Zadání 6. série 22. ročníku
Termín odeslání: 14. května 2007
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Matěj toho moc nenaspal. Vzbudil se s prvním slunečním paprskem někdy mezi pátou a šestou hodinou. Rozdělal oheň a postavil vodu na čaj. Zachumlaný do spacáku sáhl po knize ze starých hodin a začal číst, doufaje, že najde alespoň nějaké odpovědi.
Nastal čas, rozmilý příteli, bych tobě cestu k odkazu svému ukázal, stálo zde psáno letitým rukopisem. Matěj zatajil dech. Ani nevnímal, že Magdalenka před chvilkou pomalu vstala, vyndala z batohu papíry, pastelky a nůžky a cosi stříhá a kreslí. S obtížemi luštil další text.
Jest v hradě Lindenburgském na desítky chodeb podzemních. Vstup do komnaty zvoucí labyrint střeží bratranec pána z Lindenburgu... Magdalenka mezitím šťastně zvedla nad hlavu své dílo a jala se budit Péťu, aby mu mohla svůj výtvor darovat.
„Vstávej! Rohlíčky jsou dnes obzvláště vypečené! Sluníčko dávno vylezlo nad obzor! Nespi v kuse, odpočiň si. Slušný člověk do devíti nespí.“
Když se Magdě pomocí mnoha podobných výroků konečně podařilo donutit Péťu otevřít oči, řekla: „Všechno nejlepší,“ a předala bratrovi papírový pravidelný osmistěn vyzdobený barevnými obrázky.
Petr byl překvapený. Jednak proto, že se právě probudil, jednak proto, že úplně zapomněl, že má dnes narozeniny, a skutečnost, že se mu Magdalenka snažila nahradit čtyřstěn, který mu zabavil kapucín, měla na Petrově údivu také svůj podíl.
„Děkuju,“ dostal ze sebe nakonec.
Úloha č. 1
Se zájmem si novou hračku prohlížel a protože byl ještě zasněný, začal si v duchu představovat těleso, které vznikne spojením středů sousedních stěn pravidelného osmistěnu. Jaký je poměr objemu osmistěnu a takto nově vzniklého tělesa?
Zatímco se Petr kochal dárkem, Magda namazala chleby a Matěj odložil knihu. Rozhodl se, že vytáhne za spacáku Gilla. Oliver s Montym zvládli vstát sami, neboť je vylákala vůně zeleného čaje.
Před sedmou už bylo tábořiště sbaleno a naše skupinka se ubírala směrem ke hradu. Kastelán vítal příchozí s úsměvem pobafávaje ze své fajfky: „Tak časně? Nevěřím svým očím“
Fajfku vzal do levé ruky, aby se mohl napít kávy, kterou držel v pravé, a poslouchal Péťu, který vysvětloval, že by Lindenburg rádi ukázali mladší sestře, než se dnes pustí do práce. Pokud tedy pan Málek nebude proti. Magdalenka udělala pukrle, ale i kdyby ho neudělala, kastelán by nic nenamítal.
„Jen se tu, slečno, pěkně porozhlédněte a potom přijďte všichni na svačinu, budu vám vyprávět o včerejším sladkém konfliktu.“ Přivřel oči a vychutnával chuť tabáku.
Magdalenka ho zvědavě pozorovala, ještě nikdy totiž neviděla nikoho kouřit fajfku.
Petr ji chytl za ruku, aby se vzpamatovala. „Spěcháme“ zašeptal, že to slyšela jen ona, a zmizeli za ostatními v mučírně.
Správně si pamatovali, že právě zde visí obraz pánova bratrance, jenž založil vinohrad v argentinském Potru Melenudu. Monty s Oliverem opatrně sejmuli obraz ze zdi a odkryli dveře za ním. Matěj se jich nedočkavě dotkl a ony se otevřely. Kluci vyndali baterky a vstoupili i s Magdou do úzkého temného koridoru. Po dvou stech metrech se chodba rozšiřovala. Ocitli se v místnosti, ze které vedlo několik dveří. Na každých bylo napsáno křídou pěticiferné číslo.
Úloha č. 2
Matěj sáhl po knize, aby si osvěžil údaje o tom, kudy postupovat k labyrintu. Správná cesta prostírá se za dveřmi, jež označeny numerem s vlastností následující jsou: Každá číslice jest větší než součet číslic napravo od ní, četl nahlas. Najděte všechna pěticiferná čísla s touto vlastností.
Oliver kontroloval čísla na dveřích jedno po druhém. Správné dveře byly, jako obvykle, až ty poslední. Se zaskřípěním je otevřel a pokračovali chodbou dál až do prostorné čtvercové místnosti, jež podle instrukcí v knize měla být oním labyrintem.
Úloha č. 3
Labyrint však vůbec nebylo bludiště, jak by se z názvu dalo usuzovat. Uprostřed dlážděné místnosti byla nakreslena čtvercová síť 4\times4 a v jejích mřížových bodech byly umístěny barokní sochy baculatých andělíčků. A to tak, že žádní tři andělé netvořili přímku. Kolik nejvíce mohlo být ve čtvercové síti umístěno andělů?
Poznámka: Čtvercová síť je znázorněna na obrázku, mřížových bodů je celkem 25.
Kluci sochy chvíli zaraženě pozorovali. Čekali by prakticky cokoli, ale tohle?! Magdalenka zaskočena nebyla. Poznala téměř okamžitě Světlonoše i Gabriela. Ukazovala na jednotlivé anděly a nahlas říkala jejich jména. Petr žasl. A nebyl sám.
Úloha č. 4
Matěj opět zalovil v knize. Body, kde stojí Gabriel a Lucifer, tvoří jednu ze stran trojúhelníku a jsou od sebe na čtyři metry daleko. Opisuješ-li kružnici tomuto trojúhelníku, má tato průměr tři metry. Na spojnici Lucifera a Gabriela je v zemi vryp iniciál PM, totiž takový, že Gabriel stojí přesně veprostřed mezi Luciferem a vrypem. Úhel vzniklý spojením iniciál PM, třetího vrcholu trojúhelníku a místa, kde stojí Lucifer, jest pravý. Trojka, magické číslo, věru.
„Co tímhle chce říct?“ nechápal Gill. „Já bych hledal ten třetí vrchol trojúhelníku,“ navrhl Oliver a hned se do toho pustil.
Ve vhodném měřítku narýsujte celou situaci a najděte třetí vrchol trojúhelníku.
„Tady“ ukázal Oliver vítězoslavně na zem v místě, kde se podle jeho výpočtů a asi desetiminutového měření a pobíhání nacházel třetí vrchol trojúhelníku. Dlaždice, na kterou Oliver ukazoval, vypadala docela stejně jako všechny ostatní. Aspoň na prvních deset pohledů. Ale stačilo zatížit její levý dolní roh a dlaždice se pootočila kolem úhlopříčky spojující její horní levý a dolní pravý roh. Netrvalo dlouho, než to Monty zjistil. V prostoru pod dlaždicí nahmatal velký stříbrný klíč. Tázavě se podíval na Matěje.
„Kdepak,“ řekl Matěj, „právě jsme skončili.“ A podložil svá slova otevřenou knihou, která končila větou Trojka, magické číslo, věru. Další strany z nějakého důvodu už autor nepopsal.
„Připomíná mi to Ecovu knížku Jméno růže,“ hlesla Magda, která odmalička měla ráda záhady a strašidelné mrazení v zádech.
„To je teda dobrý,“ otráveně řekl Gill, neboť jeho zvědavost překročila právě únosnou míru a prázdné stránky byly ránou pod pás.
„Ale no tak, každá pohádka jednou skončí,“ utěšoval ho Monty.
„Třeba ještě něco objevíme,“ zadoufal Oliver.
„A co ty ostatní dveře?“ navrhla Magdalenka.
Oliver se na několik vteřin zamyslel a zvolal: „No jasně! Ještě, že tě máme s sebou!!“ Dal Magdě pusu na čelo a rozběhl se zpátky. Ostatní ho zaraženě, ale přece jen kvapně, následovali. Nechápavé pohledy, co si mezi sebou vyměňovali, zmizely v okamžiku, když se podívali na číslo dveří, před kterými na ně hrdě čekal Oliver. Bílou křídou sem kdosi napsal 33 333. Monty odemkl, šlo to lehce. Za dveřmi byla obrovská pavučina.
„Uííííííííík, áááhk,“ zaječela Magda, když si všimla obrovského pavouka.
Úloha č. 5
Pavouci v síti ale byli dva. Dva stejně oškliví, stejně velcí, stejně chlupatí, stejně hladoví a taky stejně rychlí. Dále se v síti též zoufale zmítala moucha, která právě odněkud přilétla a nevšimla si pasti. Jaká vzdálenost dělí každého z pavouků od mouchy, jestliže pavouci jsou od sebe vzdáleni 1 m, přímá dráha prvního pavouka k mouše svírá se spojnicí pavouků úhel 60\deg a přímá dráha druhého pavouka 45\deg? Vyřešte úlohu bez použití goniometrických funkcí.
Všichni tiše sledovali závod pavouků a jejich souboj o potravu. Magdalenka se radši otočila, protože jí osminozí bezobratlí naháněli strach, ba i husí kůži. Gilla podívaná přestala bavit a ukazovákem přejel celý obrys gotického oblouku. Pavučina i se zápasníky se nehlučně sesula k zemi. Kluci, a nakonec i Magda, ji odvážně překročili.
Ocitli se v tmavé místnosti. V rohu byl veliký stůl se svícnem a u zdi po celé délce stály police. A v těch policích...
Matěj s baterkou došel až ke stolu, kde ležel jakýsi pergamen. Četl:
Děkuji tobě, příteli, nyní už mohu klidně spočinouti, neb vím, že odměnu, již mi hradní pán zanechati ráčil, nezpeněžíš k vlastnímu obohacení, ale k věcem dobrým a ušlechtilým využiješ. Potro Melenudo svým názvem značí hříbě s dlouhou hřívou, věru mnoho jich se v časech Indiánů prohánělo kol toho města, kteréž bys v Argentině dnes už marně hledal. Jedinou vzpomínkou je snad má unikátní kolekce dobrého vína, kterouž vkládám do tvých rukou. Užij ji dobře. Sbohem, můj příteli.
„Podpis chybí,“ smutně dodal Matěj.
„Co s tím budeme dělat?“ kroutil hlavou Monty.
Oliver zatím už prohlížel jednotlivé police. „Tak to máme červené pozdní, růžové a bílé víno,“ oznámil ostatním.
Úloha č. 6
„Kolik tak dneska stojí lahev bílého?“ zajímal se Gill.
„Když maminka kupovala lahev růžového, tři lahve bílého a dvě červeného vína na oslavu dědových narozenin, platila 1240 Kč. A když slavila narozeniny teta o týden později, koupili jsme tři lahve růžového, čtyři bílého a šest lahví červeného vína, což stálo 3120 Kč.“
„Tolik??! Co s tím děláte,“ zeptal se Péti udivený Matěj.
„Většinou se sejde celá rodina ze všech koutů Moravy, bez vína se to neobejde,“ smál se Péťa, „máme své osvědčené značky a jiné už ani nekupujem.“
Zodpovězte Gillovu otázku.
„To bychom měli,“ řekl spokojeně Gill, „teď by mi přišla vhod ta slíbená svačina.“ Kluci dveře do komnaty s číslem 33 333 zase pečlivě zamkli a opustili podzemí. Málkovi už měli prostřeno a na stole čekala bílá káva i čaj.
Kastelán Málek pobaveně vyprávěl o svém rozhovoru s panem Cukříkem. Všiml si, že kluci, jindy tak zaujatí jeho historkami, jsou nesoustředění a roztěkaní, ačkoli se jim snaží vysvětlit, že celou příhodu s ukradenou krabicí se mu podařilo zažehnat a souseda Cukříka zklidnit.
„Pánové, nechcete mi něco říct?“ zeptal se a očima přejížděl obličeje kluků jeden po druhém.
Gill se nadechl, pohlédl zkoumavě na Montyho, který jen malinko kývl hlavou, a pomalu spustil: „Začalo to všechno tady na hradě, objevili jsme starou knihu...“
Kastelán nyní na rozdíl od kluků poslouchal velmi bedlivě a napjatě. I jeho žena přestala umývat nádobí, protože Gillovo vyprávění upoutalo celou její pozornost.
„Sklep plný unikátního vína, říkáte?“ zeptal se Málek, když Gill skončil. Kluci netrpělivě přikyvovali. „To může mít obrovskou cenu, anebo... taky vůbec žádnou. Už se nedivím, že pan Cukřík věnoval svému pátrání tolik energie a času. A co s tím odkazem máte v plánu?“
Kluci mlčky přemýšleli, ticho přerušila až Magda: „Asi do toho nemám co mluvit, ale myslím, že by zisk z prodaných lahví mohl jít právě na rekonstrukci Lindenburgu, ještě je tu třeba spravit dost věcí.“
Pan Málek byl překvapen velkorysostí myšlenky třináctileté dívky. Kluci nadšeně souhlasili.
„Já jsem pro, když nás tu necháte pořádat naše šermířská vystoupení i nadále,“ smál se Monty.
„Velmi rád,“ odvětil pan Málek.
Petr se slovy „To chce přípitek“ vytáhl z batohu láhev Potra Melenuda z Dolního lomu. Paní Málková donesla skleničky. „Červené tedy nemá chybu,“ řekl po prvním opatrném doušku Oliver, „jestli je růžové a bílé stejně dobré...“ větu však nedokončil.
Kastelán zacinkal lžičkou o skleničku. „Přátelé, děkuji Petrovi, že vás sem přivedl. Jsem opravdu rád, že jsme léto mohli trávit společně.“
Z kapsy vytáhl obálku, kterou předal Montymu, a pokračoval: „Tady je vaše odměna za práci na hradě. A teď si dopřejeme malé sladké finále“
Úloha č. 7
Magda obdržela čokoládu a každý z kluků sáček bonbónů, každý ten druh, který měl nejraději; těžko říct, jak pan Málek tuto informaci získal.
Bonbóny byly čtyř druhů: Peprmint, Gumídci, dvoje Kyseláčky a Jahodová vlna. Sáčky měly čtyři různé barvy, kluci dostali žlutý, fialový, červený, zelený a ještě jeden červený. Jakou příchuť má rád Oliver, jestliže jeho sáček má fialovou barvu? Víte, že:
- Balíček, ve kterém je nejvíce bonbónů, není žlutý.
- Ani jeden balíček Kyseláčků není červený.
- Počet Kyseláčků v nějakém sáčku a bonbónů Jahodová vlna se liší o dva.
- Sáček bonbónů Jahodová vlna je červený.
- Sáček peprmintových bonbónů není fialový.
- Kyseláčků v nějakém sáčku je víc než peprmintových bonbónů.
- Kyseláčků v nějakém sáčku je méně než peprmintových bonbónů.
- Počet jahodových bonbónů je přesně mezi počtem Kyseláčků v nějakém sáčku a počtem peprmintových bonbónů.
- Balíček s 17 bonbóny není zelený.
- Bonbónů v červeném sáčku je nejméně.
- Počty bonbónů v jednotlivých sáčcích jsou 13, 13, 15, 17 a 20.
Všichni se zvedli od stolu a kastelán zavedl kluky do ložnice hradního pána, kde bylo potřeba nabrousit a naleštit parkety. Pustili se do toho a jenom Magdalenka se otočila a uviděla, kterak kapucín podává kastelánovi ruku. Krátce si potřásli pravicemi a pak oba odešli, každý na jinou stranu. Promnula si oči.
Asi se jí to jen zdálo...
