Zadání 1. série 22. ročníku
Termín odeslání: 16. října 2006
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Matěj zaklapl knížku Roberta Holdstocka a doslova vyskočil z tramvaje. Déšť mu náladu zkazit nemohl, spíš naopak. Měl po maturitě i po přijímačkách a čekaly ho přece prázdniny s klukama. S úsměvem míjel otrávené turisty vyzbrojené deštníky a fotoaparáty, které jim při stávájícím počasí spíš překážely. Na dešti ho vždycky bavilo, že spoustě lidí zkazil náladu. Nikdy pořádně nepochopil, proč lidem trocha vody tolik vadí.
„To je dost, že jdeš“ přivítal ho Oliver. Všichni už ke staré škole dorazili a Matěj byl tradičně poslední. „Trochu jsem zabloudil,“ začal vysvětlovat.
Úloha č. 1
„Přijel jsem tramvají přesně v pět hodin, pak jsem se malinko zamotal v ulicích, šel jsem pořád svou rychlostí 4 km/h. Nechápu, jak jsem se mohl tolik opozdit. Určitě jsem žádnou ulici neprošel dvakrát.“ Oliver si sundal kšiltovku. „To teda trochu kecáš, do půl sedmé bys to přece musel stihnout,“ řekl a ušklíbl se, jako by říkal: a není těžké to dokázat. Matěj jen pokrčil rameny, mezi všemi těmi barevnými deštníky úplně ztratil přehled. Monty otevřel dveře a všech pět vklouzlo do školy. Má Oliver pravdu? Proč? Každá ulice měří 400 m a Matěj mohl jít pouze ulicemi na plánku:
Zamířili k tělocvičně. Za chvíli už se naplno věnovali poslednímu letošnímu šermu. Když skončili, shromáždili se kolem Petra, který si vzal na starost zařídit pro všechny společnou letní brigádu. Konečně se dozví, co pro ně připravil. Nadělal kolem toho už dost tajností. Předem prozradil jen, že vypadnou z města. „Pánové, mám pro vás hrad,“ začal Petr a vychutnával dramatickou pauzu. Cítil, jak zvědavost kluků roste. Pomalu vytáhl mapu a ukázal prstem na nápis L i n d e n b u r g. „Opravujeme hrad Lindenburg. Stany postavíme tady u lesa. Hrad je asi osm kilometrů od vlaku, autobus tam pro jistotu nejezdí vůbec. Kastelán je pohodář, čeká nás ve čtvrtek po poledni a můžem zůstat, jak dlouho budeme chtít.“ Rozpoutala se vášnivá debata o Lindenburgu. Venku přestalo pršet. Opouštěli starou školu. Vydali se po schodech vzhůru. I někdo, kdo by šel deset metrů za nimi, by slyšel, jak se navzájem překřikují.
Úloha č. 2
Od staré školy vedou dlouhé schody o osmi oddílech. Monty si všimnul, že počty stupňů v jednotlivých oddílech tvoří jen pět různých čísel, která po uspořádání od nejnižšího k nejvyššímu stoupají vždy o jedničku. Navíc jediné z těchto pěti čísel, které je druhou mocninou přirozeného čísla, udává počet stupňů u dvou oddílů. Jediné prvočíslo mezi těmito pěti čísly udává počet stupňů hned u tří oddílů. Odhalíte počty schodů v jednotlivých oddílech? Prozradíme ještě, že celkový počet schodů je 112, což je shodou okolností číslo autobusu, kterým kluci jezdí na kolej.
Nahoře se domluvili, kdo co vezme s sebou, a rozešli se. Středu každý z nich strávil převážně balením. Ve čtvrtek ráno se všichni opět setkali na nádraží, dokonce ani Matěj tentokrát nechyběl. Ale to bylo určitě tím, že ho Monty ráno vzbudil. Někdy je výhoda mít staršího bratra.
Úloha č. 3
Nastoupili do vlaku a Gill okamžitě vytáhl kytaru. Rád na ni často hrál. Kluci bohužel nesdíleli jeho nadšení, protože Gill hraje na kytaru jen čtvrťové noty, a to tak, že pokaždé jenom brnkne na jednu ze strun své kytary. Po chvíli usilovného hraní mu k radosti všech praskla jedna struna. Gill se ovšem nevzdal a ve hře pokračoval. Kolik strun měla jeho kytara, pokud před prasknutím struny Gill zvládl zahrát o 2465 různých celých taktů více? Poznámka: Celý takt obsahuje čtyři čtvrťové noty. Pomlky Gill nedělá.
„Nechceš to své umělecké snažení na chvíli přerušit?“ opatrně se zeptal Péťa. „Tady se vážně nedá číst, Mytága na tebe“ přisadil si Matěj. I Monty, který vyděšeně zíral do skript z matematické analýzy, protože ho v září čekal poslední opravný termín zkoušky, nahlas zaprotestoval. Gill byl ale v transu a vůbec nezaregistroval, že na něj někdo mluví. Dokonce začal i zpívat „Týdýdýdý, ládýdýdá...“ Dveře kupé se otevřely a vstoupila zamračená obrýlená průvodčí. „Dobrý den, kontrola jízdních dokladů.“ Kluci se začali šacovat. Gill nepřestával hrát. „A vás mladíku musím požádat, abyste ukončil to vaše muzicírování. Stěžovali si na vás dokonce i cestující v sousedním vagóně“ Gill neochotně uklidil kytaru. Oliver už průvodčí nemohl vystát, a tak za ní, když odcházela z kupé, zavolal:„A to jste věděla, že trojúhelník o délkách stran 3, 4 a 5 má velikost jednoho z úhlů 36\deg52'?“ Naštěstí ho neslyšela... Gill si uvědomil, že ještě nesnídal, a vytáhl z batohu chleba, otvírák na konzervy a olejovky. „Jé, tobě bude špatně“ neudržel se Oliver. „Bez obav,“ zavrčel Gill a jal se konzervu otvírat.
Úloha č. 4
Plechovka má tvar válce s podstavou o poloměru 5 cm. Gill ze zkušenosti ví, že v plechovce je deset rybiček naskládaných rovnoběžně v jedné řadě. Tloušťka každé rybičky je 1 cm. Gill otevírá plechovku po obvodu tak, aby měl jistotu, že až odklopí otevřenou část víka, bude určitě vidět celá alespoň jedna nejmenší rybička. Jak velký obsah má odklopená část víka? Poznámka: Gill s otvírákem neumí příliš dobře zacházet a nechce se před kluky ztrapnit, proto otvírák používá co nejméně. Nejmenší rybičky jsou dvě krajní (na obrázku vybarvené).
Když se Gillovi konečně podařilo plechovku otevřít, vlak zrovna někde zastavil. Monty vykoukl z okna a zařval:„Přestupujeme, panstvo“ Každý sbalil svůj batoh a vyskákali z vlaku. Na Gilla s chlebem v podpaží, kytarou v pravé ruce a otevřenými olejovkami v levé byl opravdu velkolepý pohled! A ty rozvázané tkaničky! Samozřejmě zakopl a obsah plechovky přemístil na zem. Přímo pod nohy výpravčímu. „No toto“ vypravila ze sebe uniforma. Ale při pohledu na Gilla se i výpravčí rozchechtal na celé kolo a nemohl drahnou chvíli přestat, takže všechny vlaky získaly okamžitě desetiminutové zpoždění. Za půl hodiny se na nádraží dokodrcal osobní vlak. Byl plný výletníků a houbařů a turistů bez deštníků, které přilákal nově otevřený románsko-gotický poutní kostel. Kluci se nakonec nějak nasoukali dovnitř i s batohy. Mlčeli. Snažili se totiž moc nedýchat a neuvařit se.
Konečně vystupují! Hluboký nádech. Uf. Péťa jde v čele výpravy, protože k Lindenburgu trefí i potmě. Během několika minut opouštějí městečko a mizí v lese. Příjemný chládek a nikde nikdo. Kde je konec všem těm houbařům?
Úloha č. 5
Na chvíli zastavili u rozcestníku, aby se napili. Tytyp, zavrněl Péťův telefon. „Magdalenka zase neumí vyřešit domácí úkol,“ povzdechl si. Už aby sestra měla taky prázdniny. „Potřebuje narýsovat rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou AB, poloměr kružnice vepsané trojúhelníku je 2 cm a těžiště trojúhelníku leží na této kružnici. Ach jo, proč si všichni myslí, že umím geometrii, když studuju matematiku. Chcíp.“ Péťa začal zoufale kreslit větví do jehličí obrázek trojúhelníku. „Dej to sem,“ sebral mu mobil Oliver, „já jí napíšu, jak to má udělat.“ Jaký postup byste Péťově mladší sestře poradili vy?
Když vyšli z lesa, uviděli před sebou hrad uprostřed vesnice. „Tohle je Lindenburg,“ obrátil se k ostatním Péťa. „To jsme fakt nepoznali,“ prohodil Oliver a narazil si kšiltovku víc do čela. Pořád musel někomu odporovat, ale kluci už na to byli zvyklí. Došli ke třetímu domku Hlavní ulice a Petr zazvonil na zvonek s nápisem Kamil Málek. Ode dveří k vrátkům jim kráčel v ústrety postarší pán, který všem připomněl dědu Lebedu. „Tak vás tu vítám,“ pozdravil kluky a každému potřásl rukou.
Úloha č. 6
Kastelán všechny pozval na oběd. Kromě výborné svíčkové kluky zaujaly i tácky pod hrnečky. Málkovi měli zelené a červené tácky. Červené byly klasicky kulaté, ale zelené byly poněkud zvláštní. Monty si s nimi chvíli hrál a zjistil, že pokud má jen jeden zelený tácek, nepodaří se mu zakrýt půlkruh o stejném průměru, jako má červený tácek. Má-li ovšem zelené tácky dva, zakryje jimi celý červený tácek už bez obtíží. Jaký tvar mohly mít zelené tácky? Poznámka: Všechny zelené tácky mají stejný tvar.
Kolem čtvrté hodiny kluci ukončili rozhovor s Málkovými, poděkovali za oběd a kávu a vydali se k lesu, aby postavili stany. Všichni stavěli stany, jen Gill, potom, co se mu povedlo zlomit stanovou tyč, se raději vydal na průzkum okolí. Měl pocit, že se mu dneska už nasmáli dost. Po několika minutách chůze objevil zaplavený lom. Rozhodl se, že si zaplave. Když se dostatečně osvěžil, vylezl na břeh a uviděl tu obrazec postavený ze smrkových šišek.
Úloha č. 7
Šišky tvořily celkem pravidelný sedmiúhelník, jehož každá strana byla složena z devíti šišek. Gillovi na chvíli přišlo divné, že se taková věc válí u břehu, ale pak se rozhodl, že šišky přinese klukům na oheň. Sebral první šišku, pak dvě po obvodu sedmiúhelníku vynechal a sebral další šišku a pokračoval stejným způsobem, až sebral i poslední. Kterou šišku sebral jako poslední?
Jak se začalo stmívat, Gillovi se zdálo, že na skále nad lomem vidí nějakou postavu. Silueta muže v tmavém plášti s kapucí opřená o hůl na něj zakývala hlavou, otočila se a zmizela. Gill překvapeně zamrkal. Měl bych se vyspat, pomyslel si Gill. Vrátil se ke klukům. Složil šišky vedle připraveného dřeva, snědl večeři a vyčistil si zuby. Neodpustil si ještě kytarovou ukolébavku. Přesto nakonec všichni usnuli.
