Zadání 3. série 23. ročníku
Pikosobota proběhne dne 12. ledna 2008 od 10.00 do 16.00. Sraz je u východu stanice metra Nádraží Holešovice směrem k nádraží Praha-Holešovice (východ bez jezdících schodů).
Termín odeslání: 14. ledna 2008
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
„To si mám jména všech těch bohů a „bohů“ pamatovat?“ děsila se Anička.
„Ale vůbec ne. Ani Řekové neznají jména všech bohů a těch v uvozovkách si nevšímej vůbec,“ vysvětloval Poeta. „Mají jich prostě moc. Kdejaká řeka má v Řecku svého boha. A co nemá svého boha, má aspoň svoji nymfu.“
Minuli studánku, ze které vyvěral malý potůček. Na jejím břehu seděla éterická dívka a omývala si v ní kotníky.
„O prameny pečují najády. V horách pobývají oreády a v lesních stromech zase žijí dryády.“
Od místa, kde štěrbina ústila na této straně, ušli již notný kus, ale zřejmě byli daleko od lidí. Procházeli vyprahlým slunným lesem na povlovném horském hřbetu a na protější straně údolí se strání proplétaly vinice. Za kopci se táhl šedavý proužek věštící mořskou hladinu. Na obloze sluneční kotouč zametal poslední kousky z dílny Eós, bohyně ranních červánků.
„Tak už naposledy,“ vzdychla Anička, „Athéna -- moudrost, Afrodíté -- láska, Artemis -- lov, Apollón -- umění, Arés -- válka, proč jich, proboha, tolik začíná od A?“
„Tady s bohem raději opatrně. Opomněla jsi ještě Poseidóna, Dionýsa, Háda, Héfaista, Héru a Herma, abychom neurazili. A Dia, který jim všem vládne.“
„Dost, dost! Mám jen jednu hlavu! Další jméno už mi z ní vypadne zase ven“
„Bravo, jak příznačné! Přesně tak přišla na svět Athéna -- vyskočila Diovi z čela.“
Anička zaúpěla a raději už nic neřekla.
Pomalu scházeli k travnaté mýtině, když mezi stromy zahlédli pohyb. V kruhu tam tančily ztepilé dívky velmi roztodivného odění i vzezření. Jejich šat byl zelený či hnědý a především rozevlátý divokým tancem. Některé měly na hlavách věnce z borových šišek, některé náhrdelník z jeřabin. Byly to dryády a smrtelníkům by bylo velmi pošetilé v jejich kruh vstupovat.
Úloha č. 1
Na mýtině je celkem 38 dryád. Jsou různě vymóděny, některá má na hlavě šiškový věnec, jiná má jeřabinový náhrdelník na krku, další má brouky tesaříky ve vlasech, některá z dryád nosí v halence bukvicové knoflíčky. Žádná z nich nemá všechny čtyři řečené doplňky, ale každá z nich má alespoň dva. Dále si Anička povšimla, že dryád, které mají věnec, ale nemají náhrdelník je 9. Dryád s věncem i s náhrdelníkem, nevlastnících tesaříky ani knoflíčky, je 8. Naopak je 6 dryád, které mají tesaříky a knoflíčky, ale nenosí věnec ani náhrdelník. Dále Anička napočítala 12 dryád, které mají náhrdelník a brouky ve vlasech, a 6 dryád, které mají náhrdelník a knoflíčky. My se ptáme, kolik je dryád, které nenosí věnec, ale mají všechny ostatní předměty?
Rej se roztáčel čím dál rychleji. Výskot dryád byl stále divočejší, až z toho skřípalo v korunách a listí se na stromech vzdouvalo. Když vtom se z křovin ozval dusot těžkých nohou a někdo tam zběsile přepísknul rákosovou píšťalu -- zvuk mrazivý, až Aničku přimáčkl do hlíny. Na mýtinu vtrhla tlupa rozvášněných satyrů, pekelně ošklivých bytostí s kozlíma ušima a koňskými ocasy. Dryády na nic nečekaly a daly se na útěk -- satyrové za nimi. Do několika okamžiků byla mýtina úplně tichá a pustá.
„Poeto, viděls to?“ zeptala se ustrašeně Anička, co to, propána, bylo?
Ale Poeta neodpověděl. Vlastně tam už delší dobu nebyl. Než se však Anička stihla pohoršit nad jeho náhlým zmizením, odpověděl jí jiný hlas.
„Na Pana je ještě čas. Ačkoliv dnes se již patrně vůbec neukáže. Asi se zase někde žene za mladou najádou, kozel jeden starý,“ řekl muž v honosné tóze stojící uprostřed mýtiny, který si Aničky očividně všiml.
Vystoupila tedy ze svého úkrytu a pokusila se o nějaký náležitý pozdrav. Jelikož však měl muž kromě tógy i majestátní výraz a držení těla, zvrhlo se to v poněkud nemotorné pukrle. Jen ji trochu pletlo, že má muž na hlavě turban... nebo spíš prostě ovázanou hlavu.
„Buď zdráva, vzácná cizinko, Hermes nechť ochraňuje tvou cestu! A chceš-li okusit i požehnání Hestie, ochránkyně rodinného krbu, přijmi pozvání do mého královského příbytku.“
Aničce svitlo dokonce i bez Poetovy erudované pomoci. „Ahá! Vy budete král Midásmáoslíuši“ ujelo Aničce dřív, než to stačila domyslet.
„Nepříliš citlivé, leč nemohu říci, že by to nebyla pravda,“ podrbal se král Midás pod turbanem.
Anička se celou cestu k Midovu paláci pokoušela nějak vhodně omluvit. Úranos, bůh nebeské klenby, ze své blažené výše shovívavě sledoval její úpěnlivou snahu. Sama Anička myslela na vše, co ji zatím potkalo, jak se propadla sem, jak byla málem spořádána Ťutínkem, jak ji málem roztrhali satyrové (ta hrůza, kdyby si jí jen všimli), jak urazila samotného krále. A provázela přitom drobnou výčitkou sudičky, bohyně, které jí tato překvapení přichystaly -- Klóthó, která přede nit osudu, Lachesis, která ji dále odvíjí, a k poslední, která nit přestřihuje, raději nedošla. Nicméně král nevypadal příliš pohoršen a spíš se Aniččinou snahou dobře pobavil.
K Midovu paláci patřily i rozsáhlé zahrady, ve kterých dlelo v dívčích kratochvílích jeho jedenáct dcer. Dnes ale bylo ze zahrady slyšet podezřelé chichotání. Pouhým pohledem z okna hned Midás uviděl, že jeho dcery obletuje Erós, okřídlený bůh lásky s lukem a šípem, přinášejícím prudká vzplanutí.
Úloha č. 2
Midovy dcery chtěly po Erótovi, aby je seřadil podle krásy. Erós všech jedenáct dcer postavil do řady a začal je přemisťovat. Prostřední dcera v řadě zůstala na místě, všechny ostatní místo v řadě změnily. Navíc se žádná z nich nepřesunula na místo bezprostředně vedlejší. Kolik možností pořadí při těchto podmínkách existuje?
Midás neváhal, vyběhl na zahradu a nepřístojným zábavám učinil rychlý konec. Pak se unaveně položil na svou lenošku naproti Aničce a co nejzdvořileji se otázal: „Za čím vlastně přicházíte v naše kraje, vznešená Anno?“
Anička Midovi vylíčila své patálie s divně ustrojeným pánem a bublifukem. Midás jí přikyvoval a hned dodal, že o podobném člověku vyprávěli satyrové. Prý mezi ně plavmo dopadl z ovzduší, že se skoro obávali návštěvy nějakého nebešťana. Tenhle cizinec však prý rozhodně nezkazil žádný žert a s píšťalou také uměl pěkné kousky. Naposled ho zahlédli, když odcházel do údolí.
„Vy se těch strašných netvorů nebojíte? Vy se s nimi dokonce bavíte?“ podivila se Anička.
„Já se satyrů skutečně nemám proč obávat, mají mne za svého přítele. Krom toho jsou to zábavní chlapíci s poněkud osobitou, pravda, filosofií, ale je radost s nimi rozmlouvat. Člověka znaveného kralováním to příjemně občerství, asi jako rozhovor s milou cizinkou.“
„Vy se zabýváte filosofií?“ užasla Anička a převalovala v hlavě slavná řecká jména.
Midás se zasmál a zavrtěl hlavou. „Ale vůbec ne, filosofové jsou podivní patroni. Kdysi jsem se o jejich učení trochu zajímal, ale považte, milá Anno, čím se zabývali...“
Úloha č. 3
Filosofové řešili následující problém. Zadali si pětiúhelník ABCDE tak, že čtyřúhelník ABCE je čtverec a trojúhelník CDE je rovnoramenný a pravoúhlý. A pak přišel rozhodující zvrat: stanovili si množinu M. To byla množina středů všech úseček, které jsou rovnoběžné s přímkou AC a které mají krajní body na obvodu pětiúhelníku ABCDE. („Ale ne“ zašeptala nevěřícně Anička.) Potom už vám filosofové jen uložili konečný úkol: Pokud je množina M křivka, spočtěte její délku, pokud je množina M plocha, spočtěte její obsah.
„A to vám, má milá, ještě neříkám to nejneuvěřitelnější“
„Toho bych snad i ráda zůstala ušetřena,“ přispěchala hned Anička.
„Povím vám tedy ještě, jak jsem se s nimi rozžehnal...“
Úloha č. 4
Filosofové hloubali nad zlomky. Vyvolili si dva v základním tvaru. První z nich měl v čitateli jedničku. Jejich rozdíl byl roven jejich součinu. Najděte všechny takové dvojice zlomků.
„A když už vyjmenovali asi... sám Zeus ví, kolikátou dvojici zlomků, shledal jsem, že má cesta povede jinudy, a opustil navždy jejich řady.“
Král Midás zapil svou filosofickou minulost ze zlatého poháru. Aničce na nádobě utkvěl zrak. „Myslela jsem, že vaše zlatá posedlost je už pryč,“ vybavil se Aničce další dávný příběh o králi Midovi. Přál si tehdy, aby se vše, čeho se dotkne, stalo zlatem. Jeden bůh mu jeho neprozřetelné přání splnil. Nebohý Midás pak po několika hodinách bláznivé radosti upadl do náhlého zoufalství. Zjistil, že ve zlato se promění i chléb, který si vložil do úst, i víno, kterým jej chtěl zapít z dávno zlatého poháru. Měl tehdy štěstí král Midás, že bůh se nechal ještě obměkčit a vzal svůj dar zase zpět.
„Ach, to jistě ano, dávno pryč. Tenhle jediný pohár jsem si ponechal. Dokud má člověk na očích své chyby, neudělá tak snadno další.“
„A tehdy...“ Anička zalétla očima k turbanu, jste s sebou ten pohár neměl...
„Naopak, má milá Anno,“ povzdechl si král, ale v mýtech už budu na věky jako hloupý král Midás.
Anička si narychlo zmateně přehrála v hlavě celý příběh. Dva bohové v něm soutěžili v hudbě. Jeden byl krásný, světlý, vysoký, měl krásný hlas a vznešenou lyru. Druhý byl ošklivý, napůl kozel a pískal křepčivé melodie na syringu. Midás ale přesto přiřkl vítězství druhému. První, zhrzený nepřiznaným vítězstvím, Midu ztrestal tím, že jeho uši proměnil v oslí -- nemohou prý s takovým vkusem zůstat lidské.
„Tak proč jste tvrdil, že Pan hraje mnohem lépe než samotný Apollón? Vždyť všichni ostatní, kteří u toho byli, řekli, že Apollón byl lepší.“
„Ale to, že něco říká velká většina, ještě nebývá zárukou pravdy, milá Anno. Často tomu bývá právě naopak.“
Anička si zmateně uvědomila, že ten moudrý král sedící před ní je vlastně zbytkem lidí nazýván hloupým králem Midou.
„A většina lidí se nechá velmi snadno strhnout krásnou tváří... Nehledě k tomu, že Apollón je známý ukrutník a Pan můj dobrý přítel. Copak jsem mohl dopustit, aby dopadl jako ubohý Marsyás?“ Uviděv v Aniččiných očích otázku, Midás pokračoval. „To byl satyr, který soutěžil s Apollónem ve hře na flétnu. Po bezpečném vítězství z něj Apollón stáhl kůži. Tak se odplácí boží soudy, nikdy se, Anno, do žádného nepřipleť. Kde se točí moc, sláva, vítězství, peníze a jiné božské atributy, není bezpečné místo pro smrtelníky.“
Bohové podsvětí rádi hrají Tartarský pokr. Duše zemřelých v podsvětí, svíraném čtyřmi podsvětními řekami, putují na Asfodelovou louku, místo, kde dočkají konce světa. Nejtěžší hříšníci jsou ale odsouzeni k pobytu v Tartaru, nejhlubší části podsvětí, kde těžce trpí za své pozemské činy.
Úloha č. 5
Bohové si pro své hry se smrtelníky vyhradí v obou prostorách dost volného místa, shromáždí si dostatečně velké zástupy čekajících poctivých zemřelých a těžkých hříšníků a začnou. Na začátku hry je na Asfodelově louce několik poctivých duší, zatímco v Tartaru žádný hříšník není. Hráči se řídí následujícími pravidly. Pokud je počet duší na louce dělitelný třemi, vhodí do Tartaru tři hříšníky. Pokud ale není dělitelný třemi, spočítají, zda je počet duší na louce lichý nebo sudý. Pokud je sudý, vhodí hráč do Tartaru dva hříšníky, pokud je lichý, vhodí do Tartaru jednoho hříšníka. Na závěr svého tahu přidá hráč na louku jednu duši poctivého člověka. Hra končí, když je v Tartaru alespoň deset hříšníků. Vítězí ten, který vhodil do Tartaru desátého hříšníka. Kolik nejméně bohů musí hrát Tartarský pokr, abychom měli jistotu, že se na žádného z nich znovu nedostane řada?
Král Midás se už nadechoval, že ještě připomene příběh Paridova soudu, kde si mladík sice mohl vybrat, jakým způsobem bude za svou volbu odměněn, ale současně jakými dvěma způsoby potrestán. Jejich rozhovor byl však přerušen náhlým příchodem dvou poslů. Oba přispěchali současně a nemohli se dohodnout, který má přijít na řadu dříve. Midás je tedy vyslechl společně a nestačili se podivovat nad neobvyklostí okolností, za jakých k němu dvě zprávy dorazily.
Úloha č. 6
Vládci dvou sousedních měst se rozhodli poslat Midovi list. Jejich města byla obě od Midova vzdálena 600 stadionů, staré řecké míry. A posli s královskými listy vyrazili ze svých měst ve stejný okamžik. První běžel solidní rychlostí 60 stadionů v hodině, jak se sluší na hrdého dědice marathónské tradice. Druhý běžel rychlostí 50 stadionů v hodině, ale po určité době mu prozřetelnost seslala do cesty koně, který byl v Řecku vždy vzácným zvířetem. S koněm pak nesl zprávu rychlostí 90 stadionů v hodině. Přes tyto peripetie dorazili oba posli do Midova paláce současně. Jak daleko od začátku své cesty získal druhý posel koně?
Ani kdyby ke králi Midovi přiletěla na svých zlatých perutích duhová bohyně Íris se zprávou od samotného hromovládce Dia, nebyl by král více překvapen podivnou shodou náhod. Ale stalo se a král zasedl ke stolu, aby co nejrychleji sestavil zpětné depeše oběma vládcům, občas si pod vousy pobrukuje: „Ten vynález z Pergamonu, to je, u Dia, věc“
Kde to zavánělo politikou, tam to Aničku pramálo zajímalo. Prohlížela si raději ještě udýchané běžce, zperlené potem po těžké cestě, a přemýšlela, kde teď asi může být ten podivín ve špičatém klobouce i s jejím bublifukem, který by ji mohl dopomoci zpátky do jejího pokoje. Netrvalo dlouho a už zapředla s královskými posly družný hovor. Dovídala se o heroických činech udatných reků celého království, i celého Řecka, div, že se neplavila na Argó s Iásonem za zlatým rounem nebo že nebloudila labyrintem společně s Théseem. Jak se zdálo, tak tito dva Řekové všechna tato dobrodružství buď přímo zažili, nebo to měli aspoň od „nejbližších přátel“, z čehož si Anička při desátém epickém vyprávění udělala obrázek o šíři řecké pravdy a o tom, co vše se do ní snadno vejde. Hned také nahlédla, odkud ten Homér, o kterém se učila ve škole, vzal tolik podivuhodně detailních informací.
Až se při svém vyprávění dostali k cizincům. „Tak to byste nevěřili, co jsem dnes na cestách fryžských viděl za maškaru“ vykřikl první z poslů a jal se popisovat výstředně oblečeného muže. Anička hned rozpoznala svého neznámého. Slovo dalo slovo a brzy věděla, že se určitě ubíral směrem k mořskému přístavu a že už má značný náskok. Chtivá další cesty, radostně vyskočila na nohy, ale z ohledu ke svému hostiteli vyčkala, až dokončí svou práci.
Úloha č. 7
Král Midás právě pečetil své depeše sousedním vladařům. Pečetidlo bylo vyrobeno z dřevěné krychle, která byla umným řemeslníkem seříznuta tak, aby měla na řezu přesně požadovaný tvar. Je to krychle ABCDEFGH. Na ní si řemeslník na hraně BC vyznačil bod X tak, že |XB| = 1\over3 |BC|, a na hraně CG bod Y tak, že |YG| = 1\over3 |CG|. Body H, X, Y proložil pomyslnou rovinu a podle té krychli rozříznul. Spočtěte plochu řezu tvořenou rovinou HXY.
Sotva měl Midás vyřízeno a posly odeslal zpět ke svým pánům, svěřila se mu Anička s cílem svého putování. Již se chtěla způsobně rozloučit, ale král ji zadržel.
„Pěšky byste ho, má milá, již stěží dohnala. A kdo ví, co má ten lišák rovný Odysseovi ještě za lubem. Ale požádáme přítele Bellerofonta, který před lety zkrotil samotného Pegasa, okřídleného koně, který vyskočil z krku čerstvě sťaté Medúsy, strašné Gorgony, jejímuž hrůzostrašnému řádění kdysi učinil přítrž náš krajan Perseus, jehož matka...“ Anička z celé rychlé vycházky napříč dalším mýtem mnoho nepochytila, ale jedno pochopila jistě -- poletí!
Netrvalo déle než na jednu pravou řeckou hostinu a před Aničkou skutečně stanul okřídlený kůň Pegasos, jak slíbil král Midás. Vsedla na něj hladce se samozřejmostí lesních dryád. Nezapomněla svému hostiteli vřele poděkovat a doporučit jeho dům přízni všech bohů, na které si jen v tu chvíli vzpomněla. Pak kůň zamával křídly a vznesl se k oblakům. Chvíli se pásla očima na hornaté řecké krajině a pak už s jistotou Erýnie, bohyně pomsty, která své provinilce najde kdekoliv, zamířila k přístavu.
Zkoumala důkladně přístav ze své závratné výše, ale stále žádnou stopu nenacházela. Slunce už se chýlilo k západu, již se koupalo v mořských vodách a Anička si upřímně zoufala. Vypadalo to, že stopu nadobro ztratila. Povzdychla si, podívala se do zapadajícího slunce a tu v pableskujících vlnách téměř u obzoru zahlédla černou tečku. Nevěděla sice proč, ale neváhala ani vteřinku. Musí to být on. Asi pluje na hřbetech delfínů nebo na nějaké hroznější příšeře mořských hlubin, ale je to jistě on! Vyrazila za ním. Slunce již zapadlo, na oblohu ve svém stříbrném voze vyjela jeho sestra Selené, bohyně měsíce, aby osvěcovala cestu místo něj, ale náskok byl přeci jen příliš veliký. Bude trvat velmi dlouho, než ho Anička na svém oři dohoní. Velice dlouho. Dožene-li ho vůbec.
