Zadání 5. série 22. ročníku
Termín odeslání: 10. dubna 2007
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
V půl čtvrté konečně Petr spatřil místo, které znal. Stáli s Magdalenkou na vrcholku Brusinkové skály. Ulevilo se mu, ale nedal na sobě nic znát a začal sestře ukazovat významná místa v krajině. Chvilku odpočívali. Petr si hrál se čtyřstěnem, který od Magdy dostal, a Magda s obrovským nadšením trhala brusinky a borůvky. Připomínaly jí korálky. Neméně ji očarovala jejich sladká i kyselá chuť.
Úloha č. 1
Při bedlivějším zkoumání si Magdalenka všimla, že kuličky brusinek a borůvek někdo očísloval, jako by chtěl mít jistotu, že mu je nikdo neukradne.
Jednička byla na borůvce, dvojka na brusince, trojka na borůvce, čtyřka a pětka na brusinkách, šestka na borůvce, sedmička, osmička a devítka na brusinkách, desítka na borůvce, jedenáctka, dvanáctka, třináctka i čtrnáctka na brusinkách. Číslo patnáct bylo zase na borůvce a znovu následoval brusinkový úsek o jednu brusinku delší než předchozí brusinkový úsek ukončený jednou borůvkou a tak pořád dál.
Šňůra kuliček červené a modré barvy nikde nekončila. Magdalenka se zaujetím hledala další a další čísla a přemýšlela, proč si někdo dal tolik práce.
Může existovat nekonečná aritmetická posloupnost čísel, která jsou zapsána výhradně na borůvkách? Poznámka: Aritmetická posloupnost (její členy označíme a_{n}, pro číslo n přirozené), je taková posloupnost, pro kterou platí, že rozdíl libovolných dvou po sobě jdoucích členů je stejný, tj. platí a_{n+1}=a_{n}+d, kde d je zmíněný rozdíl. Aritmetickou posloupnost lze také zapsat ve tvaru a_{n+1}=a_{1}+nd (a_{1} je první člen posloupnosti).
Když Magdalenka došla až k borůvce číslo 2016, uviděla bílou fixu, kterak vypisuje další a další čísla na další a další brusinky a borůvky. Fixu držela ruka vykukující z dlouhého hnědého rukávu jakéhosi starého hábitu přepásaného lýkovým provazem. Hábit měl kapuci a koukala z něj hlava vousatého staříka, jenž na Magdu spiklenecky zamrkal, ukázal na pařez na mýtince a dál pokračoval ve zběsilém číslování lesních plodů. Magdalenka došla k pařezu. Opodál ležela prastará kniha. Kdyby si jí všiml i Péťa, poznal by v ní knihu, kterou objevil před několika dny Matěj v bílých hodinách...
Úloha č. 2
Kniha byla otevřená. Magdě chvilku trvalo, než si zvykla na legrační ozdobný rukopis a vybledlý inkoust. Stálo zde:
Muy bueno, příteli můj, neznáš míry, jakouž mé srdce plesá, žes až tohoto bodu dosíci dokázal. Nicméně po znovu zkoušeti tebe musím.
Nuže, míval pán z Lindenburgu psisko. Němá ta tvář útěchu přinášela mu v trudných dnech, pročež pán často psisko vymalovati dával.
Avšak běda. Při posledním požáru nejenže moudré zvíře skonalo, ba i veškerá díla ho zobrazující popelem lehla. Plynuly věky a podobu věrného přítele pánova pamatoval výhradně mnich.
Pět otázek týkajících se psí podoby zodpověděti přislíbil, leč jen pokynutím hlavy v souhlas či odmítavým gestem.
Opatrn buď příteli, neboť mnich ten, oblíbil si žertovati, a každá jeho čtvrtá odpověď jest mrzkou lží. Byl bych ti vděčen, kdybys psa vzorně vyobrazil...
„Vzorně vyobrazit, což o to...“ říkala si Magdalenka. Ale hlavně potřebuju vědět tři věci:
Byl pes malý, nebo velký? Byl chundelatý, nebo měl krátkou srst? A byl bílý, nebo hnědý? S takovými myšlenkami přistoupila Magda k postavě číslující borůvky. Jak byste na Magdalenčině místě zjistili všechny tři vlastnosti psa a určili, kdy mnich lhal?
Poznámka: Nezapomeňte, že smíte položit maximálně pět otázek a že mnich na vaše otázky odpovídá jen ano, či ne. Řečený pes má právě jednu z každé dvojice uvedených vlastností. Pozor! Pamatujte na to, že nevíte, jestli bude mnich lhát při odpovědi na první a pátou otázku, nebo jen při odpovědi na druhou, nebo jen na třetí, či jen na čtvrtou otázku. Na to vše musí pamatovat vámi navržený postup.
Magdalenka vyndala z batohu pastelky a začala kreslit, což upoutalo Petrovu pozornost. Teprve nyní se přestal bavit čtyřstěnem a zaregistroval přítomnost -- kapucína!
Překvapeně se zvedl a udělal pár kroků k postavě v kápi. Kapucín zvedl hlavu od brusinek a pohledem spočinul na čtyřstěnu, který držel v ruce. Pomalu k Petrovi došel, vzal čtyřstěn z jeho ruky a schoval ho za záda. Petr byl tak zaskočený, že se nezmohl ani na slovo, natož na obranné gesto.
Úloha č. 3
Kapucín se zamračil, jako když přemýšlí anebo se pekelně soustředí, a poté vítězně ukázal prázdné dlaně. Sáhl do kapsy svého hábitu a vyndal z něj plátěný ušmudlaný váček, který ohromenému Petrovi podal. Petr váček otevřel a k nohám se mu vysypalo několik stejně velkých papírových útvarů tvaru, který vidíte na obrázku. Petr se chtěl mnicha zeptat, co to má znamenat, ale když oči upřel na místo, kde ještě před chvílí kapucín stál, postavu už nezahlédl.
„Jak z tohohle mám složit svůj čtyřstěn?“ pomyslel si.
Kolik útvarů Petr potřebuje ke složení pravidelného čtyřstěnu?
Poznámka: Trojúhelníky BCF a ADE jsou rovnostranné, čtyřúhelník ABCD má všechny strany stejně dlouhé a dva jeho vnitřní úhly jsou pravé. Délka hrany EF je dvojnásobkem délky hrany AB. Pro lepší představu ještě připojujeme síť tohoto tělesa.
Petr byl znatelně nervózní. Vzal Magdě batoh a překvapeně se díval na knihu, kterou držela v ruce, ale na nic se nezeptal. Spěchali. Tytyp, zazvonil Péťův telefon.
„Ahoj,“ řekl vesele Oliverův hlas, „už o vás máme strach, kde se touláte? My jsme byli nuceni narychlo sbalit tábor, protože milý Cukříček zuří a běsní, nejraději by nás předal inkvizici, jsa rozčilen tak, že zapomněl, že tato instituce je už dávno hlubokou minulostí, a proto doporučuji, abyste přišli k Dolnímu lomu, tam nás hledat nebude,“ a než Petr stačil cokoli vykoktat, volající zavěsil.
Sourozenci nabrali správný směr a za chvilku byli opět všichni pohromadě. Nejvyšší čas na večeři a velkou poradu. Problém byl jen s Gillem, neboť se ponořil do nového typu křížovky v novinách a ne a ne ji vyřešit. A co hůř: ne a ne ji odložit. Podobná situace, jako když mu dáte do ruky kytaru... vždyť odmítal i jídlo!
Úloha č. 4
Zadání bylo následující: Doplňte do každého políčka čtverce 3\times3 jedno z čísel 1 až 9 tak, aby čísla u jednotlivých sloupců a řádků vyjadřovala součin čísel v příslušném řádku, respektive sloupci. Každé číslo smíte použít právě jednou. Zkuste Gillovo zápolení se čtvercem urychlit a vyřešte úlohu za něj.
„Potkali jsme kapucína,“ začal naléhavým tónem Petr.
„Čísloval borůvky,“ skočila mu do řeči Magda,
„a taky měl knihu“ vzal si slovo zpět Petr.
Po čtvrthodině vzájemného přerušování sourozenci jakžtakž vylíčili vše podstatné a kluci si poskládali chaotický obrázek jejich odpoledne a mohli také sami vypravovat o páně Cukříkově polední invazi. Monty pak všechno shrnul:
„Je jasné, že Cukřík pátrá a tápe ve stejné záhadě, kterou řešíme my. A to již nejméně deset let. Vyzná se v dějinách líp než my, vyvolává dvorního matematika, ale stejně se kniha dostala do rukou nám, ne jemu. Skoro mi připadá, že někdo nechce, aby došel svého cíle. Jenže co je vlastně ten cíl?“
„Poklad přece,“ prohodil Matěj, „to je jasné; jen nevím, jak se o něm bez naší knihy dozvěděl.“
„To mě netrápí,“ posunul si kšiltovku více do čela Oliver, „ale jak jste si mohli všimnout, panstvo a mladá dámo, hoří nám tu půda pod nohama. Myslím, že by bylo nejlíp, urychleně tu záhadu vyřešit, však na hradě už je téměř všechno hotovo, prázdniny jsou za polovinou a odpověď zná jistojistě kniha nebo kapucín. Doufám.“
„Nechme to na zítra,“ zívl Gill, „zahraju vám svoji oblíbenou a půjdem spát.“
„Ne, ne, ne! Jen to ne, prosím“ spustil uplakaným hlasem Matěj.
„To první byl dobrý nápad, ale to druhé nech plavat,“ podpořil Matěje Oliver, hledaje kartáček na zuby. Avšak pozdě, Gill už (ú)pěl:
„... král tě nezná a tobě jen zezadu znám je on...“ ale nedozpíval.
Monty ho praštil po hlavě sbírkou příkladů z geometrie a zajistil si tak ticho pro ničím nerušenou přípravu na zářijový termín i klidný spánek ostatních.
„Přečteš mi pohádku?“ poprosila Magda Matěje a vtiskla mu do ruky Haló, Jácíčku! od Daisy Mrázkové. Matěj začal potichu číst a neposlouchala ho jen Magdalenka, ačkoli by to kluci asi nepřiznali. Jen Monty s baterkou zápolil se třemi příklady:
Úloha č. 5
Text prvního příkladu v oddílu Triviální rozcvička hlásal: Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže |AB|=4 cm, |BC|=6,5 cm a těžnice na stranu BC je zároveň i výška v trojúhelníku ABC. Určete poměr |AO|:|AS_{a}|, kde S_{a} je střed strany BC a O je průsečík výšek trojúhelníku ABC. Umíte vyřešit Montyho příklad?
„Triviální, triviální, to jsem zvědav, kdy se budu učit něco, co není triviální,“ brblal Monty a potil se, chtělo se mu spát, ale pokračoval v kresbě náčrtku a netušil, jak brzy ho čeká příklad další. Tentokrát vybral raději další oddíl s názvem Elementární prostocviky :
Úloha č. 6
Kolik existuje různých kvádrů s celočíselnými délkami hran (v centimetrech) takových, že nejdelší hrana měří nejvýše 10 cm? Kolik z nich jsou zároveň krychle? Poznámka: Různé znamená, že nejsou shodné.
Autor sbírky je tak trochu sadista a vtipálek, uvědomil si Monty, když začal řešit příklad ze třetího oddílu nazvaného Úlohy zcela zřejmé :
Úloha č. 7
Máme rovnoramenný trojúhelník PES s pravým úhlem při vrcholu S. Průsečík osy úhlu SPE se stranou SE označme X. Rozhodněte, zda |PS|+|SX| je delší nebo kratší než |PE|. Své tvrzení zdůvodněte.
Monty s úlevou zhasl a tvrdě usnul, zdálo se mu o psovi a Lindenburgu a hříbatech s dlouhou hřívou, o brusinkách, o Cukříkovi valícím se z Brusinkové skály, o kapucínovi, co pije víno s nápisem Potro Melenudo, a děkanovi fakulty, kterak zpívá:
„A jestli si snad můžu něco přát, tak ať na mým pohřbu prší...“
