Zadání 6. série 23. ročníku

Termín odeslání: 19. května 2008

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.

---

„Neměl byste tolik řečnit, když máte takové rýmy, pane Wolker,“ řekla sestřička trochu vyčítavě nezbednému kýchajícímu pacientovi a Aniččina maminka se zvedla k odchodu. „Tak se nám tady, dědo, opatruj. Však už půjdeš brzy domů. A nezlob pana doktora,“ usmála se ještě a vyšla na chodbu. V nemocnici se člověk cítí tak opuštěný i mezi tolika lidmi, pomyslela si ještě. Tohle by měla Anička vidět, třeba by leccos pochopila.

Anička toho v tu chvíli mnoho nechápala. Padala dírou pod nápovědní budkou a stále padala a ne a ne dopadnout. O to nechápavěji pak zírala na kouzelníkův plnovous, který stále ještě držela v ruce, ale na jeho konci žádný kouzelník nebyl. Musela mu ho utrhnout! A padala stále hlouběji.

Dříve, než se stačila začít nudit, dopadla na hromadu notového papíru, který sem asi budkou seshora napadal. Střelhbitě sundala z hlavy tlustou partituru a vyhlédla. Kousek od ní začínala dlouhá chodba a kdesi za nejbližší zatáčkou uslyšela klapnutí dveří.

„No počkej! Teď už mi neutečeš...“ prohlásila a vyskočila na nohy.

Než však Anička došla za roh, střetla se s podivným výjevem. Uprostřed chodby seděla v kroužku natěsnána skupinka úplně promočených zvířátek. Seděla tu mokrá šedivá myška, pták dodo, krtek i dočista zmoklá slepice a spousta dalších. A jako by si ani neuvědomovala absurditu situace, hádala se zvířátka jedno přes druhé, kam jenom šly tři opice.

Úloha č. 1

Zvířátka sedí v kruhu tak, že každé sedí právě vedle dvou jiných. Čtvernožců je v kruhu o x více než opeřenců. Dva čtvernožci sedí vedle sebe c-krát, dva opeřenci sedí vedle sebe d-krát. Kolik je c-d? Žádný opeřenec ovšem není zároveň čtvernožcem.

„Čertova bído, že tenhle Dodo ovládá džudo?! Toť pustá lež“ zvolala náhle myš z všeobecného hovoru. Dodo se pokusil o několik ukázkových chvatů, ale přivodil si jedině obecný posměch svou nejapností. Po chvíli dalšího dohadování Anička vyrozuměla, že se zvířátka zoufale snaží osušit. Nezvolila ovšem nejsnazší strategii: pokoušela se mezi sebou vybrat toho, kdo řekne tak suchou historku, že jeden chlup či brk nezůstane mokrý. Právě teď měl kandidát povstat ze zápasu v džudu...

Úloha č. 2

Do turnaje nastoupilo pět borců. V každém kole se z dosud neporažených kandidátů určí losem dvojice zápasníků, která se utká. Vítěz posledního (pátého) zápasu se stává vítězem turnaje. Zjistěte počet všech možných průběhů takovéto soutěže.

Přes všechny myšiny organizátorské snahy skončily celé kandidátské závody po chvíli ve velikém chumlu tlap i spárů a vítěz určen nebyl. „U slepý kobry i s lodí ambry, mít takhle zubry! Ti by tu nadělali pořádku“ posteskla si myš, když křísila jednotlivé bojovníky.

„Marná pomoc, Alenko, budete nám musit pomoci! Beztoho jste tady tím vším vinna,“ otočila se myš nesmlouvavě k Aničce. „Ale vždyť já jsem vůbec nic neprovedla“ hájila se Anička. „To si ani nepřejte vědět, co byste byla provedla, kdybychom tu nebyli byli“

To Aničku trochu zmátlo, tak jim jednoduše navrhla, aby se rozpočítali. Ne a ne ale na žádné vhodné rozpočitadlo připadnout. Z jednoho čápovi neustále padala čapka, o druhém nechtěla promočená zvířátka ani slyšet, poněvadž vyprávělo o potoce a petrklíčích. Anička už si zoufala, ale zvířátka ji zjevně nemínila propustit.

„Tak zkuste staré dobré Chodí pešek okolo, nedívej se na něho...“ navrhla Anička a zvířátka opravdu přikryla čumáčky do tlapek a nevykoukla ven. Anička neváhala ani drobný okamžik, proplížila se jim za zády a vklouzla za zatáčku chodby. Kam jen oko dohlédlo, táhla se řada dveří, podobných si jako vejce vejci. Jedny z nich se za kouzelníkem jistojistě zaklaply.

Hned první dveře měly podobu krásné gotické brány, celé zlacené od pantů až po klíčovou dírku. Tou Anička čile nahlédla dovnitř a uviděla, že za branou se rozkládá nádherná zahrada. Aniččina zvědavost se v tu chvíli málem ani nevešla do chodby -- jak se ale uvšechvšudy dostat dovnitř? Rozhlédla se a našla opodál skleněný stoleček se zlatým klíčem opatřeným visačkou „Půjč si mne“ Zajímavé, jak se tady problémy řeší úplně samy, pomyslela si Anička odmykajíc. I způsobují, musela dodat o chvíli později.

Brána byla kupodivu dost nízká a Anička se musela dost ohnout, aby se dostala do zahrady. Nutno dodat královské zahrady. Za několika záhony se rozkládalo kroketové hřiště a právě se tu hrála jedna zběsilá partie. Dvořané kličkovali mezi mašírujícími strážemi, pronásledovali své míčky, které ovšem měly podobu živých ježků, a snažili se u toho vyhnout pokřikující královně, která se dnes zřejmě nevyspala nejlépe.

Úloha č. 3

Je vám jasné, že při takové hře to nikdo neměl jednoduché. Podívejme se na nástrahy, které očekávaly jednoho ježka koulejícího se po hřišti v úloze míčku. Neměl-li do nikoho vrazit, musel se koulet po dráze, kterou vidíte na obrázku. Mohl se však pohybovat pouze po křivce, která má od okraje dráhy stále stejnou vzdálenost. Jedna z možných tras je na obrázku nakreslena tečkovanou čarou. Celá dráha je středově souměrná, jak vyplývá z obrázku. Jakou trasou to bude mít ježek nejkratší?

K dovršení všeho ještě museli nešťastní dvořané odpalovat své ježky za pomoci plameňáků, kteří si nenechali vždy po dobrém vysvětlit, co se od nich vlastně očekává. Jeden pobouřený pták zvedl hlavu ze země a upřel vyčítavý pohled na královnu, která všechnu tu zábavu nakázala. „Já vskutku nemám slov,“ vykřikla královna, „ten pták mě málem klov! Stráže! Hned ho ulov! A jemu,“ otočila se na nebohého majitele plameňáka, „srazte hlavu“

Naštěstí však rozpačité stráže byly ozbrojeny pouze košťaty, takže provinilec vyvázl s hlavou na krku. Rozhodně však Anička nemínila riskovat případné přezbrojení vojenské moci a rozhodla se pro příště nebezpečně krásným královským pozemkům vyhnout. Začala s tím hned a octla se opět na chodbě.

Procházela dál mezi dveřmi a přemítala, které by mohly být ty pravé, když daleko vepředu uslyšela prásknutí dveřmi. Chodbu přeběhl černavý přízrak a zmizel v protějším vchodu. Za ním! Přiběhla zhruba do těch míst a zvolila jedny dveře, ani si nevšimla, že je na nich psáno Motyka.

Tentokrát se Anička octla v hlubokém lese. Bylo tu ohniště, uválená tráva, roubený srub a klec. Vůbec to místo nevěstilo nic dobrého. Klec zavěšená na pevných lanech se pohupovala ve větru i se svým zajatcem. Byl jím pravidelný kvádr veliký asi jako Anička. Jeho klec byla velmi zvláštní, neboť železné tyče jej nevěznily pouze po obvodu, ale v pravidelných rozestupech vyplňovaly i celý vnitřní prostor vězení, vodorovně i svisle. Kvádru to zjevně nevadilo, jelikož coby těleso ideální a nehmotné se klidně mohl nechat proklát železnou tyčí.

Úloha č. 4

Mějme zadaný kvádr, jehož vrcholy jsou v mřížových bodech. Jeho objem lze také spočítat podle následujícího vzorce:

kde a, b a c jsou konstanty, N je počet mřížových bodů, které leží uvnitř kvádru, S je počet mřížových bodů, které leží uvnitř stěn a H je počet bodů, které leží uvnitř hran. Nalezněte konstanty a, b a c.

„Kdo vám to udělal?“ nedalo Aničce. „Drží mne tady zlomeniny. Utec, sic tě také uvězní“ „Kdo to jsou zlomeniny?“ tázala se dál Anička. „Ti, kdo páší zlé vylomeniny, to ví přece každý. K práci jdou pomalu, vyhnou se pometlu a kradou v návalu, to jsou celé ony.“

Tu náhle něco vyskočilo zpoza stromu a než by Anička řekla „švec“, byla obklopena drobnými mužíčky. Jedni nesli široké štíty, druzí dlouhé mohutné meče. A než bys řekl „druhý švec“, jedni mužíčci zvedli své štíty nad hlavu, druzí na ně o meči jakoby o tyči vyskočili, pevně se na štítech rozkročili a v takových dvojicích hravě převýšili Aničku o hlavu. „Vzdej se, mnohostěne, jsi bez šance“ namířili na Aničku meči.

Úloha č. 5

Najděte co nejmenší přirozené číslo m tak, aby pro zlomek n \over m, kde n je nějaké celé číslo, platilo

Anička nasucho polkla. Jestli se přeci jen neměla raději nechat praštit koštětem v královské zahradě... „Ale džentlmeni...“ začala a horečně přemýšlela, „přece byste hned nesahali k hrubé síle. My jsme jen 2, kdežto vás je --“ pokusila se narychlo přepočítat zlomeniny, ale bylo to najednou velmi obtížné. Několik mužíčků s meči seskočilo ze štítů, vyměnilo si svá místa a pohoršeně brumlali. „Víte, prošla jsem už 5 kapitol a ještě nikde mne takto --“ Několik mužíčků se opět přemístilo mezi štítonoši. „Pokračujte, jdete na to skvěle“ špitl jí Kvádr za zády. „13?“ zkusila Anička nechápavě. Další přesuny. „Nu ano, zlomeniny musí ztělesnit každé číslo, jaké řeknete, proto se stále přesunují mečovatelé k různým štitatelům,“ vysvětloval Kvádr.

Úloha č. 6

Napišme

• dva,
• tři,
• čtyři

různé zlomky s kladnými čitateli a jmenovateli. Pak sestavme nový zlomek, který má čitatel roven součtu čitatelů všech zvolených zlomků a jmenovatel roven součtu jmenovatelů zvolených zlomků. Řádně zdůvodněte, že tento zlomek je vždy větší než nejmenší původní zlomek a menší než největší původní zlomek.

„2,3, 106,23, 0,333, ...“ bavila se skvěle Anička a zlomeniny si počínaly nad nečekaným tělocvikem zoufat. Zrovna, když začala přemýšlet, co by se tak mohlo stát, kdyby řekla jednoduše „\pi“, ucítila pod krkem studenou ocel. „Tak dost! Síru již nedšti, už vem tě nešť i konec té třešti“ prohlásil obtloustlý mečovatel, který měl patrně, k Aniččiným nejhorším obavám, hodnotu nuly. Na takového byla krátká. „A ihned vyklop, děvenko, co máš, co víš a proč tě nemáme odkráglovat rovnou“

„To je hmm... těžká otázka, pánové,“ roztřásla se Anička, „tak vím například..., že Artemis je bohyní lovu,“ lovila Anička za Artemidiny hojné pomoci v paměti, „že inspicient posílá herce na jeviště, že mravkolví larva se živí mravenci,... že královna právě hraje kroket...“ „Ne! Opravdu?! Hraje kroket?“ „Kdo nevěří, ať tam běží,“ odsekla Anička. V tu ránu zlomeniny zahodily všechno, co by jim jen trochu mohlo překážet, a rozběhly se nejvyšší rychlostí všemi směry. Anička s Kvádrem osaměla.

„Jak vás ale teď dostanu ven?“ posteskla si Anička nad Kvádrem, „proč prostě nevylezete?“ „Drží mě tu na čestné slovo,“ řekl zoufale Kvádr. „Ale! To je mi nesmírně líto! A nemohlo by to být...“ Anička se hluboce zamyslela, „například Slibuji?“ Klec se s řinkotem sesula na zem a roztříštila na hromadu šrotu.

„Ano,“ drápal se Kvádr ze sutin, „vypadá to, že mohlo. Jsem vám nesmírně zavázán.“ „Když je tomu skutečně tak, snad byste mi mohl říci, kde najdu takového kouzelníka, celého v černém a bez plnovousu.“ „Toho pána bohužel neznám, ale jestliže je to kouzelník, snad byste ho mohla najít u mydláře, co říkáte? Každý kouzelník přeci musí čas od času k mydláři.“ „A jak tu firmu najdu?“ zeptala se Anička již jednou nohou na chodbě.

Za několik okamžiků již brala za kliku dveří se zlatou cedulkou „Kat & syn“. Vstoupila do velikého roubeného domu s vysokou sedlovou střechou z mnoha desítek trámů. Po celé vnitřní prostoře, kam se jen podívala, stály kádě plné bílého tekutého sádla, ze kterého se mýdlo vaří, mezi nimi chodili mydláři a tu a tam v nějaké kádi zamíchali vláčným obsahem. Anička z nejbližší kádě vylovila topícího se čmeláka a měla pocit, že slabě pobzikává: „Všude samý sádlo“ „Tak to teda jo,“ přitakala.

Náhle se všichni mydláři seběhli k jedné kádi a začali lamentovat. Její obsah již nebyl bělostný, ale brčálově zelený. To mi něco nápadně připomíná, řekla si Anička a zapátrala očima v trámoví. Nehledala dlouho. Seděl tam, kouzelník i s bublifukem, roztržitě klinkal nohama a zvědavě nahlížel dolů, co asi mydláři na to. Ti si řádně vykasali rukávy a chtěli se za ním vyšplhat. Jenže se zlou se potázali. Žebřík byl najednou z perníku a neunesl by ani Jeníčka s Mařenkou, a když se mydláři přesto pokoušeli k němu dostat, pustila se jedna káď do tak notného mydlení, že pěna zahnala chlapíky na útěk až ke dveřím.

„Tak vida, kouzelníku, konečně jsem tě dohnala. Odtud mi ani neuletíš, ani neupláchneš do sklepa,“ řekla si Anička a pečlivě za sebou zavřela dveře. Zoufalí mydláři zatím hořekovali nad vzniklými škodami. „Jestli pokazí ještě jednu káď, co budeme zítra vyvážet do Vltavy?! Vltava bez mýdla, to bude hotová katastrofa...“ „A to nechtěj ani pomyslet, jaké pozdvižení ztropí babička, až přijede z Číny s tím svým prádlem a my jí nenabídneme jediné slušné mýdlo“ „Leda bychom jí podstrčili to, co teď voní jako sardelová pasta,“ pokusil se nesměle třetí. „Ale pánové,“ přitočila se k mudrujícím mydlářům Anička, „dneska už prodáte cokoliv, jen nesmíte zanedbat reklamu.“ A dodala k navztekanému pantátovi: „Chápu, že vás hněte, že se, pane Kate, celý tetelíte, ale zde je místo síly zapotřebí lsti“ Pan Kat i se synem, se na ni tázavě zadívali. „Milá slečno, rádi bychom vás až po bradu v lilie zalili, vskutku přišla jste-li na lest jakoukoli“ prohlásil slavnostně mydlář Kat. „Nechte mě něco vyzkoušet,“ řekla a vykročila, aniž přesně věděla, co vlastně.

Pomalu se jí to skládalo v hlavě. Jak to bylo s tím Alfredem? Úplně zmizel. A nepřál si těsně předtím horoucně uniknout mnoha pozorným očím? Nepřál si, aby se na něj nikdo nedíval...? To víš, že přál. A pak-- Tohle se musí vyzkoušet. Anička šlapala v sesychající pěně, přímo k místu, kde kouzelník pouštěl své bublinky. Hned za ní jednu poslal. Růžový slon, růžový slon, říkala si Anička zarputile. A vskutku. Z místa, kde bublina dopadla u jejích nohou, odběhl maličký růžový sloník. Anička se na něj sebejistě usmála. Tákže..., tác laskonek, blyštivou rtěnku, červené náušnice,... hromadila v mysli Anička. Ale nesmysl! Všechny tyhle krámy vlastně vůbec nepotřebuju. Chci, aby ten trám, na kterém sedí, byl na moment z žužu! A praskla bublinu hned vedle kouzelníka dlouhou mydlářskou tyčí.

Trám se prohnul pod kouzelníkovou vahou až k zemi a ten se jak dlouhý, tak široký rozplácl do kádě se sádlem.

Úloha č. 7

Káď stála na přesně vyrobeném podstavci, při pohledu z bývalé kouzelníkovy perspektivy mohla vypadat takto: lichoběžníku ABCD, jehož střední příčka je dlouhá 5 loktů, je vepsána kružnice. Vypočítejte obvod tohoto lichoběžníku.

První na hladinu vyplaval špičatý kouzelníkův klobouk -- i s parukou dlouhých bílých vlasů. Po chvíli se vynořilo i schlíplé mastné stvoření, které Anička bez váhání popadla za límec. „Tak teď něco uvidíš, to ti teda slibuju,“ třásla s ním Anička, „za všechny ty nebožáky, co jsi jim způsobil samé trápení --“ Vzlyk. „-- ti nandám touhle tyčí, co se do tebe jen vejde“ „Já nechtěl,“ ozvalo se slabé pípnutí. Anička se zarazila. „Žes nechtěl?! To ti mám uvěřit?“ „Já si chtěl jenom hrát,“ natahoval mastný uzlíček moldánky. „Já ti taky zahraju...“ natahovala se Anička.

„Přece bys ho nebila, vždyť je to ještě dítě,“ ozval se Poeta opřený o káď a překvapil tak Aničku dalším ze svých náhlých příchodů. Tentokrát ji překvapil dvojnásob: „Dítě?“ Prohlédla si pozorně svou kořist. Postavou o hlavu menší než ona (teď poprvé stáli vedle sebe), holá tvář zbavená falešného plnovousu, pod stékajícím sádlem prosvítající pihy a především ty provinilé klukovské oči plné strachu.

„Ale... vypadal tak dospěle, vypadal jako stařec...“ mumlala Anička, rozpomínajíc se na všechny dětinské kousky domnělého kouzelníka. Na to, jak ji neváhal zasypat nebezpečnými bublinami, jak je trousil, kde ho napadlo, jak se divoce smál, jak jí mával z balónu, na to, jak klátil nohama, jak před ní pelášil, na to, kterak z rozjívenosti málem zničil Alfrédův výstup -- nebo to byla hravost?

„Ale Aničko, dospělost přece není otázkou nalepovacího fousu, bezvadné rtěnky, ani hry s bublifukem. Dospělý je ten, kdo na sebe vezme zodpovědnost za svět kolem sebe. Na ostatním nijak zvlášť nesejde,“ řekl Poeta a čeřil při tom prstem hladinu v kádi.

Anička se zamyšleně podívala do kádě. „Tak už neplač,“ nevydržela pohled na špinavého kluka, „vždyť já to nemyslela zle. No, vylez ven a osuš se trochu.“

„Poeto,“ vzpomněla si pojednou na palčivou otázku, „čím to, že ty můžeš procházet jen tak všemi kapitolami? To přece Šmikynožka nemohl. Do kterého příběhu ty vlastně patříš?“ „Přece do každého,“ usmál se Poeta, „do mého jména patří ještě drobné n, mé plné jméno zní Pointa -- a bez té se neobejde žádný dobrý příběh“

„A on?“ ukázala za klukem, který začal spokojeně olupovat mandle z perníkového žebříku. „I dítě a kus hravosti musí být ve všech příbězích ze tvé knížky, proto je máš přece tak ráda.“

„Teď už tě ale opustím, protože nejlépe si vychutnáš pointu, na kterou přijdeš úplně sama, má milá Anno“ A než se po něm stačila ohlédnout, zbyla po něm ve vzduchu stěží zelená šmouha. „Co tím mohl --“ V Aničce hrklo hůř než ve starých pendlovkách. Vždyť její bublifuk teď leží vylitý na dně veliké kádě! Jak ona se teď pro všechno na světě dostane domů?

Bylo jí do breku. Takový neslavný konec všemu jejímu putování, pronásledování a dobrodružství... Tolik toho zažila! Tolika nástrahám unikla! A teď tady zkysne u sádelné lázně? Tak to tedy ne, Aničko, holka mazaná, pro tohle jsi meč pod krkem necítila, řekla si rázně, dovedeš si přece poradit i jinak. Rozhlédla se, je přece u mydláře, kam chodí všichni kouzelníci, řekla si. Zamyšleně ponořila ruce do kádě mýdlové vody. Pak udělala z rukou misku a velice pomalu rozevírala mezi nimi štěrbinu. Natáhla se mezi nimi mýdlová blána. Teď už jen lehce fouknout a --

-- jsem doma! Vydechla si vleže na koberci ve svém pokoji. Záclony ještě vlály z okna. Tak, Anno, řekla si ještě, a tohle byl teprve začátek. Než se máma vrátí, upeču pro dědu ten nejsladší koláč.