Zadání 5. série 18. ročníku

Pikosobota proběhne dne 17. května 2003 od 10.00 do 15.00. Sraz je u východu stanice metra Nádraží Holešovice směrem k nádraží Praha-Holešovice (východ bez jezdících schodů).

Termín odeslání: 19. května 2003

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.

Dny ubíhaly. Starej Šed a well-Bloud zvládli všechna přípravná opatření. Nakoupili banány a vybavení do pouště a zvládli i rozmluvit paní Kamak-sově, aby se jejich výpravy účastnila. Navíc konečně začaly dlouho očekávané prázdniny, takže jim nic nebránilo v tom, aby se vydali na cestu za Babočkovým pokladem.

Rozloučili se s obyvateli Lasttownu a vyrazili. Starej Šed brzy pochopil svůj omyl. Myslel si, že well-Bloud je v podstatě kůň a tudíž ho poveze na hřbetě, ale to se nestalo. Well-Bloud nikdy nikoho nevozil, ani tehdy, když ještě nebyl zahořklý, a teď s tím rozhodně nechtěl začínat. A tak šli vedle sebe, nemluvili, každý sám o něčem přemýšlel a brumlal si sám pro sebe. Brzy dorazili k Moři Pustin. Mlčky pokračovali dál za svým cílem skrz strnulou písčitou pláň plnou kamení a kaktusů. Večer se utábořili poblíž křovisek. Až nyní se jim podařilo prolomit mlčení a pustili se do partie piškvorek.

Úloha č. 1

Hráli zjednodušenou verzi. Hrací plocha byla čtverec o rozměrech $3 \times 3$. Postupně se střídali v kreslení křížků a koleček. Vyhrával ten, kdo první dosáhl tří vlastních značek v jednom směru (řadě, sloupci nebo úhlopříčce). Existuje strategie, podle které začínající hráč vždy vyhraje (tzv. vyhrávající strategie), ať hraje soupeř sebelépe? Existuje taková strategie, která zaručí, že začínající hráč neprohraje (tzv. neprohrávající strategie)? A co pro nezačínajícího hráče? Existuje vyhrávající, případně neprohrávající strategie?

Protože ještě nebyli příliš ospalí, hru si poté trochu ztížili. Hrací plochu tvořily tři čtverce 3 \times 3, které představovaly jednotlivé vrstvy krychle. Opět vyhrával, kdo dosáhl první tří vlastních značek v jednom směru (kromě směrů v jednotlivých vrstvách připadají v úvahu navíc i sloupce a všechny úhlopříčky v krychli). Existuje vyhrávající nebo neprohrávající strategie pro prvního nebo druhého hráče? Své odpovědi řádně zdůvodněte!

Putovali už dlouho, dokonce si na sebe zvykli a well-Bloud se rozpovídal. Když zrovna nezaháněl škorpióny, pouštní lvy, hady nebo supy, tak vyprávěl Šedovi o svém dřívějším životě. Vzpomínal na další well-Bloudy, jejichž karavanu ztratil před lety právě zde, v Moři Pustin, a které pak marně hledal. Jak tak vyprávěl, málem si nevšimli, že se v dálce objevil černý oblak prachu a pomalu se k nim blížil. V Moři Pustin není kam utéct a tudíž jen čekali, až se ta podivná věc přižene blíž. A dočkali se. Těsně před nimi prudce zabrzdila sebranka třiceti olysalých zvířat, která se well-Bloudovi vzdáleně podobala.

Každé z nich civilizovaně smeklo čepici a řeklo jednu krátkou větu. Většině z nich nerozuměli, až poslední olysalá potvora řekla: „Dej mi banán.“ Když se chvíli nic nedělo, dodala: „Prosím.“

Šed se na tohle poslední zvíře podíval a zeptal se: „Kdo jste?“

„Přece well-Bloudi,“ odpověděl mu za dotázaného náš lasttownský well-Bloud, „právě jsem ti o nich vyprávěl, ale za těch pár let trochu zestárli a jak tak poslouchám, naučili se dokonce i pár jazyků.“ Well-Bloud ochotně svým starým známým rozdal všechny své banány; najedl se totiž dost už doma, takže byl schopný cestovat Mořem Pustin deset let, aniž by dostal hlad.

Úloha č. 2

Každý z třiceti olysalých well-Bloudů umí alespoň jeden z těchto tří cizích jazyků: čínsky, katalánsky nebo velšsky. Čínsky umí 25 well-Bloudů, z nichž 6 umí i katalánsky. Počet well-Bloudů, kteří umí všechny tři jazyky, je stejný jako počet well-Bloudů, kteří umí jenom katalánsky, a také stejný jako počet well-Bloudů, kteří umí jenom velšsky. Well-bloudů, kteří umí katalánsky, je o 2 méně než těch, co umí velšsky. Well-Bloudů, kteří umí jenom čínsky, je více než dvakrát tolik než těch, co umí jenom čínsky a velšsky. Kolik well-Bloudů mluví kterým jazykem?

Když se po týdnu stráveném s olysalými well-Bloudy konečně Šed a well-Bloud rozhodli pokračovat v cestě, nejstarší a největší z olysalých well-Bloudů si vzpomněl, jak si Šed druhý večer posteskl, že mu chybí hádanky, které pro Starého Šeda, jakožto obyvatele Lasttownu, byly něco jako denní příděl zmrzliny... a proto mu jednu věnoval.

Úloha č. 3

Čtyřúhelník má tři strany stejně dlouhé, délka čtvrté strany je rovna délce jedné i druhé úhlopříčky. Jaký je to čtyřúhelník? Určete velikosti všech jeho vnitřních úhlů.

Šed poděkoval, měl z hádanky obrovskou radost. Srdečně se se stádem rozloučili a vyrazili na další putování. Po čtyřech perných dnech plných supích hejn a jejich nadávek dorazili ke Sfinze-Hlídající-Poklad. Sfinga byla šťastná, že po dvaceti letech přišel někdo, kdo ji opět rozptýlí svým marným snažením, a ona se bude zase moci tři dny a tři noci zvonivě smát. Sfinga-Hlídající-Poklad směla poklad vydat jen tomu, kdo správně zodpověděl její tři otázky. To se ale nikdy nikomu nepovedlo, a tak Sfinga musela pořád jen hlídat a hlídat, a to ji opravdu nebavilo, když většinu času nebylo před kým hlídat...

Sfinga nelelkovala a hned jim podala list se svou první otázkou (ze samé nudy se v poušti naučila psát a své otázky zaznamenala písemnou formou, pro případ, že by je zapomněla, což se jí nyní velice osvědčilo).

Úloha č. 4

Změňte v následující soustavě rovnic právě jednu pravou stranu tak, aby soustava měla řešení. Jaké je pak její řešení?

Šed si chvíli lámal hlavu, pozoroval well-Blouda, jak okusuje kaktusy a plive, aby ho Sfinga neviděla. Pak úlohu rychle a hlavně správně vyřešil a za odměnu dostal papír s další otázkou.

Úloha č. 5

Kostrbatým písmem Sfingy-Hlídající-Poklad tu bylo napsáno: „Platí zajímavá věc 46 \cdot 96 = 64 \cdot 69. Najdi všechny dvojice dvojciferných čísel, které po přehození číslic mají stejný součin jako před přehozením.“ Najděte je také.

Když jí odpověděl, Sfinga Šedovi překvapeně podala list se třetí otázkou. Ještě se jí totiž nestalo, aby někdo našel třeba jen dvě správné odpovědi...

Úloha č. 6

Urči plochy tří sousedních království, v nichž vládnou Králíček, Králík a Král. Které z nich je největší? V trojúhelníku ABC je D střed strany AB, E je bod úsečky BC a F je průsečík úseček AE a CD. Plocha celého trojúhelníku ABC je 15 jednotek, plocha trojúhelníku CFE jsou 4 jednotky. Královo království je tvořeno trojúhelníkem AFC, Králíkovo je čtyřúhelník BDFE a Králíčkovo trojúhelník ADF.

Protože Šed správně zodpověděl i třetí otázku, nezbylo Sfinze-Hlídající-Poklad nic jiného, než předat Šedovi truhličku s pokladem. A tak se z ní stala obyčejná Sfinga-v-Důchodu. Konečně mohla odejít do pouště. Naposled jsme se o ní doslechli, že se přidala k jakési olysalé sebrance, ale kdo ví, kde je jí konec; informační zdroje z Pustin nebývají příliš spolehlivé.

Pak začala Šedovi s well-Bloudem dlouhá zpáteční cesta. Protože se na Lasttown už moc těšili, přece jen neztráceli trpělivost a vytrvale se přibližovali. Jejich příchod byl vesele oslavován sedm dní a sedm nocí. Poklad odevzdali šerifovi. V truhle byla Kniha Odpovědí. Jen otázky k nim už všichni dávno zapomněli. Skončila v lasttownském Muzeu jako tamní rarita.

Zatímco byl Šed pryč, školní mládeži se po něm začalo stýskat. Kontrast s předešlou paní učitelkou byl tak obrovský, že si Starého Šeda všichni jeho svěřenci dobrovolně nebo z donucení oblíbili. Rozhodli se nakreslit mu trojúhelník, ale ne tak docela obyčejný; chtěli mu ukázat, že je opravdu něco naučil, a tak si vymysleli ne úplně jednoduché zadání.

Úloha č. 7

Sestrojte trojúhelník ABC, je-li délka strany BC rovna 5 palců, délka těžnice na stranu AC je 6 palců a délka výšky na stranu AB je 3 palce. Nezapomeňte svůj postup popsat a vysvětlit.

Šed měl z dárku radost, také se mu ulevilo, že už je konečně doma, a slíbil svým žákům, že je vezme na měsíční výlet a ukáže jim Západ. Ale to už je jiné vyprávění...