Zadání 2. série 23. ročníku
Pikosobota proběhne dne 15. prosince 2007 od 10.00 do 16.00. Sraz je u východu stanice metra Nádraží Holešovice směrem k nádraží Praha-Holešovice (východ bez jezdících schodů).
Termín odeslání: 17. prosince 2007
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
„To ti taky doma musí všechno říkat třikrát?“ Anička mátožně přicházela k sobě. „Ani ne... jen když říkají něco nepříjemného,“ třela si čelo a přemýšlela, co se jí to jen před chvílí zdálo. Docházela k přesvědčení, že tak snadno se z toho tentokrát nevyvlékne -- tohle se žádným probuzením neodbude.
Promnula si oči a posadila se. Zaraženě si uvědomila, že má obě ruce volné. „Tady někdo byl?“ „Jářku, vždyť to celou tu dobu povídám“ „Tady někdo je“ adresovala Anička automaticky do okolního prostoru, pro který to venkoncem nebyla žádná novina. „Tak to každopádně, počínaje tebou. Ale popořádku, nejprve tu někdo byl, kdož tu už není, a spolu s ním...“ „Můj bublifuk“ „Právě jsem se k tomu dostával...“ „Ale co, na ten levnej krám se můžu vykašlat.“ „Jistě, jestli jsi tady spokojena, kašli.“ Anička jemně pohnula hlavou a zbytek obzoru prokroužila očima. „Řekněme, že bych věděla i o lepším place. Takže ty myslíš,“ měřila si Anička čím dál udiveněji postavu před sebou, „že ten bubli -- “ Aničce od samých převratných událostí poslední minuty vyschlo v hrdle. „Máš na mysli, že ta okouzlující věcička, kterou si odnesl ten důstojný pán, byla patrně natolik kouzelná, že tě přinesla nejen sem, ale mohla by to učiniti i směrem opačným? Tak proti tomu nemohu nic namítat.“ Aničce se to příliš nevyjasnilo, ale jedna věc ji najisto zaujala. „Důstojný pán... můj... vzal???“ „Přesně tak, mon amie! Hleďme, ještě je támhle vidět.“ Vteřinu poté, co to dořekl, už Anička vedle něj nestála. Už na dálku viděla, že je to osoba v černém hábitu až po paty, se špičatým kloboukem na hlavě a dlouhým plnovousem. Vzápětí v ní rozpoznala toho podivného staříka, který na obrázku na jejím bublifuku vyfukoval velkou bublinu. Teď měl ten bublifuk v ruce a neváhal se činit -- u úst se mu právě vzdouval pořádný kousek. Rozběhla se za ním. „Tak se ten svět točí, jednou jsi pánem a podruhé kmánem. Ještě před nedlouhým časem by se za tou nádhernou hračkou ani neohlédla a teď za ní běží jako o život.“ Kroutil hlavou Aniččin nový společník -- vysoký, hubený, celý temně zeleně oblečen, s pronikavýma očima, černou čupřinou a malým kloboučkem starodávného tvaru na týle -- zadumaně za ní hledě, a Anička akcelerovala.
Ale nebylo jí to mnoho platné. Stařík mezitím nezahálel vyfoukl svou bublinu do ještě obrovštějších rozměrů a vypustil ji. Z roje dalších malinkých bublin si k obří bublině přidělal koš s lanovím a naskočil do svého nového balónu. Škodolibě se zachichotal a odrazil od země. Než k němu Anička doběhla, vznášel se již vzduchoplavec vysoko nad zemí a foukal bubliny jen tak do povětří. Anička se zaklonila a viděla jejich krásný tanec. Kouzelné bubliny hrály všemi barvami.
Úloha č. 1
Z oblohy se snášelo 13 žlutých, 15 zelených a 17 červených bublin. Když se při své nebeské cestě srazí dvě bubliny různých barev, změní barvu ku potěše oka na tu zbývající (například srazí-li se žlutá se zelenou, obě zčervenají). Bubliny ve vzduchu rozličně víří a může se střetnout jakákoliv s kteroukoliv. Mohlo by se teoreticky stát, že by na zem nakonec dopadly všechny bubliny stejné barvy?
Anička zůstala zírat vzhůru s otevřenou pusou. Což bylo její jediné štěstí, protože když ji opět zavřela, aby pronesla nešťastné: „Ách“ odfoukla přitom jednu bublinu, která se jí právě chystala dosednout na obličej. Takhle se musela spokojit s kouskem země u Aniččiných nohou, na němž vyrobila veliký barevný flek. A i další bubliny zahájily barevné bombardování. Anička rychle vyklidila pozice. „Asi budou očarované, pravda?“ prohlásil zkoumavě cizinec v borově zelené. „Asi ano,“ Anička se právě vyhnula jedné docela hnědé, která v příštím okamžiku proměnila zem v čokoládový pudink. Nebýt jen Anička tak dobře vychovaná, velmi ráda by si teď ze země trošku nabrala, ale hned ji takové myšlenky přešly. Z nebe se začaly sypat luční květy, zrodivší se z bublin prasklých již ve vzduchu. „Kdo ty vlastně jsi?“ napadla Aničku dlouho odkládaná otázka. „Často mi říkají Poeta, ale...“ nedokončil oslovený v kloboučku a plášti, přerušen samou tazatelkou. „To je zajímavé --“ ale v tu chvíli Anička vykřikla a v poslední chvíli si zakryla tvář před poslední padající bublinou. Bublina se roztrhla přímo o její náramkové hodinky. Dosud byly konvenčního kruhového tvaru, když se ale rozptýlily kapénky, odhalily tvary skutečně avantgardního trojúhelníku. Při pohledu na něj jednoho napadaly neuvěřitelné věci...
Úloha č. 2
Je dán trojúhelník ABC a v něm body K, L, M, které jsou po řadě středy stran BC, AC, AB. Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže víte, že |KL|=5 cm, |\angle BKL|=120\deg a bod M leží na ose úhlu BKL.
„Tak to skutečně je. S trojrohými orloji jsem ještě neměl tu čest se setkati,“ prohlásil znalecky Poeta. Když se Anička přesvědčila, že podle jejích nových hodinek je právě čtvrt na úterý a co nevidět budou dvě kostky cukru, ztratila o obskurní orloj zájem a vyrazila tam, kam pomalu odplouval létající balón s jejím bublifukem.
Anička se ukázala houževnatějším honcem, než byste do ní řekli. Dokonce než by do sebe řekla sama. Ale koneckonců, co jiného jí zbývalo. Utíkala za balónem tak urputně, že si ani nevšimla, jak se krajina kolem ní podstatně změnila. Po cestě klopýtala o kaménky velikosti fotbalových míčů, stébla trávy dorůstala rozměrů prvohorních přesliček a místy i zakrývala oblohu. Toho si ale vlastně vůbec všimnout nemohla, upírajíc zrak stále ke vzdálené obloze -- její cíl se začínal ztrácet.
Rozběhla se tedy ještě usilovněji a už už se chtěla i rozkřiknout, když vtom jí najednou zmizela zem pod nohama a ona se s výkřikem hrůzy místo vzteku na rtech řítila plnou parou do chřtánu zákeřné jámy. A nejen jámy. Když konečně zabrzdila na drobivém svahu, zjistila, že se dívá do očí ošklivé chlupaté příšeře s obrovskými kusadly vysoko nad drobnou hlavu. Nečekala ani na mávnutí muších křidélek a už se škrábala zase nahoru -- naječí se v životě ještě dost a dost, jen pro to musí něco udělat. Příšera se zaradovala: „Ehe, ehe, ehe, jídlo přišlo, Ťutínek má hlad“ a svá slova doprovodila hrstí písku, která Aničce zase podrazila nohy. Sunula se pomalu níž a níž vstříc hladově cvakajícím kusadlům, když vtom ji zachytily silné paže shůry -- a převrátily jí svět vzhůru nohama.
„Takže ty jsi Prácička a ty zase Šmikynožka,“ poznávala se Anička se svými zachránci. „No, samozřejmě! Ale mne přece musíš znát! Já jsem přece všude byl, všechno jsem viděl a s každým se znám! Protože, velevážená, já --“ slova byla přerušena táhlým Ťutínkovým zavytím a brouk Pytlík se raději pojistil ladným skokem za stéblo trávy. Tak měli ostatní mravenci, kteří se nic nebáli, protože věděli, že již došli dost daleko od hladové mravkolví larvy, příležitost představit i posledního druha: „A tamhle vzadu jde mravenec Mudrlant. Ale dnes je zase nějaký zadumaný, budeme ho muset zavést na ošetřovnu.“ Mudrlant se šoural tři kroky za ostatními a každou chvíli o něco zakopl a narazil si nos. Ale pokaždé se s výsknutím zase postavil na nohy a radostněji vykročil.
Úloha č. 3
Mudrlant řeší příklad. Slyšel dnes číslo 54 806 372 a pokouší se v něm prohodit dvě číslice tak, aby číslo bylo dělitelné osmi. Pokaždé, když upadne, podaří se mu vymyslet nové řešení. Kolikrát musí Mudrlant upadnout, aby přišel na všechna možná řešení?
Cesta příjemně ubíhala. A i kdyby si nepopovídali s cvrčkem a nezamávali několika šídlům, byl by to stejně nejpříjemnější den, na který si Anička pamatovala, jako každý den, kdy o vlásek uniknete velkým nepříjemnostem. I ti mravenci byli mnohem zajímavější, než si při čtení jejich příhod připouštěla. Teď například se každou chvíli skláněli k zemi, vzrušeně si ukazovali na neviditelná znamení a zrychlovali krok. Za malou chvíli došli až na místo s uleželou travou a pohozeným ohromným ubrouskem. Nelenili, vyšplhali se na něj a uviděli nepředstavitelnou hostinu. Celý ubrousek byl posázen drobty ze svačiny nějakého výletníka a uprostřed všeho trůnily dvě zářivé kostky cukru. „Ale, ale, ale! Copak to tu máme?“ světácky zarámusil Pytlík. „Ale Pytlíku, pro tohle jsme sem přeci celou cestu šli...“ „No, pochopitelně. Aby brouk Pytlík něco nevěděl! To byste mě málo znali, milánkovééé“ Hulákání se vzdalovalo spolu s broukem, který se rozskákal po ubrousku jako po trampolíně směrem k mravenčímu pokladu.
Nejprve se pustili do cukru. Nejraději by si kostku hodili na záda a vyrazili, veliká váha by je ale nenechala daleko dojít. Mravenci proto hbitě kostku rozřezali na menší kousky.
Úloha č. 4
Na každé hraně krychle si mravenci určili dva body. Žádné čtyři body, které neleží ve stejné stěně krychle, neleží v jedné rovině. Kolik existuje různých čtyřstěnů, které mají vrcholy v těchto bodech?
Každý si naložil na hřbet po pěkné porci cukru a vyrazili zpět. Mravenci si libovali, jaký to dostali od stopařů dobrý tip. Z takové hostiny nakrmí všechny červíčky v mraveništi cukrovou vatou a ještě trochu zbude na polevu. Zásoby jsou pro mravence klíčové, a tak se s nimi musí naučit dobře hospodařit.
Úloha č. 5
Když mravenci donesou do mraveniště borůvku, nají se pohodlně 15 mravenců. Z jedné jahody se nají 20 mravenců, a uloví-li mravenci housenku, mají jídla pro 30 mravenců. V zásobárně měli celkem 50 těchto pochutin a nakrmili 920 mravenců. Přitom počet housenek ku počtu jahod v zásobárně byl v poměru 3:8. Kolik měli mravenci kterých pokrmů v zásobárně před hostinou?
Přibližující se mraveniště ohlásil rychle rostoucí rámus. Pak začali míjet další mravence spěchající všemi směry. A pak se konečně vynořilo ve vysoké trávě. Veliké, majestátně klenuté, pulzující životem. Tyčilo se před Aničkou do takové výše, že si úplně přestala dávat pozor na to, jak se tváří, takže by bývala mohla nachytat do úst pěkných pár much, kdyby nyní nedosahovaly navlas stejných rozměrů jako ona.
Hned si všimla, že okolí mraveniště je vybaveno přesně tak, jak mravenci popisovali. Vlastně by se zde v tu chvíli mohla uspořádat skromná olympiáda: byla tu doskočiště, odhodiště, běžiště i pískaliště, odkud se mravenci chodili dívat na výkony svých kamarádů. Také zde bylo docela obyčejné hřiště kopané, kde si právě čutalo několik hráčů. Jakmile brouk Pytlík uviděl ten zřejmý amatérismus, žádná síla už ho neudržela na místě. Zahodil svůj náklad, rozběhl se na hřiště a volal: „Ale pánové, to jste nikdy neviděli hrát futból? Místo pro Pytlíka! A studujte ten styl! Rovnou mě zapiště na Index imaginárních idolů futbólu“ A ještě křičel, když nakopl vší silou míč a jeho projev se ztratil v tirádě skočných „Jauvajs“. Míč se nenechal dvakrát pobízet, přeletěl hřiště a odrazil se od mantinelu. A pak ještě a ještě a ještě, až přistál zrovna tam, odkud ho Pytlík vykopl a podrazil mu zbývající nohu, na které poskakoval kolem svého karambolu.
Úloha č. 6
Hřiště mělo šířku dvou stébel a délku tří stébel. Míč vyletěl přímo ze středu hřiště, odrazil se jednou od každého okraje a vrátil se opět do středu. Jakou dráhu míč urazil? Poznámka: Uvažujte, že se míč od stěn odráží klasickým způsobem, tj. úhel dopadu je roven úhlu odrazu.
Aniččiny oči se už ze zvyku obrátily v sloup a tam se na dlouhou chvíli zastavily. Byl to on! Na obloze se pohupoval balón toho zlolajníka! A vítr ho nesl přímo k mraveništi. Musela rovnou nahoru, až na samý vrchol stavby, bezmála babylonských rozměrů, tam by ho mohla dostihnout. Mravenec Šmikynožka se uvolil ji tam doprovodit. Vběhli do mraveniště nejbližšími dvířky a pohltilo je lezavé příšeří. Z celé anabáze dřevěným labyrintem si Anička mnoho nepamatovala, protože cesty všechny vypadaly víceméně stejně. Jediná zajímavá místa byly křižovatky mravenčích chodbiček, dokazující mravenčí jemnocit.
Úloha č. 7
V každém takovém místě se sbíhalo rovnou dvanáct chodeb. Všechny ústily do jedné prostory pětiúhelníkovým vchodem, takže dohromady tvořily pravidelný dvanáctistěn. Každý vchod vroubilo pět trámků, které vchod pochopitelně sdílel i s vchody sousedícími. Hrany tohoto pravidelného dvanáctistěnu byly vybudovány z pěti trámků. Jednotlivé trámky byly vlastně jehlice z pěti druhů stromů v okolí. Vchod do každé chodby byl rouben trámky všech druhů. Najděte příklad takové konstrukce. Jinými slovy navrhněte dvanáctistěn, jehož hrany jsou z jehličí pěti druhů, přičemž v každé stěně jsou obsaženy všechny druhy jehličí.
Konečně se dostali nahoru. Byl odtud závratný rozhled. Obrovská stébla odtud vypadala jako vlnky zeleného oceánu s černými rybkami pobíhajících mravenců. Už se skoro nechávala unášet na loďkách květů po oceánu pryč s fantazií v plachtách, ale tu jí očima smýkla dlouhá temná čára napříč krajinou rovná, jako když střelí. Vlastně to vypadalo jako dlouhá štěrbina, dotýkající se téměř mraveniště a mizící na druhé straně opět daleko k obzoru. Nemohla tomu stále přijít na kloub, co to jen...? Celá krajina působila jako v jedné linii posunutá o kousek nahoru, jako... jako dva listy papíru... jako její prostřižená knížka! Způsobila to přece sama, když v nepořádku na stole vystřihovala Klárčino písmeno! Polila ji hrůza. Jakým zasakrováním to tehdy odbyla a tady mohla přestřihnout třeba nebohého broučka! Ale šikovní mravenci se s pohromou bystře vyrovnali -- nastavěli přes puklinu lávky z jehličí a navázali travěné mosty.
Celá červená raději rychle zapátrala po obloze. Pán ve špičatém klobouce byl stále moc vysoko a svižně proplouval nad její hlavou kamsi do dáli. Bylo to k ničemu. A ještě se ten podivín vyklonil z balónu a něco ukazoval. Z veliké dálky dolehlo k Aniččinu sluchu pouze: „Ele, ele, ele! Ady em! A ne-ů-u olů“
Chtěla rychle seběhnout dolů a dát se zase do pronásledování, ale Šmikynožka ji chytil za rameno. „Toho už nedohoníš. Než bys doběhla na konec louky, bude už v další kapitole.“ A měl pravdu, ale v Aničce jeho slova zasela nápad.
Pohled do pukliny vůbec nevypadal povzbudivě. „Tak šup, takhle toho tatrmana ani neuvidíme,“ pobízel ji Poeta, který tam na ni už čekal. Najednou ta myšlenka Aničce vůbec nepřipadala tak zajímavá. Co když na druhé straně není další příběh? Co když ten střih vůbec nevede na druhou stranu? Co když -- „A nemohl by jít Šmikynožka se mnou?“ „Nemohl,“ odtušil Poeta, „na další straně už jeho příběh nepokračuje, musí zůstat tady. Nemůže přece ze svého příběhu pryč.“
Co dělat, nebude přece fňukat. Já ti dám „Ele, ele, ele“, pomyslela si ještě Anička a vklouzla do štěrbiny.
