Zadání 3. série 24. ročníku

Termín odeslání: 12. ledna 2009

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.

„Co po mě chcete? To jsem nebyl já. Já jsem ty peníze neukradl,“ křičel muž, od něhož si bratři slibovali pomoc. Vypadal rozrušeně a jeho hysterický záchvat byl čím dál víc slyšet. „Ne, prosím, nezatýkejte mne, já...“ Nedopověděl svou myšlenku, neboť mu v onen moment skočil do řeči Honza-7 504 741 002 výmluvným: „TICHÓ!!!“. Zeťan se lekl, kolemjdoucí také a lekli se i zbylí bratři stojící vedle. Nikdy neslyšeli Honzu halekat tak nahlas, snad jen, když měl kdysi do školy udělat úkol, se kterým si ani po dlouhém snažení nevěděl rady. Slovo, které tehdy vykřikl, bylo ovšem poněkud drsnějšího ražení.

Úloha č. 1

Úloha, která tehdy Honzu tak naštvala, zněla takto: Jsou dány dvě různoběžky p, q a bod M, který neleží ani na p, ani na q. Sestrojte rovnostranný trojúhelník KLM tak, aby bod K ležel na přímce p a bod L ležel na přímce q. Zvolte postupně takovou vzájemnou polohu přímek a bodu M, aby úloha měla jedno řešení, dvě řešení.

(Otázka pro zvídavé: Dokážete najít takovou vzájemnou polohu, aby úloha měla nekonečně mnoho řešení?)

Když se muž konečně uklidnil, Axel-57 mu vyložil vše, co měl na srdci. Vyprávěl mu o Záhadě, o cestě k Zeťance, o krásách planety, básnících novověku, o tom, co mají doma v ledničce, a o dalších důležitých věcech. Zeťana, jenž se mimochodem jmenoval Sdeox-63, jak se kluci později dozvěděli, zajímal obsah ledničky víc než cokoli jiného. „Nemáte fotku,“ zeptal se s přemrštěným zájmem. Axela-57 to sice překvapilo, ale fotku ledničky u sebe náhodou měl, a tak ji Sdeoxovi-63 půjčil.

Úloha č. 2

Fotka ledničky vypadala asi takhle: Otevřená lednička měla tvar čtverce o straně 1 m a uvnitř se nacházely čtyři půlky opravdu obrovského melounu, což se zdálo být ve dvojrozměrném prostoru jako půlkružnice. Sdeoxovi-63 vrtalo hlavou, jaký mohla mít obsah část neobsahující meloun. Zajímalo ho to ovšem jen na fotce. Spočtěte vybarvenou plochu na obrázku.

„Sdeoxi-63, potřebovali bychom od vás nějaké informace. Víte, vaše matka je většinou spojována se Záhadou, ale těsně před koncem rozluštění onemocněla nezájmem. Nic nám neřekla a vy jste jediný, kdo by si mohl něco pamatovat.“ Sdeox-63 nezrudl v obličeji, protože neměl hlavu, ale kdyby ji měl, věřte, že by to udělal. „Nikdy už o ní nechci slyšet, dejte mi pokoj“ Bratři se na chvíli zarazili: „Nechceme mluvit o vaší matce, jen o jejích zkušenostech, které jsou pro nás důležité. Bez nich nemůžeme dál.“ „Tak dobře, pokud mi necháte tuhle fotku s melouny a zahrajete si se mnou hru na hlavolamy, zkusím si vzpomenout.“

Úloha č. 3

Bratři souhlasili a všichni čtyři si šli sednout do restaurace, kde Sdeox-63 hned vymyslel hlavolam ze sirek:

Jaký je nejmenší možný počet sirek, jejichž odstraněním získáme právě tři čtverce (a libovolný počet jiných obrazců)?

Axel-57 ani Honza-7 504 741 002 na to sice nepřišli, ale naštěstí měli s sebou ještě Xssssfoola-1, který byl v dobré kondici a hlavolam vyřešil. Byl na sebe tak hrdý, že si ani nevšiml, že za ním stojí číšník. „Kdo si dá z vás tří poprvé zde sedících jepičí baštu?“ zeptal se. Byl to číšník velice podlý. Každému ji bez výjimky nabízel, protože jemu samotnému nikdy nechutnala a míval z ní zažívací problémy. „Je zvykem, že si aspoň jeden nový host nechá připravit unikátní klenot naší kuchyně... A to vše na účet podniku! Není to skvělé? Staří známí nemusí, ovšem vy tři jaksi staří známí nejste, to bych si vás pamatoval. Na to já mám buňky...“

Úloha č. 4

Xssssfool-1, Axel-57 i Honza se té nabídky upřímně lekli. Jediný Honza zareagoval:

„Pokud si to dám já, chci právě jednoho bratra, který si to objedná také. Pokud si to nedá Xssssfool-1 , nedá si to ani Axel-57. Pokud si to objednají právě dva z nás, pak budu jedním z nich já. Pokud si to nedám já, nedá si to ani Xssssfool-1.“ Komu přinesl číšník jepičí baštu?

Ani jeden z bratrů nebyl s jídlem spokojen. Jediný, komu chutnalo, byl Sdeox-63, který si objednal mléko. „Víte, toto mléko je chutné a zdravé, jedinečné. Dostává se totiž tak neobvyklým způsobem, že jen málokdo ví, jak na něj. Já, ve vší skromnosti, patřím k tomu málu na této planetě. Jsem ovšem tak laskav, že vám ten princip prozradím. Musíte nejprve překonat řeku Och. Když se vydáte po proudu této řeky, najdete jisté zvíře, kterému se říká „kráva“, a uvnitř tohoto živočicha jest ukryt tento nápoj. Problém je, že vždy, chcete-li se dostat přes Och, narazíte na překážku.“

Úloha č. 5

Je to tak. Vždy stojíte před rozhodnutím buď projet s kanoí šest zdymadel, nebo ji okolo přenést, což trvá 38 minut. Kánoe je široká 80 cm a dlouhá 2,75 m. Na zdymadlech jsou udány následující parametry:

První číslo v závorce je rozdíl hladin před a po vyčerpání vody udávaný v metrech, druhé číslo nám říká, jaký je objem odčerpané vody v hektolitrech, a třetí znamená, kolik hektolitrů se odčerpává za sekundu. Proplutí mezi dvěma zdymadly trvá jednu sekundu. Jak byste se rozhodli vy a proč?

„A to se tam nedá zajet normálně autem?“ zeptal se Xssssfool-1. „Hmm... To mne nenapadlo. Příště to tak asi udělám,“ odpověděl Sdeox-63 a hluboce vydechl.

„Tak tedy, jak vám chutnalo,“ konstatoval jízlivě číšník, který se opět objevil v nebezpečné blízkosti. „Bylo to hnusné,“ zasyčel Honza-7 504 741 002. „Přesto se nejspíše chystáte platit. Tedy, spočítám to.“ Číšník vytáhl z kapsy kalkulačku a něco na ní vyťukával.

Úloha č. 6

Kalkulačka byla strojem velmi zajímavým. Měla pouze tři tlačítka: x^{2}, x-5 a x^{2}-1. Na začátku bylo na displeji číslo 2. Číšník provedl nejméně jedno a nejvýše třináct stisknutí. Jaká čísla od 1 do 20 teď mohou být na displeji a jaké posloupnosti tlačítek jim odpovídají? Poznámka: Kalkulačka umí počítat i se zápornými čísly.

Cena, kterou před Zeťany číšník položil, byla příliš vysoká. Axel-57 vzal účet do ruky, prohlídl si ho a spustil: „Cože? No to si snad ze mne děláte srandu! Jak to, že je tady ta zatracená jepičí bašta? A jak se tak koukám, tak i zatraceně drahá jepičí bašta!!! Neříkal jste náhodou, že je na účet podniku?“ „Ano, to jsem říkal. Však tady leží před vámi na stole. Je to účet? Je. Je to účet, na kterém je razítko našeho podniku? Je. Tedy, je to účet podniku. Vy to teď jenom zaplaťte...“ „VY“ chtěl zařvat Honza, vtom ho ale Sdeox-63 zastavil, zaplatil za ně a všichni odtamtud raději odešli.

„Víte, mám rád účty této restaurace. Sbírám je. Zvláště to razítko na nich mne vždycky dojme. Dívejte se na něj,“ vyzval naštvané sourozence Zeťan. Ani jednoho z nich to nezajímalo. Přesto ve svých úvahách pokračoval:

Úloha č. 7

Razítko restaurace byl původně kvádr o rozměrech 4 cm \times 6 cm \times 8 cm, kterému byly uřezány dva vrcholy. Potom byl do něj vyvrtán válec o průměru podstavy 1 cm (viz první dva obrázky). Nakonec byl do něj vyříznut ještě kvádr se čtvercovou podstavou o hraně 1 cm (viz další dva obrázky). Když jsme „ohlodané“ stěny původního kvádru potřeli tiskařskou barvou a orazili na papír, vznikly nám útvary jako na posledních dvou obrázcích.

Zjistěte objem razítka restaurace.

Poznámka: Na obrázcích je v řádcích zobrazena dvojice protějších stěn. Na prvním obrázku vlevo je střed kružnice na průsečíku os stran AB a AD. Na druhém obrázku v témže řádku je střed kružnice na průsečíku os stran KL a LM. Středy malých čtverců na dalších dvou obrázcích jsou ve středu původních obdélníkových stěn.

Ani tento dojemný příběh neodpoutal bratry od zážitku, který jim patřičně zvedl tlak. Seděli na lavičce, nahlas funěli, nohy měli zkřížené, ruce měli také v silně obranné pozici, jejich výraz byl přímo hrozivý a skřípali zuby. Nikdo z nich se ani nepohnul. Jejich myšlenky se nyní točily jen kolem nezdvořilého číšníka, účtu podniku a nechutné jepičí bašty.