Zadání 1. série 24. ročníku

Termín odeslání: 13. října 2008

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.


Místnost je prosáklá těžkou nudou. Nudou tak zničující, že už stačila nakazit všechny přítomné včetně kočky. Kočka, abyste tomu dobře rozuměli, je jediný žijící tvor, který je schopen proti viróze tohoto typu bojovat. Když už i ona podlehla...

„Táááhneš,“ pobízí Axel-57 svého téměř spícího bratra k pokračování ve hře a hlasitě přitom zívá. „No jóó, úž,“ odpovídá mu spoluhráč, aniž by se pohnul. Zatímco se dva sourozenci nudí u šachové partie, nejmladší z rodiny Xssssfool-1 se s nulovým nasazením pokouší vyluštit křížovku. Kočka kouká do zdi.

Úloha č. 1

Na šachovnici jsou osvětlením vrženy podivné stíny. Jaký je poměr bílé a šedé plochy na následujícím obrázku? Délka strany jednoho políčka je 5 cm.

Možná by vás zajímalo, proč se hlavní hrdinové jmenují tak zvláštně. Inu, systém křestních jmen na planetě „Z“ se od našeho systému v některých věcech odlišuje. Každému nově narozenému Zeťanovi je přiděleno nejen příjmení a křestní jméno, ale také tzv. číslo antimasové originality, které se přidává automaticky za křestní jméno a zajistí tím jeho odlišení od ostatních křestních jmen znějících stejně. Toto opatření kdysi zavedl jeden bezvýznamný politik, který stávající reformu odůvodňoval slovy, že pokrok netkví v tom, potlačovat individualitu jedince, ale v odhalení jedinečnosti individua.

V praxi se tento převrat projevuje různými způsoby, zajímavým úkazem je právě rodina Prozíravých. Jako první ze tří synů přišel na svět Axel-57. Byl to chlapec bez sebemenších komplikací, veselý, chytrý a originální přesně tak, jak to mají Zeťané rádi. Rodinná krize nastala v okamžiku, kdy se narodil Honza-7 504 741 002. Vlivem této šokující události došlo k silnému otřesení veškerého příbuzenstva a k vážnému ohrožení na zdraví obou nešťastných rodičů. Po tak hrůzostrašném incidentu se nemůžeme divit, že reakcí na to vzešel Xssssfool-1.

Planeta „Z“ je v galaxii Kokakolová trať jednou z nejzáhadnějších, ačkoliv na ní neexistují nemožné formy života, ani nemá nepravděpodobný tvar... Tajemství tkví v tom, že není známý jeden z jejích základních geografických údajů -- jméno. Proč? To nikdo neví. Podle jedné z legend se planeta jmenuje nesmírně vznešeně a každý by se pod sílou jejího jména propadl do hlubin věčných pochybností o sobě samém. Podle jiné pověsti bylo kdysi jméno napsáno šlehačkou na dort, který byl snězen neznámým kolemjdoucím. Co se vědců týče, ti obě tyto teorie zavrhují. Zvláště ohledně teorie „šlehačková bašta“ (tak se tento názor oficiálně jmenuje) jsou odborníci velmi skeptičtí a tvrdí, že pakliže je kolemjdoucí neznámý, nemůžeme bez udání důkazu tvrdit, že tam byl, a už vůbec ne, že snědl nějaký dort.

Zeťané planetu po dlouhém rozhodování sice pojmenovali alternativním „Z“, avšak nikdy v historii nepřestali přemýšlet o jejím původním názvu. Je to jedna velká, kolektivní otázka, nezodpovězený otazník, který sžírá každého obyvatele planety od útlého dětství a pronásleduje ho až do smrti. Zeťané obyčejně tráví své životy tak, že dumají nad jménem své planety a nakonec umřou nudou.

„Já na to chci přijít,“ pronese Xssssfool-1 do ticha, které se rozprostírá kolem. „Co, ještě jsi to nevyluštil,“ odpovídá bez zájmu Honza-7 504 741 002 a ani teď se mu nechce otevírat oči. „Ne, to taky ne... Ale to mě nezajímá“ „Tak co tě teda zajímá, když ne křížovka?“ pokračuje Honza-7 504 741 002 monotónně. To už Xssssfoola-1 naštve, vezme křížovku a trefí Honzu-7 504 741 002 do obličeje. Tentokrát úspěšně.

Úloha č. 2

Vyplňte všechna políčka křížovky.

Legenda křížovky: K1: číslo dělitelné třemi a sedmi; K2: nejmenší dvojciferné prvočíslo doplněné tak, aby výsledné trojciferné číslo bylo dělitelné pěti; L1: C2+K2; L2: číslo, které získáme, odečteme-li od desetinásobku odmocniny z O2 jedničku; M1: nejmenší společný násobek prvočísla z K2 a čísla 4; M2: nejmenší prvočíslo; M3: poslední dvojčíslí určující dělitelnost stem; N1: bez nápovědy; N2: osmá mocnina čísla 2 zvětšená o kladné číslo, které je menší než sudé prvočíslo; O1: číslo sestavené ze tří po sobě jdoucích cifer v přeházeném pořadí, větší než 300; O2: druhá mocnina jednociferného čísla; A1: číslo sestavené ze tří po sobě jdoucích cifer; A2: násobek tří a dvou; B1: součtem tohoto čísla a osminásobku prvočísla z K2 získáme C2; B2: číslo o 1 menší než A2, skládá se ze dvou stejných cifer; C1: číslo, které není ani složené, ani prvočíslo; C2: tři stejné cifry; C3: násobek devíti; D1: liché číslo menší než dvacet, které má nejvíce dělitelů; D2: číslo napsané pozpátku, které je dělitelné deseti a číslice na místě stovek a desítek jsou popořadě dvě nejmenší lichá prvočísla; E1: číslo dělitelné devíti a desíti napsané pozpátku; E2: číslo dělitelné 67 a 10 napsané pozpátku.

„Taky si myslím, že bychom tu záhadu se jménem planety konečně měli rozřešit...“ projevil se konečně nejstarší a nejrozumnější bratr, „dokonce vím, kdo nám s tím může poradit.“ „Kdo?“ ozvou se oba zbývající sourozenci jednohlasně. „Jedna docela stará Zeťanka, bydlí v nejvyšším patře středního mrakodrapu. Když jí něco dáme... Třeba se s náma bude i bavit.“ Xssssfoolovi-1 se rozsvítily oči. Honza-7 504 741 002 tím návrhem však na rozdíl od něj nadšený nebyl a začal protestovat: „A proč by nám jako nějaká stará, vetchá, desetiletá babka měla radit, stejně beztak nic neví... Fuj, to raději půjdu spát... A přemýšlet nad tím můžu svým vlastním mozkem.“

„Tak hele. Není to žádná stará a vetchá babka, jak říkáš,“ odpověděl Axel-57 a na chvilku se odmlčel, protože dostal hlad. Musel se jít najíst. Když se potom vrátil, pokračoval: „je jenom stará babka. Má nejvíce zkušeností ze všech tady... Když byla mladá, pokoušela se to jméno zjistit a skoro se jí to podařilo... Těsně předtím ale onemocněla nezájmem a od té doby se nikdo k odhalení otázky věků nepřiblížil tolik jako ona. Navíc je jí jenom devět.“

„No, to fakt mění situaci. Smůla, nepřesvědčil jsi mne.“ Axel-57 pochopil, že nemá jinou možnost a jal se, ač nerad, použít zcela odlišnou manipulační metodu: „Ona je ale krasavice, vůbec nevypadá na devět. A víš, co má? Má... Má... Má vlas nejvyšší svůdnosti.“ Informaci o vlasu nejvyšší svůdnosti si pochopitelně vymyslel, ve skutečnosti byl její vlas silně zanedbáván a dal by se označit nanejvýš jako podprůměrný. Nicméně, zabralo to. Honza-7 504 741 002 okamžitě vyskočil a po dlouhé době promluvil pozitivně: „Ona má vlas nejvyšší svůdnosti? Tak to máš říct hned, jdem, ne? Kde jsou ty prachy?“

Na takovou výzvu všichni vystartovali. Dokonce i kočka se zvedla s úmyslem odejít, na poslední chvíli před ní však Xssssfool-1 necitlivě zabouchl. „Fuj, kdo nám posprejoval ty dveře, no to je hnus,“ vyděsil se Axel-57, když je uviděl. A opravdu, na dveřích byly viditelné černé čáry. Xssssfool-1 se naštval taky a bědoval: „Takových jedenáct hnusných obdélníků“ Klidný zůstal z neznámých důvodů jenom Honza-7 504 741 002, usmál se a řekl: „Těch obdélníků je osmnáct, podívejte se na to pozorněji...“

Úloha č. 3

A co vy? Dokážete rozdělit obdélník úsečkami tak, aby v něm šlo nalézt celkem přesně 18 obdélníků?

Po chvilce bratři usoudili, že je zbytečné naříkat nad zničenými dveřmi a vydali se na cestu ke střednímu mrakodrapu. Protože neměli adresu, hledání nebylo jednoduché. Až do večera putovali bezúspěšně po městě a jediné, co je provázelo po celou dobu, byl hlad. Za jídlo ten den vůbec utratili spoustu peněz.

Peníze na planetě „Z“ jsou dvojího druhu. Malé plyšové jehlánky různých barev a papírové pláště pravidelných osmistěnů různých velikostí. Plyšové jehlánky často zabíraly velké množství prostoru, a proto jsou „bankovky“ uzpůsobeny tak, aby mohly být snadno použitelné jako jakési provizorní peněženky.

Nakonec kluky napadlo, že by mohli zajít do informačního centra. Jakmile tak učinili, poradil sympatický Zeťan: „Adresu vám samozřejmě dám, ale pokud hledáte střední mrakodrap, tak ten je hned tady naproti, vidíte ho?“ Všichni tři ho uviděli, zčervenali, vzali si adresu a odešli. „To je ta budova, ve které jsme se stavovali na oběd, že jo?“ procedí naštvaně Honza-7 504 741 002 skrz zuby a má pravdu. „Ukažte mi aspoň tu adresu, když už ji teda máme.“

Úloha č. 4

Adresa vypadala nezvykle. Na planetě „Z“ není totiž zvykem označovat domy čísly, ale čtvercovou sítí 8\times8 vybarvenou takovým způsobem, aby byla souměrná podle všech os souměrnosti a zároveň aby políčka, která nejsou symetrická, měla různou barvu. Kolik barev musíme použít na políčka pro označení jedné budovy?

Když sourozenci konečně dorazili na místo, vstupní dveře se otevřely a objevila se v nich oslnivá Zeťanka. Čišela z ní přirozená krása, jakési nevysvětlitelné kouzlo. „Teda, ta má sexy tykadlo,“ prohodil Xssssfool-1, a ačkoliv byl nejmladší, oba kluci museli uznat, že má pravdu. Zeťančino tykadlo bylo opravdu hluboce přitažlivé. Obzvláště na Honzu-7 504 741 002 působilo silným dojmem -- potil se jako kůň a nervozitou byl celý nesvůj. „To je ta nejkrásnější Zeťanka, jakou jsem kdy viděl. Musím za ní, musím za ní“ „Ne, to teda ne,“ křikne na něj Xssssfool-1 a Axel-57 se k němu přidal: „Přesně tak, nikam! Och, síro nebeská, vždyť ty jsi roztrhal naši poslední bankovku“ A opravdu, bankovka byla na cucky. „Trochu jsem znervózněl,“ omlouval se Honza-7 504 741 002, „to se slepí...“

Úloha č. 5

Jak jsme již zmiňovali, tvary bankovek byly pláště osmistěnů. Kolik typů bankovek může nejvíce být? Nakreslete všechny různé (souvislé) pláště pravidelného osmistěnu.

Když se jim podařilo dostat bankovku do původního stavu, mohli se konečně odebrat ke schodům. Vyšli první patro, druhé patro, třetí patro, ve čtvrtém patře uvíznul Honza-7 504 741 002. „Už nemůžu, jsem ten nejvyčerpanější Zeťan na celé „Z“. Už nemůžu, proudy vydřeného potu ze mě kapou...“ „Ty toho nakecáš,“ zhodnotil situaci Axel-57 a usoudil, že dál budou muset pokračovat výtahem. Střední mrakodrap měl přece jen 4 000 pater.

„Unese nás to vůbec?“ strachoval se Xssssfool-1. „Strašpytle,“ urazil ho Honza-7 504 741 002, „představ si, že spadneme dolů a všichni se rozmázneme na placku. Ty jsi fakt pako...“ „S tebou bych se ani nedivil, tlusťochu“ Chvilku se ještě hádali, potom Axel-57 ztratil trpělivost, okřiknul je a byl pokoj.

Úloha č. 6

Uměli byste spočítat, kolik vážili sourozenci dohromady? Víme, že tři Xssssfoolové-1 a Axel-57 váží o třicet kilogramů více než dva Honzové-7 504 741 002. Také je nám známo, že když k devíti Xssssfoolům-1 a pěti Axelům-57 přidáme dvacetikilovou opici, celková hmotnost bude o 200 kg větší než hmotnost Honzy-7 504 741 002.

Nahoře bratři vystoupili z výtahu a zazvonili. Udivilo je, že místo klasického cinknutí uslyšeli Nohavicův (pozemský zpěvák) hit Tři čuníci, ale snažili se o tom moc nepřemýšlet. Když žena otevřela dveře, všichni zůstali jenom němě zírat. Honzovi-7 504 741 002 vrtalo hlavou, kde by tak zanedbaná Zeťanka mohla mít vlas nejvyšší svůdnosti. Xssssfoolovi-1 zase připadala něčím divná, ale nemohl přijít na to, čím to může být. Axel-57 zpozoroval, že jí chybí hlava. „Co chcete?“ zařvala ta žena. Axelovi-57 chvilku vrtalo hlavou, jak to udělala, když nemá hlavu. Nikdo nic neříkal, a tak se po krátké pauze ozvala podruhé: „Kdo to zvonil! No tak bude to?“

Úloha č. 7

Bratři byli natolik šokováni, že ze sebe každý vymáčkl sotva jednu větu, přičemž o každém z nich víme, že mluvil buď pouze pravdu nebo jenom lhal.

Xssssfool-1: „Zvonil buď Honza-7 504 741 002 nebo Axel-57.“ Honza-7 504 741 002: „Zvonil Axel-57.“ Axel-57: „Alespoň dva z nás lžou.“

Poté ještě Xssssfool-1 prohlásil o jednom ze svých bratrů, že ten nezvonil.

Stará Zeťanka chvíli mlčela a přemýšlela. „Tak pojďte dál,“ řekla nakonec. Nevíme, zda přišla na to, kdo z těch tří zvonil. Přijdete na to vy?