Zadání 4. série 19. ročníku
Termín odeslání: 1. března 2004
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Přítomní členové Pletacího spolku v Barnabášově tramvaji rozebírali vzniklou situaci a snažili se stanovit vhodnou strategii pro skoncování se zamořením numery.
Slečna Kankrlíková měla citlivou duši, a tak prohlásila: „Já myslím, že by měl zasáhnout zvěrolékař, měl by je uspat a převézt na nějaké pohodlné a pro ně bezpečné místo. Ještě se zraní, chudinky.“
„A já myslím, že by se proti těm bestiím mělo postupovat razantně! Spíš ublíží někomu jinému,“ rozhorlil se pan Sobíšek, „a to by byl teprve malér. Zatím příliš velké škody nenapáchala, ale kdyby se jim podařilo rozbít vodovod nebo něco takového, bylo by zle.“
Na pouličních lampách zatím visela numera a řičela. Barnabáš temně přemýšlel o tom, jak je chytit, tedy alespoň ta, která vypouštěla sliz na přední sklo jeho tramvaje, a co by s nimi pak provedl. Paní Kožíšková zatím prohlížela brožuru o svetrech s novými pětiúhelníkovými vzory.
Úloha č. 1
Je dán konvexní pětiúhelník ABCDE, ve kterém platí |BE|=|DE|. Sestrojte obdélník (popřípadě čtverec) stejného obsahu. Poznámka: Konvexní znamená, že úsečka spojující libovolné dva body pětiúhelníku leží celá v tomto pětiúhelníku; stejně tak to znamená, že všechny vnitřní úhly pětiúhelníku jsou konvexní, tj. mají velikost menší než 180\deg.
Barnabáš zastavil na zastávce. Nahrnula se dovnitř 7.A, třída noční základní školy, v čele s panem řídícím Josefem Janečkem. Vypravili se na koncert populární rockové kapely Safran, neboť pan řídící Josef Janeček, vášnivý fanoušek této kapely, vážnou hudbu nemohl vystát od jisté hádky se svou chotí, týkající se svátečního oběda, Mozarta a Debussyho. Třída se chovala tak trochu spiklenecky, poněvadž se těšila na koncert. A ke všemu pan řídící slíbil velkou čokoládu tomu, kdo rozřeší tento problém:
Úloha č. 2
Může existovat konvexní mnohostěn, jehož každá stěna je mnohoúhelník s jiným počtem vrcholů?
Zatím se sourozenci Magdaléna, Pepička, Honzík, Sváťa a Jirka přeli o pytlík třešní. Usmysleli si, že je před koncertem snědí a pecky pak použijí jako střelivo na lidi, co se jim nebudou líbit (měli štěstí, že pan řídící Janeček tuto část plánu nevyslechl). Ale kvůli různým vzájemným dluhům a půjčkám byl počet třešní, které měli každý dostat, poněkud nejasný.
Úloha č. 3
Jirka má dostat přibližně 25 třešní. Magdaléna obdrží přibližně o tři třešně méně než Jirka. Pepička má dostat zhruba o čtyři víc než Magdaléna. Honzík má dostat zhruba třetinu součtu počtů třešní Jirky, Magdalény a Pepičky. Sváťa obdrží asi tolik třešní jako Honzík. Kolik může dostat Sváťa třešní nejméně a nejvýše, jestliže slovo „asi“ znamená, že se počet třešní liší od uvedené hodnoty nejvýše o 1, „přibližně“, že se liší nejvýše o 2, a „zhruba“, že se liší nejvýše o 3?
Neformální schůzka Pletacího spolku byla přerušena do té doby, než se tramvaj trochu vylidní, a všichni členové se vrhli do pletení. Slečna Kankrlíková po chvíli odložila jehlice a prohlásila, že už má prsty od jehlic moc otlačené a že je nechá odpočinout. Proto vytáhla háčkování. Zrovna pracovala na krajce na malý stolek. Byl to pro ni ale neobvyklý tvar -- kosočtverec, a ke všemu měla rozměry podivně změřeny. Dokážete jí pomoci? Narýsujte, jak bude krajka vypadat.
Úloha č. 4
Je dán kosočtverec ABCD. Bod X leží na úsečce CD, bod Y na úsečce AB. Vzdálenost A od X je 8 cm. Úsečka DY je dlouhá 6,5 cm. Přitom přímky AX a DY svírají úhel 35\deg a přímka XY je s přímkou AD rovnoběžná. Sestrojte kosočtverec ABCD.
Na zastávce U tří smrků přistoupil strýc Čertovec. Ten vždy chodil ve starém šedivém klobouku. Ti, co ho znali, byli rozděleni na dva tábory: první tábor si myslel, že je to blázen, druhý, že je neuznaný génius filozofie a selského rozumu. Míval prakticky nepřetržitě rýmu.
„Zdrabím vás vesbolek,“ zahuhlal na uvítanou.
„To máme štěstí“ zajásala paní Kožíšková, „vy nám jistě pomůžete.“
„Pokud to bude v bých silách... mhile rád.“
Rychle ho zasvětili do problému: „... tak kdybyste nám mohl poradit.“
„Já mhyslím, že se to vyřeší za okambžik,“ řekl strýc Čertovec a zamyslel se.
Všichni se zabrali do uvažování, proč se to vyřeší za okamžik. A to málem stálo život malé numero, které sedělo uprostřed kolejí a cumlalo si jeden ocas. Tak tak že Barnabáš stihl zabrzdit. Vypadalo strašně opuštěné a smutné. Slečně Kankrlíkové se ho zželelo: „A to ho tu, chudáčka, jen tak necháte? Že se nestydíte! Určitě ho tu zapomněla maminka.“
Barnabáš se trochu styděl, a tak malé numero vzal k sobě do kabiny.
„Chudáček, celý se třese zimou“ vzdechla paní Kožíšková a hned vytáhla kousek upleteného svetru a zabalila malého do něj. Ten ji odměnil klokotavým zvukem. Pan Sobíšek se díval na její počínání poněkud nerudně -- on by něco takového neudělal.
Zatím strýc Čertovec zadal dětem další úlohu, tentokrát za velký borůvkový koláč, aby Drobečka, jak nalezence pojmenovali, nechali v klidu a nerozrušili.
Úloha č. 5
Do skříně tvaru pravidelného čtyřstěnu o hraně délky 6 cm, který stojí na jedné stěně a jehož jiná stěna slouží jako víko, umístěte co nejvíce pravidelných čtyřstěnů s hranou délky 1 cm. Kolik se jich tam vejde?
To děti značně zaujalo -- velký borůvkový koláč, to už je nějaká dobrota! Snad kromě Pepičky, kterou zaujala tyč na zastávce, kam právě přijeli. Sedělo na ní sto mravenců, jak si všimla a bleskurychle spočítala.
Úloha č. 6
Na vodorovné tyči dlouhé 1 m sedí sto mravenců. Najednou se všichni mravenci rozeběhnou. Každý mravenec běží rychlostí 1 cm/s. Když doběhne mravenec na kraj tyče, spadne dolů na dláždění. Když se dva mravenci srazí, otočí se a běží na druhou stranu („odrazí se od sebe“). Za jak dlouho má člověk jistotu, že na tyči už nebudou žádní mravenci? Poznámka: Čas potřebný na otočení mravenců je nulový, velikost mravenců zanedbáme -- mravence tedy považujeme za body. Počáteční polohy a směry mravenců na tyči neznáme.
Zatím se pan Sobíšek vyptával strýce Čertovce, kdy že nastane ten rozřešující okamžik. Ten jej uklidňoval, že až přijde, tak to všichni poznají. Slečna Kankrlíková se snažila nakrmit Drobečka kouskem chleba, což se jí nakonec podařilo za cenu, že byla pokryta vrstvou drobků. Drobečkovo jméno bylo vybráno správně.
Tu dorazili na zastávku před klubem, kde se měl koncert Safranu konat, a pan řídící Janeček zavelel k vystoupení. V nastalém zmatku se rozhodl vystoupit strýc Čertovec. Z davu na zastávce se ozývaly výkřiky: „Na shledanou“ -- „Připrav ty třešně“ -- „Šmarjá, já v tramvaji nechal peněženku“ Tudíž byl odjezd tramvaje poněkud pozdržen, zvláště když se pan Sobíšek chtěl začít hádat o významu slov „za okamžik“. Byl ale zpražen slečnou Kankrlíkovou a paní Kožíškovou, že Drobeček právě usnul, tak aby nevyváděl, ať ho neprobudí. Pan Sobíšek poznamenal, že nepotřebuje být komandován, toho že si užije doma dost, načež ho paní Kožíšková ujistila, že tuto poznámku bude muset probrat s paní Sobíškovou, jen co ji potká v řeznictví. Pan Sobíšek raději džentlmensky ustoupil a zmlkl.
Paní Kožíšková ztratila během rozmluvy několik ok, dala se tedy do počítání.
Úloha č. 7
A vy se dejte také do počítání: Najděte nejmenší násobek čísla 12936, který je třetí mocninou nějakého přirozeného čísla.
A tak tramvaj ujížděla dál, neoficiální schůzka Pletacího spolku pokračovala v poněkud napjaté atmosféře a Drobeček spal stulený ve vlně na klíně slečny Kankrlíkové.
