pěkný příběh, který nám tu vykládáš, ale pověz, je nám to k něčemu?“ zeptal se Axel-57. „Ne,“ odvětil upřímně Sdeox-63 a když uslyšel plačtivý vzlyk „Ách jó. Takže zase zbytečná ztráta času, zatraceně,“ začervenal se a snažil se o nenápadnou změnu konverzace na jiné aktuální téma:

Úloha č. 5

„Dívejte se na ten chodník, je nesmírně zajímavý. Má velikost 2\times9 a je z dlaždic 1\times2. Dokážete určit, kolika způsoby ho lze vydláždit?“

Tato změna konverzace byla neuspokojivá. Bratři se na Sdeoxe-63 podívali sršními pohledy. Následoval krátký moment ticha, po němž učinil ze zoufalství ještě jeden pokus zachránit situaci: „Dneska svítí slunce a je takové, jak bych to řekl... neobvyklé počasí. Jakoby, ehm... hmm... hezké, ale jaksi nezvyklé. Co se týče mne, cítím to tak nějak netradičně. Ehm, ehm hmmm.“ „Aha,“ zareagoval Honza-7 504 741 002 a znechuceně se podíval na ostatní sourozence.

„Musím se napít,“ řekl Axel-57, vytáhl z kapsy svou láhev s vodní šťávou, a tím vsugeroval oběma svým bratrům pocit žízně. Udělali to, co on, a vychutnávali si znamenitou tekutinu. Totiž, abyste tomu rozuměli, každý z nich měl svou vlastní láhev, ve které nosili pití. Byly na první pohled stejné. Při pozornějším zkoumání těchto předmětů jste si ale museli povšimnout, že se liší tvarem otvoru. Jedna ho měla trojúhelníkový, druhá čtvercový a třetí ve tvaru téčka. Jednou se stalo, že si Honza-7 504 741 002 s Axelem-57 vyměnili zátky, a pak měli oba celý den problém. Honza tehdy hodně nadával a vymýšlel, co by se dalo udělat pro to, aby už se nic takového nikdy neopakovalo.

Úloha č. 6

Může existovat jediná zátka, kterou by bylo možno zacpat všechny tři otvory?

„Víš, Sdeoxi-63, hezky se s tebou povídá, to nemůžeme říct. Je tu ale jedna nemilá potíž. Potřebujeme se dozvědět informace o zcela konkrétním tématu. Chceme rozluštit „Záhadu“. Tím, co nám tady vyprávíš, nám to moc neulehčuješ. Nezajímá nás Jenda IX. Chytrý, nezajímají nás rozměry chodníku. A možná tě to překvapí, ani počasí neřeší náš problém...“ Konečně mu to Axel-57 vyložil a zdálo se, že to Sdeox-63 pochopil: „Dobrá, dobrá. Půjdeme tedy ke mně domů a tam vám řeknu všechno, co vím. Vidíte tamten barák?“ Ukázal prstem před sebe... „Tak ten je můj.“ „Není to moc daleko. Jak jsou široká okna?“ Zajímal se Xssssfool-1. „Okna? Dva metry, proč?“ Xssssfool-1 udělal jakýsi manévr s prstem, odměřil vzdálenosti a pak řekl: „Není to až tak daleko, to ujdeme.“

Úloha č. 7

Před námi stojí dům a má dvě okna široká 2 m. Jsou umístěna ve stejné výšce. Stojíme přesně mezi okny v nějaké vzdálenosti od domu tak, že pokud dáme před oči do vzdálenosti 30 cm prst 1 cm široký a zavřeme jedno oko, tak vidíme pouze jedno okno (druhé je přesně v zákrytu s prstem), pokud zavřeme druhé oko, vidíme pouze druhé okno (první je stejně jako v prvním případě v zákrytu). Jaká je vzdálenost mezi okny a jak daleko od domu stojíme? Předpokládejme, že Xssssfoolovy-1 oči jsou vzdáleny 8 cm.

Přestože bratrům Sdeox-63 už potřetí sliboval, že jim poví o tématu, které je zajímá, nepřestávali věřit, že k tomu někdy dojde. Vydali se tedy směrem k jeho „bydlu“ a těšili se na ten vytoužený okamžik...