Zadání 3. série 22. ročníku
Termín odeslání: 15. ledna 2007
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Už kolem deváté ráno zahlédl pan Cukřík odcházet kluky do lesa. Věděl od kastelána, že mají ve čtvrtek volno, a protože sám měl volno skoro pořád (stačilo na dveře knihovny dát cedulku přijdu hned a zamknout), neváhal je nenápadně sledovat. Už po třetím kilometru toho však litoval, cesta vedla do kopce, úhel stoupání raději neodhadoval, ale vybavil si při tom nejhorší cestu svého života z Brna do Útěchova, kam byl v mládí jednou nucen pěšky doprovázet svou ženu. Soptil a funěl a kapky potu stékající z čela už ani mohutné obočí páně Cukříkovo nestačilo zadržet, ba i kapesník, který třímal v pravé ruce a používal k otírání, se marně snažil frekvencí stěračů v lijáku absorbovat zurčící slaný potok na čele pana Cukříka. Navíc si nakopl palec o křemen, který mu zkřížil dráhu: „Vy uličníci, darebáci,“ sotva popadal dech a hrozil pěstí, „však já si na vás posvítím“ a vydával zvuky skoro jako zlomyslný kocour v zahradě pana Trnky. Po jedenácté hodině dorazili kluci na vrchol Brusinkové skály. Podle instrukcí v knize bezpečně našli starý strom s dutinou, z níž vytáhli plechovou krabičku. Monty s ní vítězně zachrastil: „Sázky na to, co je uvnitř?“
„Nezdržuj,“ sebral mu krabičku Gill, pak si vzpomněl na své otvírací schopnosti a podal ji Péťovi: „snad to rychle otevřeme, ne? Já osobně jsem zvědavostí skoro nespal.“
„A to chrápání z tvého stanu to jen potvrzuje,“ neodpustil si rýpnutí Oliver. Petr bez nejmenších obtíží otevřel krabičku a vysypal z ní několik korálků. To bylo všechno.
Úloha č. 1
Vlastně ne tak úplně, uvnitř bylo i něco, co dříve mohl docela dobře být řetízek náramku, jenž kdysi zdobívalo pět korálků. Petr sklouzl pohledem do dlaně s korálky. Leželo jich zde devět: dva rudé, tři zelené a čtyři černé jako uhel. O čtyři více, než bylo původně na náramku. Kolik různých podob mohl náramek mít? Poznámka: Náramek je tvořen uzavřenou smyčkou (nemá konec ani začátek) a je kompletní, pokud je na něm právě pět korálků. Náramky lišící se pootočením nebo překlopením považujeme za stejné.
„To jsem teda nečekal,“ podrbal se na hlavě Monty, „asi bych se měl napít vody“ Kluci byli zmatení ještě víc než předtím. Petr vrátil korálky do krabičky a schoval ji do kapsy. Znenadání se ozvalo praskání a šustění, a pak už jen zvuk, jako když se ze skály kutálí balvan, ale nevěnovali tomu pozornost. Kdepak balvan! Kdyby se bývali ohlédli oním směrem, viděli by, jak se pan Cukřík valí dolů a nabírá na rychlosti. A byl by se valil ještě dlouho, kdyby ovšem nenarazil do staré Svobodové, co tam sbírala borůvky na koláč. První reakce té staré ženy byla, že Cukříka přetáhla holí. Však se chudinka notně lekla! Ale když se vzpamatovala, pomohla mu vstát a dokonce i zkušeně zatlačila bouli a upozornila ho na natržené kalhoty, čehož by si sám na takovém místě těžko byl všimnul. Kluci si ještě chvíli vyměňovali nápady na téma, co by to mohlo znamenat, a nakonec se vydali na další místo v mapě označené zeleným křížem, totiž do Dolního lomu. Když dorazili na louku, která byla asi tak v půli cesty, uviděli, jak po ušlapané pěšince běží dědek Mráz se synem, a protože zrovna dostali hlad, jali se rozdělávat oheň, vařili oběd, a přitom Mráze pozorovali.
Úloha č. 2
Dráha, po které oba muži běželi, byla tvořena dvěma půlkružnicemi spojenými dvěma rovnými úseky (jako na obrázku, kružnice se dotýkají). Průměrná rychlost sedmdesátiletého dědka Mráze je 9 km/h, jeho o dvacet let mladší syn se pohybuje rychlostí o 1 km/h vyšší. „Slušné tempo,“ komentoval výkon Mrázů Matěj a zajedl gulášovou polévku soustem chleba. Oliver si všiml, že rychlejší Mráz předběhne pomalejšího o jedno kolo vždy po deseti minutách od předchozího předběhnutí. Jaký je poloměr půlkružnic tvořící část dráhy, po níž muži běží?
Když se dost vynadívali a zametli stopy po ohništi tak, aby nikoho, kdo půjde kolem, ani nenapadlo, že se tu dnes vesele vařilo, pokračovali do Dolního lomu. „Nalezni otvor těsně nad hladinou,“ citoval z knihy Matěj. „To je jako poklad na Stříbrném jezeře,“ smál se Péťa. Po hodině hledání se už tolik nesmál. Nakonec ale objevili, co hledali. „Já tam ruku nestrčím,“ bránil se Monty, „v takových norách zajisté sídlí skunk,“ zapěl Gill refrén oblíbené odrhovačky. Nejvíc odvahy prokázal Oliver, zasunul do otvoru ruku až po rameno a vytáhl... lahev červeného vína. „Jak tohle jde dohromady s náramkem?“ kroutil hlavou Péťa. „To je španělsky,“ mrknul na vinětu Monty. Španělský text pokrýval i kartičku s pečetí visící na hrdle lahve. „Bez slovníku vám ovšem neřeknu, co to má znamenat,“ řekl rychle.
Vstoupili do knihovny, obuli si návleky a nahlas a zřetelně pozdravili pana Cukříka, který seděl za stolem a cosi zašíval. Oliver si k úžasu všech sundal kšiltovku. Pan Cukřík byl celý pomuchlaný a rozladěný a nepříjemně se mračil. Péťa, kterého bavilo vyjednávání s lidmi, si vzal získání španělského slovníku na starost. Ostatní se zatím rozhlíželi po knihovně, překvapilo je, že na tak malé město, jako je Lindenburg, zde mají spoustu zajímavých titulů.
Úloha č. 3
Jen signatury knih nebyly příliš tradiční, svazky měly na hřbetě pouze pořadová čísla. Regál, u kterého postával Matěj, čítal právě sto knížek. Když si toho všiml Oliver, automaticky začal řešit, zda je možné z libovolných sta čísel vždy vybrat 15 čísel nebo dokonce 16 čísel tak, že rozdíl každých dvou čísel ve vybrané skupině je dělitelný sedmi. I pouhý rok vysokoškolské matematiky se na vás totiž nenávratně podepíše... Vyřešte Oliverovu úlohu.
Péťa si nechal vystavit průkazku a snažil se najít slovník, jenž měl podle pana Cukříka číslo 382. Knížky zdaleka nebyly seřazeny dle signatur, tudíž měl Matěj dost času na zkoumání pětidílných příběhů Zeměmoří spisovatelky Ursuly Le Guin, které našel kupodivu všechny na stejném místě. Přečetl zatím totiž jen první tři a informace o tom, že loni vyšly i zbývající dva díly, ho z nějakého důvodu minula. Z transu se probral, až když mu bratr zaklepal na rameno: „Ty tu dnes přespáváš, anebo jdeš s námi?“ Překřikujíce se uctivými nashledanou opustili knihovnu. „Na co, vy darebáci, potřebujete španělský slovník?“ brblal si pod fousy Cukřík. Na víkend slíbili kluci panu Málkovi, že pro Lindenburg předvedou šermířské vystoupení. Volno dostali hlavně proto, aby se stihli připravit, a aby ulevili svému svědomí, přestali se na chvíli zabývat klubkem záhad.
Úloha č. 4
Monty začal vyměřovat bitevní prostor, aby si zvykli na rozměry jeviště pod hradem. Jeviště mělo tvar lichoběžníku ABCD se základnami AB a CD. Monty si pamatoval, že |AB|=8 m, |BC|+|CD|=12 m, |AD|=5 m a že |\angle_gr(ABC)|=60\deg. Zkuste narýsovat ve vhodném měřítku daný lichoběžník. Nepoužívejte úhloměr.
Před večeří se zašli kluci ještě vykoupat do lomu. Obzvlášť v podvečer tu byla voda příjemně teplá. Gill z vody zahlédl běžící přízrak, který radostně povyskočil, když se dostal na úroveň lomu, a opět vběhl do křoví. „Kapucín, už zase, pánové“ málem Gill zapomněl plavat. „Jen jestli to nebyla veverka,“ smál se Oliver, aby zahnal nepříjemný pocit, že je šero a kolem se pohybuje bůhvíkdo. Po večeři přeložili za pomocí slovníku nápisy Nuevo Mundo a Potro Melenudo na vinětě staré lahve a také kartičku s věnováním. Víno podle ní bylo uděleno darem dvornímu matematikovi za jeho dlouholeté služby a pocházelo až z daleké Ameriky. Ročník přečíst nedokázali. Znovu se rozpoutala vášnivá diskuse. Monty se jí ale neúčastnil, vytáhl skripta a sešit a snažil se použít integrál na úlohu, ve které byl vlastně skoro zbytečný. Jak jen v září udělá zkoušku?
Úloha č. 5
Monty se zabýval následujícím problémem: V krychli ABCDEFGH je střed horní podstavy označen S. Jaký obsah může mít trojúhelník tvořený bodem S a dvěma vrcholy dolní podstavy?
Druhého dne jen nanosili nábytek do čerstvě vymalované jídelny a pan Málek je za odměnu vzal na prohlídku Lindenburgu. Podívali se tak i do místností, v nichž dosud nebyli. Ačkoli kluci k dějinám neměli příliš kladný vztah, věta: „Bratr hradního pána se odstěhoval do Argentiny, kde založil prosperující vinohrad,“ je poněkud zaujala.
Úloha č. 6
Kastelán zakončil prohlídku vyčerpávající statistikou, ale bohužel si nepamatoval přesná čísla, takže výklad zněl: „Počet dveří v Lindenburgu je dvojciferný a je to lichý násobek devatenácti, oken na hradě je méně než 500 a jejich počet je trojciferným sudým násobkem počtu dveří zvýšeného o dvě. Když obě tato čísla vynásobíte a odečtete 2963, dostanete pěticiferný počet lustrů v Lindenburgu, a zajímavé je, že tato tři čísla představující počty dveří, oken a lustrů obsahují všechny číslice od nuly až po devítku.“ Pan Málek se po této vyčerpávající větě odmlčel. Dokážete z informací od kastelána určit počet oken, dveří a lustrů hradu Lindenburgu?
Kluci se rychle rozloučili, neboť je čekala Medvědí jeskyně. Vzali s sebou lopatky, které se měly stát dle instrukcí v knize velmi užitečnými. Otvor nalezli snadno, rozsvítili baterky a se zatajeným dechem poslouchali ozvěnu vlastních kroků. Jeskyně se jevila velice prostorná, východní stěnu zdobila prastará kresba medvědice. Uprostřed našli malou studánku.
Úloha č. 7
Matěj otevřel knihu a nahlas předčítal: „Když zavítáš, příteli rozmilý, na místo křížem označené, objevíš zde vodu křišťálovou. Od ní půjdeš přímo pět stop ve směru o... to bohužel nepřečtu,“ smutně oznámil ostatním a pokračoval... „stupňů odchýleném od směru severního. Od tohoto místa pokračuj tak, že odbočiti ve směr východní či jižní smíš kolikrát ti je libo, ale chraň tě bůh, jestli se vraceti budeš, či jiným než zmíněnými směry se vydáš. Takto ujdi pět stop. Na takovém místě kopej a nalezneš, co ukryl jsem.“
„To přece vůbec není jednoznačné,“ mrzutě řekl Oliver. Petr začal kreslit jakýsi plánek. Načrtněte tvar území, na kterém se dle popisu v knize může nacházet skrýš dávného pisatele. Do jak velkého kruhu se toto území vejde?
Rozdělili si oblast, kde se podle Petrova plánku mohlo ono místo nacházet. Zprvu kopali nadšeně, ale když po dvou hodinách stále nemohli nic najít, nálada se zhoršila. Najednou Oliver narazil hranou lopatky na nějaký předmět. V ústí jeskyně se ve stejný okamžik vynořil pan Cukřík a zahřímal: „Jaké neplechy zde provádíte, uličníci?“ Všem přeběhl mráz po zádech.
