Zadání 2. série 22. ročníku
Termín odeslání: 18. prosince 2006
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
„Když jste si naprosto jisti, že je středa, a vše kolem připomíná neděli...“ budil kluky Matěj úvodem Johna Wyndhama, neboť se výjimečně probudil brzy a už hodinu si ve stanu četl. „Koukejte vstávat, dnes máme malovat“
„Středa? To už jsme tu fakt týden?“ otevřel jedno udivené oko Oliver, aby ulehčil své šmátrající levé ruce hledání kšiltovky.
V rychlosti se nasnídali a vyrazili k Lindenburgu. Na nádvoří už čekal kastelán Málek. S úsměvem uličníka každému nasadil čepici z novin a zavelel: „Směr jídelna! Barva je namíchána. Je to na vás.“ Kluci vytvořili zástup a se smíchem vpochodovali do hradu.
Úloha č. 1
Jídelna, kterou mají kluci vymalovat, má půdorys tvaru obdélníku o stranách 8 a 8\sqrt{3} m. Oliver se postavil doprostřed místnosti: „Dívejte se, jak pracuje profesionál“ Namočil štětku do připravené citronově žluté barvy, chytil násadu až na samém kraji a špičku štětky opřel o stěnu. Potom se začal pomalu otáčet a štětku nechal klouzat po stěně. Mumlal si u toho něco jako „mafpafgwah pafpafpaf kvagsamham...“ Když se otočil o 360\deg, dostala se štětka do původní polohy. Stopa štětky, kterou vytvářel, byla vzdálena 4\sqrt{5} m od středu otáčení, který byl ve výšce 95 cm nad podlahou. Oliver svůj malířský nástroj odložil a uklonil se. Jak dlouhá je žlutá čára, kterou Oliver nakreslil?
„Výborně, mistře,“ pochválil ho pobavený Monty, jenž právě přinášel štafle, „a teď snad budeme i trochu pracovat.“
A tak se do toho pustili. Práce jim šla rychle od ruky. Najednou si všimli, že ve dveřích stojí kulatá postava svérázného pana Cukříka. „Dobrý den,“ dostal ze sebe jako první Oliver. „Dobrý, dobrý,“ odvětil pan Cukřík, „nebyla by žvýkačka?“ Pusu měl od ucha k uchu, ale z očí mu sršely blesky.
Úloha č. 2
Kluci nervózně zalovili v kapsách a každý z nich vytáhl krabičku žvýkaček. Pan Cukřík otevřel pusu a vyvalil oči. Krabičky měly totiž velmi neobvyklé tvary. Půdorysy krabiček patřících Oliverovi, Péťovi a Gillovi jsou pravidelné šestiúhelníky, krabičky Montyho a Matěje mají dno tvaru kruhu. Přitom Oliverova krabička se těsně vejde do Montyho, Montyho do Péťovy, Péťova do Matějovy a Matějova do Gillovy krabičky. Jaké obsahy mají dna Oliverovy a Gillovy krabičky, jestliže obvody dna těchto dvou krabiček jsou dány v centimetrech celými čísly a tato čísla jsou nejmenší možná?
Pan Cukřík si nabídl skořicovou žvýkačku od Gilla a zase zmizel. „Ten pán mi poněkud vadí,“ řekl Monty nahlas to, co si mysleli všichni. Od příjezdu do Lindenburgu měli neustále pocit, že je pan Cukřík pozoruje a sleduje a nejspíš i podezřívá z bůhvíjaké nekalé činnosti. Pracoval v místní knihovně a neustále četl staré knihy vztahující se k historii hradu. Obyvatelé tvrdili, že Cukřík je tak trochu podivín, ať se tím kluci netrápí. Ale zkuste si nevšímat, když neustále potkáváte někoho, kdo se vás ptá: „Odkud jste? Zdržíte se dlouho? Co jste dělali celé odpoledne? Nevypůjčili jste si náhodou Lindenburgské letopisy, už je třetí den postrádám?“ Jednou ho dokonce našli ve svém táboře, když se odpoledne vraceli z hradu. Měl sice v ruce košík hub, ale cítili, že něco hledá...
„A pak je tu ta druhá záhada,“ zamyslel se nahlas Péťa, „mnich v hnědé kápi. Proč se vždycky objeví, pošklebuje se, mává nebo hrozí ukazovátkem a nakonec zase zmizí? A nikdo z místních o něm údajně nic neví.“
„Mělo by se to vypátrat,“ prohlásil Matěj. Ostatní jen souhlasně pokývali hlavami.
Ve dvě hodiny byli s jídelnou hotovi. Pan Málek je požádal, aby ještě vynesli harampádí ze staré věže na nádvoří. Nadšeně obdivovali zaprášené staré kusy nábytku prolezlého červotočem a opředeného pavučinami. Nádvoří brzy připomínalo skladiště, ne-li skládku. Kromě různých skříní, skříněk, stolků, lamp, židlí, jednoho starého sekretáře a houpacího křesla kluci vystěhovali i dvoje nástěnné hodiny. První byly bílé zdobené stříbrem a druhé černé se zlatými reliéfy, jinak však navlas stejné a oboje vesele tikaly.
Úloha č. 3
Kastelán spokojeně pozoroval, kterak kluci zkoumají hodiny. Potáhl ze své fajfky a prohodil směrem ke klukům: „Jsou to mistrovské kousky, žel se však černé za den zpozdí o deset minut a bílé se zase o dvanáct minut předejdou. Dnes ráno kupodivu desátou odbíjely současně.“ Olivera tvrzení pana Málka zaujalo ještě víc, než předtím oboje hodiny. „To by mě zajímalo, kdy nejdříve budou desátou odbíjet zase současně. Anebo aspoň kteroukoli jinou celou hodinu.“ Jak byste zodpověděli Oliverovy dotazy?
Když se dost vynadívali, vypravili se kluci opět nahoru do věže. Až na Matěje. Trochu se zdržel a dál zvědavě prozkoumával hodiny. Vzal opatrně za dvířka bílých hodin. Ta unaveně zakvílela, ale pootevřela se. Za dvířky se skrývala malá kniha převázaná chatrným provázkem. Matěj strhnul provázek a otevřel knihu.
První stránka chyběla. Oči těžko přivykaly ozdobnému rukopisu dávného autora a vybledlému inkoustu, jakož i hlava zaregistrovala jakési podezřelé pořadí slov ve větách, ale nakonec Matěj přelouskal několik prvních řádků úvodu: Jsem již velmi stár a rád bych poklad žití svého člověku čestnému a hodnému svěřil. Toť příčina původní, pro niž jsem knihu, kterouž držíš, rozmilý příteli, psáti počal, neb nemám více již dětí ni žákův mi blízkých. Však nehodlám odkaz svůj nepravému zanechati, rač odpustiti opatrnost starci, jenž toho příliš mnoho spatřil, než by člověku každému důvěřovati se neobával.
Úloha č. 4
Matěj otočil stránku. Našel v knize vloženou mapku plnou všelijakých barevných značek. Zběžně ji přelétl očima a dál pokračoval v četbě té podivuhodné knihy. Jest špatné povahy, kdo nezná geometrie -- královny. Zajisté všiml sis, příteli můj, tří křížů zelených na plánu. Jsou tyto pouze středy stran trojúhelníku, jehož vrcholy obejíti ti třeba, samy však významu nemajíce... Zelené kříže na mapě jsou od sebe vzdáleny 3,6 cm, 4,2 cm a 2,8 cm. Jak Matěj určí, kde jsou vrcholy trojúhelníku s takto vyznačenými středy stran? Zdůvodněte postup.
Matěje z rozjímání vytrhl blížící se Gillův řev (nazývat totiž zpěvem zvuk, který Gill vydával, by byla spíše lichotka anebo absence hudebního sluchu), to se kluci vraceli z věže s posledními kousky. Matěj rychle ukryl svůj objev do torny, kterou nosil přes rameno, a nasadil přemýšlivý, trochu zasněný výraz.
„Hotovo,“ zahalasil Monty a poklepal Matěje po zádech. Už jen posbírat věci.
„Malinovka“ odebral se Oliver k automatu na limonádu za účelem koupě několika plechovek své oblíbené tekutiny, aniž by mu jen trochu málo vadilo, že ostatní zdržuje.
Úloha č. 5
Oliver je pevně rozhodnut pořídit si 6 plechovek Malinovky. Jedna plechovka stojí 10 Kč a automat na nádvoří přijímá pouze desetikorunové mince. Oliver vysypal z kapsy všechny mince, jež dohromady skýtaly milou sumičku 100 Kč. Mincí bylo určitě více než dvacet. Korunových bylo stejně jako dvacetikorunových a padesátihaléřů měl Oliver stejně jako pětikorun. Měl alespoň jeden padesátihaléř. Kolik Malinovek si nejvíce může Oliver dopřát?
„Ty s ní snad obchoduješ,“ prohlásil Péťa, když se Oliver s Malinovkou vracel, „protože jinak by ti musela lézt už i ušima.“
„Já taky nechápu, proč se někdo tak sladký od přírody jako náš Oliver musí přislazovat a zalepovat něčím tak...“ vykouzlil na obličeji výstižně znechucenou malinovou grimasu Gill.
„Třeba to používá jako gel na vlasy“ vybuchl smíchy Matěj a okamžitě nakazil ostatní.
„Mluví z vás mrzká závist, ale já vám velkoryse odpouštím,“ neurazil se tentokrát Oliver.
Úloha č. 6
Do tábora se kluci vraceli přes náměstí, které bylo obklopeno přesně 84 domy. Všechny budovy byly opravené a jejich omítky se růžově, fialově, béžově, zeleně a červeně leskly v záři zapadajícího slunce. Každý z domů měl buď kulatá, anebo obdélníková okna. Zatažené závěsy ve všech oknech znemožňovaly klukům nahlédnout dovnitř. Monty si všiml, že závěsy jsou modré, zelené, hnědé, bílé, nebo žluté, ale u každého domu byly jen jedné barvy. Některé střechy domů se klukům zdály rovné, jiné naopak úplně křivé. Na náměstí byste nenašli jediný dům s kulatými okny a modrými závěsy. Za to tu byly tři domy se zelenou omítkou s obdélníkovými okny. Také na lindenburgském náměstí nestál dům, který by měl omítku i závěs stejné barvy. Je možné, že jsou na náměstí alespoň dva domy shodující se současně v barvě omítky, tvaru oken, se stejně provedenou střechou a závěsy stejné barvy? Mohou to být domy s fialovou omítkou, kulatými okny, hnědými závěsy a křivou střechou?
U táboráku se Matěj nakonec odhodlal klukům povědět všechno o knize. Dokreslili na plánek chybějící tři významné body -- zaplavený Dolní lom, Brusinkovou skálu a Medvědí jeskyni a společně rozhodli, že tam hned zítra vyrazí. Gill měl velice dobrou náladu, přímo mu bylo do zpěvu, tak byl se středečním dnem spokojený! Naštěstí Gillovo rozpoložení včas vycítil Péťa: „Milý Gille, vidím, že jsi v dobrém rozmaru, co takhle partie Tonta?“ vyzval Gilla ke hře, neboť ze zkušenosti věděl, že neodmítne. Zajistil tím ostatním ničím nerušený spánek, čehož jeden po druhém využili.
Úloha č. 7
Zalezli do spacáků. Jen Péťa a Gill se poněkud zabrali do Tonta. Tonto vyžaduje šachovnici 8 \times 8. Každý hráč má třicet kamenů. Péťa měl bílé, a tak začínal -- umístil jeden kámen na jedno z volných polí šachovnice. Střídají se s Gillem po jednom kameni. Nakonec, když se zbaví všech svých kamenů, dostane Péťa bod za každý řádek a sloupec, ve kterém mají převahu bílé kameny, Gill obdrží bod za každý řádek a sloupec s převahou černých kamenů. Pokud má Péťa víc bodů, vítězí, pokud ne, vyhrává Gill. Navrhněte Gillovi postup, při jehož použití vždy zvítězí.
Dobrou noc!
