Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.

Úloha č. 1

Úlohu jste museli řešit obecně, protože nebyly zadány žádné rozměry. Nejprve se ale zabývejme tvarem vepsaného tělesa. Osmistěn je pravidelné těleso, a proto je složen z osmi rovnostranných trojúhelníků. Pro každý takovýto trojúhelník najdeme těžiště (průsečík těžnic, v tomto případě i výšek) a tato těžiště spojíme (pozn. to, že nám těžiště rozděluje těžnici v poměru 1:2 zde zmíním bez důkazu, tuto základní znalost si můžete ověřit v libovolných matematických tabulkách).

Představme si nyní situaci na polovině osmistěnu (tedy na pravidelném čtyřbokém jehlanu). Půdorys jehlanu je čtverec, protože osmistěn je pravidelné těleso. Pokud určíme řez na tomto jehlanu pomocí těžišť jeho bočních stěn, dostaneme rovinu rovnoběžnou s podstavou. Situace v řezu bude vypadat následovně:

Řez je veden ve třetině tělesové výšky jehlanu, a tudíž z podobnosti víme, že délka obvodové hrany řezu bude v poměru 2:3 vůči základně. Půdorys vzniklého tělesa je čtverec (pravidelnost a shodné vzdálenosti na všech stěnách jehlanu) se stranou, jejíž délku snadno spočteme z Pythagorovy věty. A protože je osmistěn pravidelný, dostáváme tento průmět ze všech různých pohledů. Výsledné vepsané těleso má v šesti průmětech tvar čtverce. Z toho jste mohli vyvodit, že půjde o krychli. Tento důkaz není příliš formální, ale jako pomůcka pro výpočet mi stačil.

Nyní se podívejme na objemy obou těles. Objem V_{8} osmistěnu spočteme snadno jako dva objemy čtyřbokého jehlanu. Tedy:

kde S_{p} je plocha čtvercové podstavy a v je tělesová výška jehlanu. Nyní označme ještě délku hrany osmistěnu jako a a délku hrany krychle jako k. V této konvenci se pokusíme vyjádřit objemy obou těles.

Tělesová výška jehlanu se spočte pomocí stěnové výšky v_{a} jehlanu a dvojím použitím Pythagorovy věty:

Plocha podstavy je triviálně:

Objem osmistěnu proto bude:

Délku hrany krychle spočteme snadno z nákresu výše. Víme, že poměr délek stran obvodového čtverce a hran podstavy jehlanu je 2:3, tedy délka hrany obvodového čtverce je 2\over3 a a délku k hrany krychle spočteme pomocí Pythagorovy věty:

A tedy objem krychle V_{6} je snadno:

Nyní už jen zbývá dopočítat poměr obou objemů:

Poměr objemu krychle vepsané pravidelnému osmistěnu a objemu tohoto osmistěnu je 2:9. Ještě dodejme jako zajímavost, že do krychle lze obdobně vepsat osmistěn. Pokud bychom takto úlohu otočili, vyjde ale poměr objemů 1:6.

Komentář: Úlohu měla většina řešitelů správně. Drobné chyby se objevily při výpočtech, občas v představivosti nebo nepřesnosti náčrtků (mnoho z vás si myslelo na základě náčrtku, že vepsané těleso je kvádr). Někteří z vás středy stěn zaměnili za středy hran (ti pak počítali jinou úlohu). Důkaz, že jde o krychli, nebyl pro získání plného počtu bodů nutný.

Úloha č. 2

Minimální číslo, které splňuje požadavky zadání, je 84210. Pokud zvětšíme cifru na místě jednotek o 1, zvětší se cifra na místě desetitisíců o 8. Podobně zvýšení desítek znamená zvýšení desetitisíců o 4, zvýšení stovek zvýšení desetitisíců o 2 a zvýšení tisíců zvýší desetitisíce o 1. Desetitisíce můžeme zvyšovat bez další vazby. Aby na místě desetitisíců zůstalo jednociferné číslo, můžeme zvětšit jedině tisíce (o 1) nebo desetitisíce (o 1). Proto řešením jsou pouze tato čísla: 84210, 94210, 95210.

Komentář: Většina z vás měla řešení správně, nicméně ne mnoho z vás dokázalo zdůvodnit, proč jsou to jediná tři čísla (ale za každý aspoň trochu úspěšný pokus jsem dávala pět bodů). Jediná častější chyba spočívala v nepochopení, že „větší“ je opravdu větší a ne větší nebo rovné.

Úloha č. 3

Máme čtvercovou síť 4\times4 a chceme do jejích mřížových bodů umístit co nejvíce andělů tak, aby žádní tři netvořili přímku.

Zadání šlo bohužel interpretovat dvěma různými způsoby:

• Na každé přímce mohou ležet nejvýše dva andělé.
• Na žádné přímce nesmí ležet právě tři andělé.

Rozeberme první případ, v každém řádku mohou být nejvýše dva andělé. Z toho vyplývá, že nejvíce můžeme umístit 5\cdot2=10 andělů. Máme tedy horní odhad. Ale aby bylo řešení úplné, musíme najít konkrétní příklad rozmístění. Nezbývá, než si pohrát a nalézt nějaké konkrétní rozmístění. Uvádíme zde některá možná rozmístění.

Dále se zabývejme druhým výkladem zadání. Nalézt horní odhad krom plného počtu 25 není snadné. Je dobré ukázat, jaké řešení vyhovuje podmínce a jaké ne.

To ukazují následující dvě schémata.

Na závěr uvádíme řešení, za které jste mohli dostat plný počet bodů.

Komentář: Mnozí řešitelé nepochopili zadání a mnozí z těch, kteří ho pochopili správně, si často nedávali pozor a udělali v něm tu drobnou, tu velmi podstatnou chybu. Nejčastěji jste si neuvědomovali, že kromě horizontálních a vertikálních přímek existují i šikmé přímky. Vyskytla se i správná řešení, ze kterých bych chtěl vyzdvihnout řešení Ondřeje Kálala, který jako jediný podal úplné a správné řešení pro obě interpretace zadání.

Za první interpretaci jsem uděloval body tak, že za stanovení maximální hranice deseti andělů byl bod, za správné rozmístění osmi andělů jsem dával maximálně dva body, za devět andělů až čtyři body. Za nesprávné rozmístění deseti andělů jsem udělil jeden bod. Za druhou interpretaci jsem dával dva body za 16 andělů, a pět bodů za 20 andělů.

Úloha č. 4

Hledaný bod označíme X. Ze zadání víme, že úhel LXP má být pravý. Využijeme Thaletovy věty, která říká, že takový bod X leží na kružnici k s průměrem PL. Dále známe poloměr **r** kružnice l opsané trojúhelníku LGX; jelikož body L a G jsou dané, můžeme snadno najít střed S kružnice l a posléze sestrojit kružnici l. Bod X najdeme jako druhý průsečík kružnic k a l (první průsečík je bod L, ten ale nesplňuje podmínky zadání).

Postup konstrukce je tedy následující:

• k; k(G,|GL|),
• m; m(L,**r**),
• n; n(G,**r**),
• S; S \in m \cap n,
• l; l(S,**r**),
• X; X \in k \cap l, X \neq L,
• \triangle LGX.

Pro konkrétní hodnoty ze zadání zjistíme, že kružnice m a n se neprotnou, úloha tedy nemá řešení.

Komentář: Někteří řešitelé si všimli, že strana trojúhelníku má být delší než průměr kružnice opsané, a hned zdůvodnili, že to není možné. Ačkoliv je takové řešení správné, více se mi líbila řešení obsahující i konstrukci pro případ, kdy řešení existuje.

Několik řešitelů tvrdilo, že přímka GX je kolmá k přímce LG. To v zadání nebylo ani to z něj neplyne. Za taková řešení jsem většinou strhával bod.

Čekal jsem, že řešitelé, kteří vydrželi do šesté série, se během roku museli naučit psát srozumitelně. Nepříjemně mě překvapilo, jak často to není pravda. Komentujte ve svých řešeních, o co se zrovna pokoušíte. Chybné ale přehledné řešení je cennější než nepřehledná hrst rovnic končící správným výsledkem, a klidně za něj můžete dostat i více bodů.

Úloha č. 5

Označíme-li si pavouky P_{1}, P_{2} a mouchu M není ze zadání jednoznačné, zda je trojúhelník P_{1}P_{2}M ostroúhlý či tupoúhlý. Máme spočítat délky úseček P_{1}M a P_{2}M.

Nejprve rozebereme případ, kdy je tento trojúhelník ostroúhlý.

Ze zadání víme, že |P_{1}P_{2}|=1 m. Označme P patu výšky na stranu P_{1}P_{2} a |PP_{2}|=y. Potom při spočtení vnitřních úhlů v trojúhelníku PP_{2}M zjistíme, že je rovnoramenný, a proto |PM|=|PP_{2}|=y. Z Pythagorovy věty dopočteme, že |P_{2}M|=y\sqrt{2}. Zahledíme-li se pozorně na trojúhelník PMP_{1} seznáme, že tvoří polovinu rovnostranného trojúhelníku P_{1}P'_{1}M, tudíž |P_{1}P| = 1\over2 |P_{1}M| = 1-y. Ale délku úsečky PM lze spočítat z Pythagorovy věty:

Dostali jsme rovnici pro y:

Zbývá jen dosadit do výše vyjádřených vzorců:

Nyní rozebereme případ, kdy je trojúhelník P_{1}P_{2}M tupoúhlý.

Opět je |P_{1}P_{2}|=1 m, označíme P patu výšky na stranu P_{1}P_{2} a označíme |PP_{1}|=x. Znovu je trojúhelník P_{1}P'_{1}M rovnostranný, dle stejné úvahy jako v předchozí části dostaneme |P_{1}M|=2x. Podobně též určíme, že je trojúhelník PP_{2}M rovnoramenný, a tedy |PM|=x+1=|PP_{2}|. Znovu dle Pythagorovy věty spočteme, že:

Dostáváme rovnici pro x:

Nakonec dosadíme do odvozených vzorců a budeme hotovi:

Tím jsme spočítali vše, co bylo požadováno.

Komentář: Bohužel nikdo z vás neuvažoval případ, kdy je trojúhelník P_{1}P_{2}M tupoúhlý. Plný počet bodů jsem tak uděloval za správné řešení případu ostroúhlého trojúhelníku. Bohužel mnozí z vás považují rýsování a následné měření vzdáleností za výpočet, za tento vážný prohřešek proti matematice jsem dával jeden bod. Pokud jste při výpočtech příliš zaokrouhlovali, strhával jsem bod až dva.

Úloha č. 6

K vyřešení úlohy stačilo vyřešit soustavu dvou lineárních rovnic. Označíme si cenu bílého vína b, červeného c, růžového r a podle zadání sestavíme rovnice:

Všimneme si, že ve druhé rovnici je třikrát víc r a c, takže po odečtení trojnásobku první rovnice od druhé nám zbyde pouze neznámá b, což je přesně ta, kterou potřebujeme:

Cena lahve bílého vína je tedy 120 Kč. Pro zvídavé řešitele ještě dodávám, že cena růžového ani červeného vína se spočítat nedala. Existuje nekonečně mnoho cen, které by zadané soustavě vyhovovaly, říct o nich můžeme pouze to, že r bude vždycky 880-2\cdot c, což zjistíme dosazením b=120 do první rovnice.

Komentář: Tato úloha byla skutečně lehká. Většina z vás ji vyřešila zcela bezchybně. Body jsem strhávala především za řešení rovnice bez jakéhokoli komentáře a bez odpovědi. Dá se sice uhodnout, že písmenkem r myslíte cenu růžového vína a ne poloměr lahve, ale je lepší, když to do svého řešení přímo napíšete.

Několik z vás se pokoušelo spočítat i ceny červeného a růžového vína, některým se dokonce povedlo najít jednoznačné řešení, což sice není možné, ale body jsem za to nestrhávala.

Úloha č. 7

Abychom zjistili, jaké bonbóny jsou v Oliverově fialovém sáčku, budeme postupně vylučovat možnosti v souladu s podmínkami ze zadání. Jisté je, že Oliverovou oblíbenou příchutí není Jahodová vlna, neboť ta se nachází podle informace 4 v červeném balíčku. Také víme, že nedostal peprmintové bonbóny (informace 5).

Zbývají tedy Kyseláčky nebo Gumídci. Aby platilo tvrzení 8, musí být bonbónů Jahodová vlna 15 nebo 17, protože jiné údaje o počtu bonbónů v jednotlivých balíčkách nejsou přesně uprostřed mezi jinými dvěma.

Kdyby bylo Jahodové vlny 17 kousků, muselo by Kyseláčků v jednom ze sáčků být 15 -- (informace 3). Na druhé Kyseláčky a Peprmint připadají počty 13 a 20, ale ať vybereme jakkoli, bude buď v obou sáčcích Kyseláčků více než Peprmintových bonbónů, nebo v obou méně, což je vždy v rozporu s podmínkou 6 nebo s podmínkou 7. Proto je v balíčku s Jahodovou vlnou 15 bonbónů. Informace ze zadání můžeme zapsat do tabulky:

Na Kyseláčky a Peprmint připadají počty 13 a 17, abychom splnili i obě podmínky 6 a 7, musí být Kyseláčků 13 a Peprmintových bonbónů 17, aby v druhém balíčku Kyseláčků mohlo být 20 bonbónů.

Nemáme přiděleny barvy fialovou, zelenou a žlutou a ty patří k Peprmintu a oběma sáčkům Kyseláčků. Z podmínky 5 víme, že Peprmint ve fialovém obalu není, proto fialový sáček, který dostal Oliver, obsahuje Kyseláčky. Jen nevíme, jestli jich má 13 nebo 17.

Komentář: Pokud jste příklad zvládli a odůvodnili, dostali jste plný počet bodů. Když jste v odůvodnění udělali chybu, obdrželi jste čtyři body. Pro ty z vás, kteří našli správné řešení a nevysvětlili, jak k němu dospěli, jsem měla tři body. Úloha byla jednoduchá, takže jste chyby moc nedělali. Tedy pokud nepočítám češtinu...

Opravovali:1. Honza Blažek, 2. Eva Černohorská, 3. Peter Černo, 4. Petr Škovroň, 5. Ondřej Honzl, 6. Tereza Klimošová, 7. Lenka Blažková.