Zadání 2. série 19. ročníku
Termín odeslání: 15. prosince 2003
Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8
Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.
Na náměstí přistáli mimozemšťané. Oni ani tak nepřistáli, jako spíš dopadli. Stalo se to takhle: přilétlo něco žlutého, obrovského. Na spodku se tomu otevřela díra a z ní vypadla spousta zeleného, slizkého, hýbajícího se rosolu. Po chvíli hemžení se rosol rozdělil do mnoha desítek zelených slizkých potvor -- vypadaly zrovna jako ta potvora, co ožužlávala trolej Barnabášovy tramvaje: spousta ocasů, hlav plných světel, slizovitých hulákajících tlam, slechů a chápavého nosanu, který hlasitě nasával vzduch. Z lodi kdosi vyhnal koštětem poslední sliz a zvolal: „Tožtotož se proběhněte, numera“ Pak se díra ve žlutém zavřela a žluté, obrovské odletělo. Od této památné chvíle každý věděl, že numera jsou zelená a slizká.
Úloha č. 1
Ona díra ve žlutém, obrovském měla tvar lichoběžníku (označme ho ABCD) se základnami AB a CD délek 5 a 3 metry a výškou 4 metry. Úhlopříčky AC a BD se protínají v bodě S. Mají trojúhelníky ADS a BCS stejný obsah? Měly by jej, i kdyby délky základen a výšky byly jiné? Odpověď dobře odůvodněte.
Než se Městčané vzpamatovali z první i druhé paniky, numera se začala rozlézat po městě. Ke všemu mizela ve vzduchu a objevovala se naprosto nečekaně na naprosto nečekaných místech. Bylo jich všude plno.
Úloha č. 2
Ale kolik jich vlastně bylo? Jejich počet je přibližně (ovšem v milionech) roven největšímu možnému počtu částí, na které může jedenáct přímek rozdělit rovinu. Kolik je to částí?
Numera postupně zaplavovala město. Obvykle se vyskytovala v hloučcích. Do Barnabášovy vozovny dorazila ve stejnou chvíli jako Barnabáš.
Úloha č. 3
Kolik měl hlouček dohromady chapadel a očí? Víme, že to bylo číslo, které mělo právě čtyři různé dělitele. Přitom dva dělitele byla dvojciferná čísla, která mají tu vlastnost, že jedno vznikne z druhého přehozením číslic. Rozdíl těchto dvojciferných dělitelů je dělitelný osmnácti. Přitom právě u dvou dělitelů je první cifra zleva stejná a není to 7. Poznámka: Číslo má vždy jako jednoho svého dělitele jedničku a druhého sebe sama. Jde tedy o nalezení zbývajících dvou dělitelů a určení původního čísla.
Jakmile ten zelený chuchvalec Barnabáš uviděl, popadl nejbližší předmět (věšák), křikl na Ruprechta, kterému leknutím upadla do šálku čaje sušenka, a společně je vyhnali z vozovny. Jenže numera zamířila k blízkému činžovnímu domu. Za okamžik se ozvaly pohoršené výkřiky.
„Ty šelmo lotrovská“
„Necháš ten špenát“
„Necháš naši Kačenku“
A podobně.
Úloha č. 4
Na obrázku je nakreslené schéma domu: každé okénko představuje jeden byt. Přitom se numera chovala podivně: například v přízemí ve třetím bytě zprava byla tři. V každém bytě v prvním, třetím a pátém patře jich bylo tolik, jako ve dvou bytech o patro níž přímo pod daným bytem. Ve druhém (čtvrtém) patře bylo v každém bytě tolik numer, kolik byl součin počtu numer ve dvou bytech v prvním (třetím) patře přímo pod daným bytem. Přitom některé počty numer v bytech jsou známé. Spočtěte, kolik jich bylo v každém bytě. Poznámka: Nejnižší patro na obrázku je přízemí, to nad ním je první patro, nad ním druhé atd.
Za chvíli z budovy začala numera prchat před deštníky, pohrabáči, holemi, mopy, vařečkami od špenátu a hravýma dětskýma ručkama. Prchala dveřmi, okny, komíny, od Jablůňků (zbraně: pohrabáč, velká vařečka a tříletá Anežka) ve třetím patře i přes balkón po okapu. Numera byla evidentně rozverná stvoření. Všechno ožužlávala, zkoumala, převracela a měnila. Tak třeba ve starém skladu pana Tébiška.
Úloha č. 5
Pan Tébišek měl ve skladu hromadu krabic, které měly tvar krychle o hraně 1 metr; hromada vypadala zrovna jako ta na obrázku -- vidíte ji ze dvou pohledů. Než se pan Tébišek nadál, vtrhla mu na jeho výsostné území numera, vzala Tébiškovu kočku a strčila ji do nějaké krabice a zase odběhla nebo zmizela. Pan Tébišek byl nešťastný -- nemohl kočku najít. Nemňoukala, neštrachala. Asi usnula. Ke všemu byla těžký klaustrofob, takže musela být v bedně, nad kterou žádná jiná bedna nebyla. Zato uvnitř nějaké bedny, která nebyla v nejspodnější vrstvě, byla myš (ona by se totiž jinak podhrabala). Panu Tébiškovi bylo jasné, že kočka od myši musí být vzdálená alespoň 3 metry, jinak by kočka myš ucítila a už by nebyla vůbec zticha. K bočním stěnám krabice, ve které je myš, musí přiléhat alespoň tři krychle -- jinak by myš pištěla strachy a kočka by pištění učinila rychlý konec. Ví se jen, že odebráním libovolné prázdné (tj. o které bychom nějak věděli, že je prázdná) krabice se klid neporuší. Jenže pan Tébišek si s tím nevěděl rady. Když ale dovnitř vběhl Barnabáš, hned věděl kolik krabic je určitě prázdných. Víte to také?
Zatím numera řádila dál. Vběhla, doplazila se nebo jinak dopravila do železářství, co stojí hned vedle pomníku zakladatele města, ctihodného Bukanýra. Asistent Vokounek byl zrovna v obchodě sám, poněvadž pan mistr odběhl vyzvednout své děti ze školy. Z krámu se ozývaly děsivé zvuky, řinčení a pád regálů. Teprve když se usadil prach, odvážili se lidé nakouknout dovnitř. Po numerech nikde ani stopa. Všude se válelo zboží, jen uprostřed místnosti seděl na netknutém regálu s hřebíky (padesátky a větší) a drobnými šroubečky a relátky asistent Vokounek, křečovitě svírající atrapu meče, který visel nad pultem spolu s nápisem „Kvalitní zboží jedině u nás“. Vokounek byl notně otřesen, a tak mu paní Jedličková uvařila silný čaj. Vokounek o této události nepromluvil do konce života. Numerům se při drancování podařilo rozpálit část železného rámu postele, hromádku chromových těžítek a pyramidu ze zlatých cihel (nikdo netušil, kde je sebraly, ani jak se jim to povedlo rozpálit).
Úloha č. 6
Každá zlatá cihla v pyramidě měla tvar kvádru o rozměrech $5 cm \times 10 cm \times 20 cm$. Cihly byly poskládány tak, že každá ležela na jedné ze svých dvou největších stěn. Pyramidu tvořilo několik vrstev cihliček. V nejnižší vrstvě byly uspořádány do čtverce 3 m \times 3 m, tvořilo ji tedy 15\times30=450 cihliček položených těsně vedle sebe (stěny, kterými se dotýkaly, byly vždy shodné). V druhé vrstvě ležely cihličky zase těsně vedle sebe tak, že střed (těžiště) každé z nich ležel právě nad místem, kde se v první vrstvě dotýkaly čtyři cihly. Podobně cihličky ve třetí vrstvě ležely na cihlách druhé vrstvy tak, že střed každé byl nad místem dotyku čtyř cihel vrstvy druhé atd. V nejvyšší vrstvě byla jedna řada zlatých cihel.
Kolik bylo v pyramidě vrstev? Kolik bylo cihel v nejvyšší vrstvě? Kolik cihel bylo v pyramidě celkem?
Poznámka: Zkuste úlohu vyřešit co nejchytřeji a co nejméně pracně.
Přestože Barnabáš honil celé odpoledne zelené stvůry, musel nastoupit na noční linku. Dělaly se mu z toho běhání rudé kružnice před očima. Proto si ještě zdříml v kabině.
Úloha č. 7
Kružnice o poloměru 2 cm, 4 cm a 6 cm se vně dotýkají. Tečny každé z dvojic kružnic, které se jich dotýkají právě v bodě dotyku těchto kružnic, se protínají v jednom bodě. Narýsujte tuto úlohu. Dokážete něco říci o průsečíku tečen? Dokážete zdůvodnit, proč se tečny protínají v jednom bodě?
Barnabáš se probudil se svěděním za uchem. To vždycky znamenalo potíže. Tentokrát ho svědilo za pravým. To znamenalo velké potíže. Že by zase něco plánovali Šnytlík s Hrcem? To snad ne, pomyslel si. Ztěžka dosedl do kabiny za řízení a vyjel do ztemnělých ulic.
