Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.

---

Úloha č. 1

Pro přehlednost si vrcholy trojúhelníku pojmenujeme: krajní vrcholy strany dlouhé 5 cm označíme A a B, přitom ten vzdálený 4,5 cm od protější strany bude A a ten vzdálený 4 cm od středu protější strany bude B. Třetí vrchol hledaného trojúhelníku označíme C a střed strany AC označíme S.

Vzdálenost vrcholu od protější strany je -- alespoň v ostroúhlém trojúhelníku -- délka výšky. Můžeme tedy začít tak, že sestrojíme přímku p, na které bude ležet strana BC, a 4,5 cm od ní sestrojíme bod A. Dále víme, že strana AB je dlouhá 5 cm. Sestrojíme tedy kružnici k se středem A a poloměrem 5 cm. Bod B leží na průsečíku přímky p a kružnice k.

Nyní se zabývejme polohou středu S strany AC. Víme, že C má ležet na přímce p. Každý střed úsečky AX spojující nějaký bod X přímky p s bodem A leží na přímce q rovnoběžné s p ležící v polovině vzdálenosti k bodu A. Dále víme, že S má být 4 cm od vrcholu B, takže sestrojíme kružnici l se středem v B a poloměrem 4 cm. Bod S najdeme na průsečíku q a l. Nyní již snadno sestrojíme bod C jako průsečík přímky p s přímkou AS.

Komentář: Úplné řešení geometrického příkladu by mělo obsahovat popis konstrukce, zdůvodnění správnosti, alespoň jeden obrázek a nejlépe i rozbor počtu řešení. Osobně netrvám na tom, aby obrázek byl narýsovaný pravítkem a kružítkem. V jednom řešení, ačkoliv správném, ale obrázek chyběl, za což jsem nemohl nestrhnout bod. Naproti tomu za chybějící zdůvodnění správnosti jsem tentokrát body nestrhával, protože jste ho neměli téměř nikdo.

Někteří řešitelé asi nečetli zadání velmi pozorně, takže řešili jiné úlohy. Nejčastěji hledali trojúhelník se zadanými dvěma těžnicemi či dvěma výškami. Podle toho, jak složitou úlohu tím dostali, jsem strhával dva až tři body. Další častou chybou bylo, že jste se pokoušeli tvrdit, že střed strany naproti vrcholu V leží na ose úhlu u vrcholu V, což ale nemusí být pravda.

Dodržením postupu konstrukce dostaneme dvě možné polohy bodu S. U té na druhém obrázku ale dostaneme tupoúhlý trojúhelník ABC, u kterého není zcela jasné, co přesně má znamenat „vzdálenost bodu A od strany BC“, a proto jsem za chybějící druhé řešení body nestrhával. Přesto vás vyzývám, abyste si příště dali pozor na případnou existenci dalších řešení, než která ukazuje vaše konstrukce.

Úloha č. 2

Při řeči o pravoúhlém trojúhelníku si každý hned vybaví Pythagorovu větu. Ano, to bude skvělý začátek.

Dále tady máme prohazování pořadí číslic v rámci čísla. Bude nejlepší rozepsat si čísla na desítky a jednotky, tak jste ostatně všichni učinili:

V tenhle moment zbloudila většina z vás na scestí a začala dosazovat jakýchsi 45 možností v naději, že tak snadno objeví správné řešení bez přemýšlení. Naštěstí si někteří z vás zachovali chladnou hlavu a upravovali výraz dál. Ať už byste závorky roznásobili, nebo použili vzoreček z knih a sešitů, dojdete jednoduše k další rovnici:

Uděláme drobné škatule hejbejte se a zbavíme se nepohodlných členů:

No vida, problémy se řeší za nás. Pravá strana rovnice bude určitě přirozené číslo, b^{2} je tedy dělitelné 99. Protože 99 = 3 \cdot 3 \cdot 11, musí být samotné b násobek 33. V úvahu připadají dvojciferné 33, 66 a 99. Hledáme tedy dvojici jednociferných čísel, rozdíl jejichž druhých mocnin jest pro začátek 11 (pro případ b = 33). A tu to máme, je to 5 a 6.

Pro b = 66 a b = 99 neexistují žádná řešení. Strany Honzova budoucího kapesníku mají tedy délky udané čísly 56, 65 a 33.

Dodejme ještě jednodušší postup. Upravíme výše uvedenou rovnici na tvar:

Je tedy zřejmé, že x-y=11, nebo x+y=11. První možnost nepřipadá v úvahu, vzhledem k tomu, že x a y jsou jednociferné. Další omezením je, že x-y musí být lichá druhá mocnina přirozeného čísla, menší než devět, tudíž x-y=1. Tento postup tedy vedl k cíli bez zkoušení, avšak kladl vetší nároky na znalosti dělitelnosti a rozklad vzorce x^{2}-y^{2}.

Komentář: Borci, kteří přibližně zopakovali předchozí postup, dostali plných pět bodů. Řešitelé ze spolku „Popelek“, kteří přebírali hromadu 45 nebo 36 možných řešení, ale správné řešení nakonec nalezli, dostali tři body. Jeden řešitel se odhodlal k použití programu Excel. Tak to je prosím špatný nápad, protože Pikomat použití počítačových programů nepovoluje. Pikomat totiž upřednostňuje řešení lidským důvtipem před řešeními strojovým opakováním, což se na téhle úloze exemplárně projevilo.

Úloha č. 3

Prvním naším krokem, typickým pro všechny geometrické úlohy, bude nakreslení obrázku, jenž názorně ukáže, co říká zadání úlohy. K tomu potřebujeme vědět, co je to deltoid. To buď víte sami, nebo vám to řekne babička, vaše učitelka anebo internet. Zjistíte, že deltoid je čtyřúhelník, který má dvě a dvě sousední strany stejně dlouhé, že ho můžete rozdělit na dva rovnoramenné trojúhelníky se společnou základnou a úplně nejlíp si ho představíte, když si vybavíte jak vypadá papírový drak. Sympatickou vlastností deltoidu je, že jeho úhlopříčky jsou na sebe kolmé. Delší z úhlopříček tvoří osu symetrie tohoto čtyřúhelníku. Zadaný deltoid je označen ABCD, víme, že strana AB měří 3 cm a zajímá nás největší možná délka strany BC. Z toho usuzujeme, že strany AB a BC budou mít různé délky. Kdyby obě strany měřily 3 cm, už bychom neměli po čem pátrat, ale navíc by šlo o síť čtyřstěnu jen v případě, že i strana |AD|=3 cm, čímž se dostáváme ke kosočtverci a už nikoli deltoidu.

Dále proto předpokládáme, že stejnou délku mají dvojice stran AB, AD a BC, CD. Zadání říká, že úhlopříčka BD je stejně dlouhá jako strana BC (a tedy i jako strana CD), neboli trojúhelník BCD je rovnostranný. Síť čtyřstěnu ve tvaru deltoidu je na obrázku níže.

Aby šel čtyřstěn z této sítě postavit, musí mít strany, které při skládání čtyřstěnu přiložíme k sobě, vždy stejnou délku. Snadno už ze zadání vidíme, že opravdu platí vztahy |AB|=|AD|, |BX|=|CX| a |CY|=|DY|. Maximální možná délka strany BC udává maximální možnou délku každé ze tří stran rovnostranného trojúhelníku BCD. Jediná podmínka na velikost stran tohoto trojúhelníku je splnění trojúhelníkové nerovnosti v trojúhelníku ABD. Konkrétně nám stačí splnění nerovnosti:

tedy |BD|<6 cm. Tato nerovnost musí platit proto, abychom mohli trojúhelník ABD vůbec sestrojit, postupujeme-li při jeho konstrukci tak, že nejprve sestrojíme úsečku BD, bod A získáme jako průsečík dvou kružnic s poloměry 3 cm a středy v bodech B a D. Když je velikost |BD|>6 cm, kružnice se neprotnou, je-li |BD|=6 cm, padne bod A do středu úsečky BD a výsledkem konstrukce nebude trojúhelník, nýbrž tři body v přímce.

Otázkou nyní je, jestli existuje největší rozměr |BD|, který splňuje danou podmínku |BD|<6 cm? Někdo řekne, že maximum nejde určit, a bude mít pravdu. Jiný řekne, že délka úsečky bude 5,999... cm a bude mít pravdu taky, ačkoli tohle číslo je už prakticky rovno šesti. Nejlepší závěr nejspíš bude, když řekneme, že maximální velikost úsečky |BD| se blíží 6 cm, ale tohoto čísla nedosahuje.

Komentář: Někteří z vás nebyli ani schopni nakreslit správně zadání, doufám, že nyní už máte jasno. Kdosi netušil, že čtyřstěny nemusí být pravidelné, avšak existují i takové, jejichž stěny nejsou pouze rovnostranné trojúhelníky, snad jsme vás touto úlohou obohatili. Ledaskdo se rozhodl, že maximální rozměr úsečky BC je 5 cm, jako by četl mezi řádky, že hledáme řešení pouze na množině přirozených čísel, je mi líto, ale to do zadání nikdo nenapsal. Pár řešitelů tvrdilo, že maximální možná délka úsečky se pohybuje v intervalu (0 cm, 6 cm), to ovšem není pravda. Pokud budeme úsečku |BC| zmenšovat, zarazíme se už na hodnotě |BC|=3 cm, kdy se deltoid náhle změní v kosočtverec. Budeme-li velikost této strany zmenšovat nadále, přestane být dokonce síť čtyřstěnu čtyřúhelníkem, proto si, prosím, příště ověřte obě meze, které kladete do odpovědi, zvláště pak tu z nich, jíž jste se celou dobu prakticky vůbec nezabývali a jen jste ji předpokládali... Další věc, která mě mrzela, byl způsob vyjadřování mnohých řešitelů. Matematika je exaktní (to znamená přesná) věda, a proto by vaše řešení mělo mít přinejmenším hlavu a patu. Zkuste ho dát někomu přečíst a nechte si od něj vysvětlit, jak ho chápe, aniž byste mu dali jakékoli další informace. Anebo si je s týdenním odstupem po sobě přečtěte sami, budete ještě vědět, co jste tím chtěli říct? To vás jistě obohatí nejen matematicky, ale i jazykově.

Úloha č. 4

Abychom vůbec mohli úlohu řešit, musíme si uvědomit, jak zadaný dílek vypadá. Začneme pohledem shora. Nejjednodušší možnost, jak by mohl dílek vypadat, aby tomuto pohledu odpovídal, ukazuje následující obrázek.

Všechny krychličky by klidně mohly ležet pouze v jednom patře. Když tento obrázek porovnáme s pohledem zepředu, tak je jasné, že je špatně. Některé krychličky musí ležet i v patře druhém. Existují pouze následující tři možnosti, jak může dílek vypadat, aby odpovídal pohledu shora i zepředu.

Který z nich je ten správný, určíme pomocí pohledu zleva. Z něj je vidět, že první a druhý dílek z předchozí trojice tím hledaným býti nemohou. Když už víme, jak dílek vypadá, je zbytek řešení snadný. Stačí si všimnout, že dva takové dílky do sebe pasují a tvoří krychli 2\times2\times2.

Protože se z osmi krychlí o rozměrech 2\times2\times2 dá složit krychle o rozměrech 4\times4\times4, tak odpověď na otázku, zda lze ze zadaných dílků sestavit krychli 4\times4\times4, zní: „Ano, lze.“

Komentář: Největším problémem bylo představit si, jak zadaný dílek vypadá. Při hledání jeho tvaru mohlo velmi pomoci sestavit si ho například z kostek stavebnice. Na druhou stranu to, že dva dílky do sebe zapadají a tvoří tak krychli 2\times2\times2, už potom poznali všichni. Také bych chtěla upozornit na to, že je třeba číst pozorně zadání, protože někteří z vás přehlédli, že dílků mohou použít více.

Úloha č. 5

Z rovnoramenných vah se dozvíme užitečnou informaci jen tehdy, vážíme-li závaží, u kterých předpokládáme stejnou hmotnost. Takové kombinace jsou dvě:

• Na levou misku umístíme závaží o hmotnosti 5 kg a na pravou závaží o hmotnostech 2 kg a 3 kg.
• Na levou misku umístíme 3 kg závaží a na pravou misku 2 kg a 1 kg závaží.

Nezáleží na tom, které vážení provedeme dříve, pro pořádek začněme číslem jedna. Mohou nastat tři možnosti:

• Váhy jsou v rovnováze, potom bylo vyměněno 1 kg závaží.
• Váhy se překlopily levou miskou dolů, potom je buďto 5 kg závaží těžší, nebo jedno ze závaží 2 kg a 3 kg je lehčí.
• Váhy se překlopily pravou miskou dolů, pak je buď 5 kg závaží lehčí, nebo je jedno ze závaží 2 kg a 3 kg těžší.

Provedeme tedy druhé vážení. Opět mohou nastat tři možnosti:

• Váhy jsou v rovnováze, pak bylo vyměněno 5 kg závaží.
• Váhy se překlopily levou miskou dolů. Pokud po předchozím vážení bylo 3 kg závaží podezřelé z toho, že je těžší, bylo určitě vyměněno. Pokud naopak bylo 2 kg závaží podezřelé z toho, že je lehčí, vyměněno bylo tohle. Obojí najednou nastat nemůže, protože 2 kg a 3 kg závaží byla na stejné misce.
• Váhy se překlopily pravou miskou dolů. Opět je třeba rozhodnout mezi 2 kg a 3 kg závažími. Pokud v minulém vážení 2 kg závaží kleslo dolů, v tomto rovněž kleslo, a tedy bylo vyměněno. Pokud naopak v minulém vážení 3 kg závaží stouplo, musí být nutně lehčí a výměna se udála zde. Obojí najednou opět nastat nemůže ze stejného důvodu jako v předchozí možnosti.

Ať už bylo vyměněno kterékoli závaží, po dvou váženích se dá s jistotou říci, které to bylo. V jednom vážení se nám to podařit nemůže, protože v případě, kdy se váhy vychýlí, neexistuje způsob, jak určit vyměněné závaží.

Komentář: Ti, kteří měli správná řešení, dostali pět bodů, pokud měli alespoň trochu srozumitelný postup. V případě, že řešení správné nebylo, snažil jsem se najít nějakou myšlenku, za kterou bych mohl body udělit. Často jste si neuvědomili, že po vychýlení vah doprava nebo doleva mohou být některá závaží už jen těžší nebo jen lehčí. Někteří z vás neví, jak rovnoramenné váhy vypadají, jak fungují. Před řešením jakéhokoli příkladu se zeptejte svých učitelů na to, co nevíte. Určitě vám rádi poradí.

Úloha č. 6

Tato úloha má dva přístupy k řešení. Podíváme se na to elegantnější, které nevypisuje mnoho možností. Každou křižovatku na plánku, si označíme písmenkem:

Začneme úvahou. Z bodu O do J i do P se dostaneme (povolenými směry) právě jedním způsobem. Do bodu K už vedou dvě cesty, z bodu O přes J a druhá přes P. Do bodu Q se dostaneme jedním způsobem z O do P a do Q. Nyní se podíváme na bod L. Z obrázku vidíme, že se do L dostaneme už třemi způsoby. Nyní už můžeme všimnout nějaké závislosti. Do bodu L se dostaneme právě součtem možností, kterými se dostaneme do K a P. Takže obecně můžeme říct, že se do daného bodu dostaneme tolika způsoby, kolik je součet způsobů, jakými se dostaneme bodů, ze kterých se lze do daného bodu dostat. Tohoto pravidla budeme postupně používat od O až do cíleného T, tj. očíslujeme postupně jednotlivé body a číslo u T je počet způsobů, jak se dostat z O do T. Zde je obrázek:

Vidíme, že počet cest je 34.

Existuje ještě druhý způsob, jak přijít na správné řešení. Tento postup je sice správný, ale zdlouhavý a lze v něm udělat snadno chybu. Postupně vypisujete jednotlivé cesty. Toto řešení ale není to, co se od tohoto příkladu čekalo a není těžké na něj přijít, jen si dát opravdu pozor a najít si správný systém zápisu, abyste na nic nezapomněli, nebo pro změnu nenapsali něco dvakrát.

Komentář: Hodně řešení bylo správných, ale hodně z vás používalo zmíněnou neelegantní metodu řešení a taky v něm většinou udělalo chybu. Musím opět zdůraznit, že je velmi důležité své řešení okomentovat! Bez postupu řešení není možné, abyste dostali plný počet bodů i přesto, že váš výsledek je správný.

Úloha č. 7

Pokud se na schodech pouze vezu, budu nahoře za pět minut. Za minutu tedy ujedu 1\over5 délky eskalátoru. Pokud poběžím po schodech jedoucích nahoru, budu nahoře za 2 minuty, takže svou rychlostí společně s rychlostí schodů urazím za minutu 1\over2 délky eskalátoru, což je součet mojí rychlosti a rychlosti eskalátoru. Když je odečtu, tak zjistím, že svými vlastními silami uběhnu za minutu:

délky eskalátoru. Pokud poběžím stejnou rychlostí proti směru jízdy eskalátoru, tak za minutu urazím:

délky eskalátoru, takže celý eskalátor vyběhnu za 10 minut.

Komentář: Úloha se dala řešit více způsoby. Někteří místo zlomků počítali s procenty, jiní si uvědomili, že výsledek nezáleží na délce eskalátoru, a tak si nějakou délku zvolili. Všechna taková řešení jsem považoval za správná.

Opravovali: 1. Petr Škovroň, 2. Pavel Houdek, 3. Lenka Blažková, 4. Tereza Pechová, 5. Jiří Harasim, 6. Klára Krejčíčková, 7. Michal Mašek.