Zadání 2. série 24. ročníku
Termín odeslání: 15. prosince 2008
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Xssssfool-1, Axel-57, Honza-7 504 741 002 se nacházeli v bytě podivné staré Zeťanky, která se nezdála být příliš příjemná a navíc je hned zpočátku šokovala svým neobvyklým zjevem. Skutečnost, že tato dáma neměla hlavu, nebyla na planetě „Z“ běžnou záležitostí, nemůžeme se proto divit, že tím byli chlapci konsternováni. Co je uklidňující, tento handicap nemohl její zdravotní stav ohrozit, jelikož se veškerá řídicí centra Zeťanů nachází v oblasti nohou.
„Co tam stojíte jak tvrdá Y! Polezte dovnitř,“ ozvalo se z imaginárních úst té ženy a na tento milý pokyn bratři opatrně vstoupili do ztrouchnivělého bytu prosáklého vůní staroby. Byla tak silná, že se Honza rozkašlal. Trochu při tom prskal, dělal nemelodické zvuky a tvářil se, jako když se vypasený vepř chystá na zabijačku. Zeťanka se na to nemohla dívat, proto se rozhodla, že mu opatří kapesník.
Úloha č. 1
Normální papírové kapesníky bohužel nenašla, a tak se musela odebrat ke složitějšímu řešení situace. Vytáhla ubrus, na něj si tužkou předkreslila trojúhelníkový tvar a posléze vystřihla. Aby se Honzovi dobře kašlalo, musela být jedna strana trojúhelníku dlouhá 5 cm. Od jednoho konce této strany musela být protější strana vzdálena 4,5 cm, zatímco od druhého konce musel být střed protější strany vzdálen 4 cm. Jak má stará Zeťanka na ubruse takovýhle trojúhelník sestrojit?
Tento kapesník se ale Honzovi nezamlouval.
„Vždyť je to normální kapesník jako každý jiný, co se ti na něm nelíbí?“ zeptal se ho jeho rozumnější bratr Axel-57.
Honza se na něj znechuceně podíval a pronesl: „No, upřímně řečeno, nemám rád tyhle typy trojúhelníků. Něco takového bych nepoužil ani jako toaletní papír, natož do toho kašlat“
Úloha č. 2
„Potřebuju kapesník ve tvaru pravoúhlého trojúhelníku, aby délka jeho přepony v centimetrech byla dána dvojciferným číslem a abychom délku jedné odvěsny dostali přehozením číslic v tomto dvojciferném čísle. Navíc, délka druhé odvěsny musí být také přirozené číslo, to kvůli imunitě. Teprve tento kapesník mne může být hodný“
Všichni se na něj nevěřícně zahleděli, potom Zeťanka zareagovala: „Inu dobrá, vyrobím ti ho. Tvé podmínky jsou však jaksi komplikované. Řekni mi prostě, jaké má ten zázračný trojúhelník délky stran a já ho pak normálně zkonstruuji podle věty sss.“
Vypočtěte délky všech tří stran trojúhelníku.
„Co tu vlastně chcete?“ zeptala se stařena, když se Honza uklidnil.
„No. Přišli jsme, vlastně, vám říct, že vám to sluší,“ odpověděl Axel-57.
Byla to nepříliš chytrá odpověď vzhledem k tomu, že takovýto typ lži byl více než průhledný. Naštěstí ani Zeťanka neoplývala přílišnou inteligencí a této hlouposti dokonale uvěřila.
„Óh, děkuji vám. Děkuji. Pracuji na tom již dlouhá léta. Posaďte se, mladí muži, posaďte se.“
Zatímco se paní domu rozpovídala na téma péče o zevnějšek, bratry zaujala nezvyklá dekorace na stolku. Byla to růžová věcička ve tvaru čtyřstěnu, která se v sekundových intervalech rozkládala na dvojrozměrný deltoid. Zaujalo je, že se jedna z dvojic stran deltoidu vždy zvětšila a posléze se vše opět vracelo do původního stavu.
Úloha č. 3
V deltoidu ABCD platí |AB|=3 cm, |DB|=|BC|. Jaká je maximální velikost úsečky |BC|, aby byl tento deltoid sítí čtyřstěnu, jehož základna je AXY, kde X, Y jsou po řadě středy stran BC, DC?
Ačkoliv už Zeťanka hovořila několik hodin, ani zdaleka to nevypadalo, že by měla v plánu končit.
„Jak dlouho tohle ještě může trvat?“ pomysleli si všichni tři. Honza usínal, Axel-57 nezaujatě přikyvoval a Xssssfool-1 objevil na koberci několik dílků sestavených z jednotkových krychliček. Snažil se z nich poskládat krychli 4 \times 4 \times 4 v domnění, že je to nějaký hlavolam. Protože mu to chvíli nešlo, řekl si, že takovou krychli vytvořit určitě nejde a zanedlouho usnul podobně jako Honza.
Úloha č. 4
Na následujících obrázcích jej několik pohledů na dílek sestavený z krychliček 1 \times 1 \times 1. Jsou to po řadě pohledy shora, zepředu a zleva (na obrázku řazeno zleva doprava). Lze z těchto dílků sestavit krychli 4 \times 4 \times 4?
„Nejvíce zbožňuji péči o své nohy. Vždy si je umyji speciálním roztokem, který zabrání hmyzu, aby nadále setrvával v jejich blízkosti. Pak je namaži krémem » Vrána« a posypu je zeleným pudrem. Má to blahodárné účinky.“
Proslov byl čím dál tím únavnější. Už i Axelovi-57 se začínaly zavírat oči.
„Břicho rovněž vyžaduje svou péči, to není jen tak. Každý den si ho musím posypat jemným pískem z jantarové hory. Zaručený recept proti vráskám. Počkejte, to mi připomíná, že jsem tuhle kůru ještě dneska neabsolvovala“
Žena energicky vyskočila a za chvíli se přiřítila zpátky s rovnoramennými váhami. Také s sebou měla spoustu jakýchsi barevně rozlišených závaží různých hmotností.
„Navážím si svou denní dávku. Víte, kosmetika, to je přesná věda,“ řekla, navážila si svou denní dávku, nasypala si ji na břicho a usnula.
V tu chvíli se vzbudil Honza a barevná závažíčka ho zaujala. Vyměnil proto jedno z nich za jiné a schoval si ho do kapsy. Když se však stařena probudila, okamžitě poznala, že je něco v nepořádku. Vzala tedy rovnoramenné váhy, provedla několik vážení a s jistotou věděla, které závaží jí chybí.
Úloha č. 5
V sadě závaží o hmotnostech 1, 2, 3 a 5 kg bylo jedno závaží nahrazeno závažím s o malinko jinou hmotností (o trochu těžší, nebo o trochu lehčí). Jak má Zeťanka postupovat, aby pomocí co nejmenšího počtu vážení na rovnoramenných vahách zjistila, které ze sady závaží bylo vyměněno?
Zeťanka vypadala chvíli poněkud rozzuřeně, když zjistila, co Honza udělal, pak se ale uklidnila a znovu spustila své vyprávění.
To už se ale Axel-57 neudržel: „Prosím, NE! My tu jsme kvůli Záhadě světa ohledně jména planety »Z_flqq() a ne kvůli nějakým pitomým oxidačním krémům“
„Aha, tak proč to neřeknete hned,“ na to Zeťanka. „Víte, já jsem se o to kdysi zajímala, ale teď už se o to nezajímám. Je mi to jedno.“
„Ale co se stalo?“ zeptal se Axel-57.
„Nezajímá mne to. Vůbec ne. Nic mne nezajímá. Vlastně, chcete-li to vědět, nezajímá mne ani ta kosmetika, o které vám tady celý večer vyprávím.“
„Mohla byste nám nějak pomoct,“ nevzdávali se bratři.
„Ani vy mne nezajímáte, to je jediné, co vám mohu říct.“
„Fajn, tak když vás nezajímáme ani my, snad vás nebude zajímat ani to, že si to tu trochu prohlídneme.“
Byt vypadal trochu jako bludiště, špatně se v něm orientovalo a měl nestandardní strukturu.
„Teda, tady je tolik chodeb, že by se to dalo projít snad tisíci způsoby,“ řekl Xssssfool-1.
„Tolik jich zase nebude, Xssssfoole-1,“ zasmál se Axel-57.
Úloha č. 6
Kolika různými způsoby lze projít byt z obýváku O k zadnímu topení T, jestliže můžeme chodit jen vyznačenými směry?
Když procházeli byt, Axel-57 si najednou všiml něčeho zvláštního. Na stole ležela obálka. Bylo to sice krajně nezdvořilé, ale i přesto ji roztrhl a vytáhl psaní, které se v ní skrývalo. Vlastně to nebylo psaní, byla to fotografie Zeťančina syna.
„No jistě, za ním musíme jít! Je to jediný žijící Zeťan, který si ji může pamatovat ještě z let, kdy netrpěla chorobou nezájmu a snažila se rozluštit Záhadu. Jdem,“ rozzářil se nejstarší bratr. Vyběhl z bytu stařeny a sourozenci ho nadšeně následovali.
Všichni tři běželi na metro. Pak se Xssssfool-1 zeptal: „Hele, Axele-57, je sice fajn, že víme, za kým jít, ale jak víš, kde ho hledat?“
„Já vím, kde ho hledat. Navíc, tamhle jde, to je on,“ ukazoval na muže vstupujícího na jezdící schody.
„To je náhoda, šťastná náhoda! Jdeme za ním,“ zavelel Axel-57.
Když to muž uslyšel, začal zdrhat. Situaci navíc zkomplikoval dav lidí, který vstoupil na eskalátory za ním.
„Hele, na eskalátoru, co jede dolů, nikdo není! Předběhnu toho chlapa na něm,“ navrhl Xssssfool-1. Jeho nápad byl však okamžitě znevážen Honzou.
Úloha č. 7
„Jsi normální? Vždyť když jedeš po tomhle eskalátoru, trvá to přesně pět minut. Pokud bys po tomto jedoucím eskalátoru běžel, stihneš být nahoře za dvě minuty. Víš, za jak dlouho bys byl nahoře, kdybys běžel nahoru po schodech, co jedou dolů? A to ještě předpokládej, že běžíš stále stejnou rychlostí.“
Jak dlouho by trvalo vyběhnout jedoucí eskalátor v protisměru?
Xssssfool-1 uznal, že jeho myšlenka byla opravdu trochu neuvážená, a protože už nezbylo moc času na další přemýšlení, rozběhli se všichni po klasickém schodišti, které bylo hned vedle. Zeťančin syn naštěstí nebyl atletický typ, a tak se jim nakonec podařilo ho dohnat.
„Podobá se matce,“ pronesl citlivě Axel-57 a bratři jen souhlasně přikyvovali.
Ano, ani on neměl hlavu...
