Zadání 3. série 18. ročníku

Pikosobota proběhne dne 22. února 2003 od 10.00 do 15.00. Sraz je u východu stanice metra Nádraží Holešovice směrem k nádraží Praha-Holešovice (východ bez jezdících schodů).

Termín odeslání: 24. února 2003

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.

Nakonec oba, Maks i Kams, šťastně dorazili domů. Maminka je přivítala velkolepým obědem. Po obědě čekala na Kamse s Maksem práce. Měli od útlého věku na starost well-Blouda. Museli dohlédnout na to, že se napase a neokouše a neohlodá žádné stromky ani jiné rostlinky, které má maminka obzvlášť ráda, a nebude plivat a nadávat. Oběma připadalo děsně nudné hlídat to staré zvíře (ještě ke všemu s někým, kdo je váš bratr, dvojče, které vám jde celý život na nervy...). Proto si vymysleli hru. Dneska vymýšlel úkol Kams.

Úloha č. 1

Kams dovedl well-Blouda až na konec zahrady, kde se rozprostíral kruhový trávník o průměru 60 stop. Doprostřed trávníku zatloukl kůl, Maksovi podal provaz a nůž a posměšně a sebevědomě řekl: „Zkus well-Blouda uvázat tak, aby spásl přesně třetinu trávníku.“ Jak to má Maks udělat? Jak dlouhý má být provaz, na nějž well-Blouda přiváže?

Když well-Blouda napásli, poslala je maminka koupit obří jablko. Velmi neochotně se vydali do nejbližšího sadu. Konečně každou práci přece prováděli neochotně, pokud ji měli zvládnout společně. V sadu měli právě poslední dvě obří jablka. A protože hlavní sadař zrovna sháněl ořechy, nebylo třeba platit řešením úkolů.

Úloha č. 2

Předposlední obří jablko mělo o polovinu větší povrch než poslední obří jablko. Předposlední stojí 25 ořechů a poslední 14 ořechů. Které je výhodnější koupit? Poznámka: Obří jablka mají tvar koule.

Maks a Kams popadli ohromné obří jablko a společnými silami ho dotáhli domů. Konečně měli splněny všechny povinnosti a mohli se zbavit nepříjemné společnosti toho druhého. Maks šel navštívit svého kamaráda Fida a Kams otevřel svoji nejoblíbenější knížku. Byla to kniha Ze Starého světa. Kamse velmi zaujal jeden algebrogram.

Úloha č. 3

Co to je algebrogram? No, určitě jste se už s nějakým setkali. Ten Kamsův vypadal právě takhle:

Za jednotlivá písmena je potřeba doplnit číslice (každé písmeno představuje právě jednu číslici, různá písmena znamenají různé číslice) a to tak, aby sečtením čísel zapsaných jako ROMA, PISA, PARMA, MILANO vznikl součet zapsaný jako ITALIA. Kams našel vhodné číslice velmi rychle. Umíte to také?

Kams ani nepostřehl, že venku se přehnalo odpoledne a podvečer a Maks, který se vracel domů, a že je právě čas na večeři. Uvědomil si to až tehdy, když uslyšel zvonek a vzpomněl si, že dnes je k nim pozván Starej Šed. Šed si totiž potřeboval promluvit s paní Kamak-sovou o svých nových žácích. Jako školní uklízečka k nim měla přece jen blíž než rodiče nebo pedagogové, neboť si uměla získat jejich důvěru. A Šed si chtěl ověřit několik svých postřehů z prvních dní výuky.

Obr. 1 Obr. 2

Úloha č. 4

Hned u vchodu zaujala Šeda křišťálekoule. Vzal ji do ruky a prohlížel si ji chvíli proti světlu. Pak ji položil zpátky na nízkou stoličku, kam už několik (desítek) let patřila (to se dalo poznat z vrstvy prachu a pavučin, která křišťálekouli a stoličku pokrývala). Křišťálekoule byla slepená z několika jednotkových krychliček, zpředu vypadala jako na obrázku č. 1 a při pohledu zezadu jako na obrázku č. 2. Určete největší možný počet jednotkových krychliček, ze kterých je slepená.

„To je dárek od děda Mořeplavce,“ místo pozdravu vysvětlila paní Kamak-sova. „Našel ji při jedné z průzkumných plaveb, pohupovala se na hladině a třpytila se a on ji vylovil; věřil, že nosí štěstí, a tak byl od té doby velmi šťasten. Nakonec jsme ji od něho dostali společně s well-Bloudem...“

„Aha, well-Blouda vám tedy také přivezl děd Mořeplavec...“ přerušil ji Šed.

„Ale ne, to vůbec ne. Well-Bloud a má rodina jsme křišťálekouli dostali k Vánocům. Víte, well-Bloud, než zahořkl, byl docela milý společník, ale teď už jen plive a nadává. Dříve se well-Bloud těšil velké oblibě nejen u děda Mořeplavce.“ Posadili se v obývacím pokoji. Paní Kamak-sova nalila Šedovi čaj z pouštních kaktusů a pokračovala ve vyprávění o dědu Mořeplavcovi.

Úloha č. 5

Děd Mořeplavec kdysi velel průzkumné lodi. Často musel plout napřed a prozkoumávat moře, které čekalo na lodní karavanu na její pouti. Proto měl nejrychlejší loď. Zvládla se pohodlně pohybovat rychlostí 75 mil za hodinu, zatímco lodní karavana plula rychlostí jen 45 mil za hodinu. Průzkumná loď obyčejně dostala rozkaz, aby prozkoumala moře ve směru plavby lodní karavany. Ke karavaně se měla vrátit za 3 hodiny. Za jakou dobu se musela průzkumná loď obrátit a plout nazpět ke karavaně, aby připlula právě včas?

Když už Starej Šed věděl o dědu Mořeplavcovi všechno, co ho zajímalo, vzpomněl si ještě na jednu otázku, která vlastně taky neměla nic společného s účelem jeho návštěvy. Ale tak už to bývá. Octnete se v přátelském prostředí a povídáte a povídáte a nevšimnete si, že venku už proběhlo odpoledne a podvečer a večer a noc a půlnoc a těsně před rozbřeskem zjistíte, že jste velmi ospalí a unavení, a to do té míry, že všechny své důležité otázky raději odložíte do budoucna než byste se jimi začali zabývat. Pak konečně odcházíte. A můžou za to právě ty asociativní dotazy, které vás napadnou během různých vyprávění, asi jako tento Šedův: „A kdy, jak a proč vlastně well-Bloud zahořkl?“ Paní Kamak-sova měla s podobnými situacemi dost zkušeností. A taky měla hlad. Třikrát krátce zatleskala a Maks s Kamsem začali nosit na stůl a paní Kamak-sova Šedovi odpověděla.

Úloha č. 6

„Jednou byla v Lim-pivu Banánová party. Každý ze šesti well-Bloudů přinesl jednu libru banánů. Pak se banány rozdělily jednotlivým well-Bloudům tak, že každý dostal libru banánů, kterou přinesl nějaký jiný well-Bloud. Náš well-Bloud měl na starosti přiřazování banánů well-Bloudům. Musel si vybrat jeden z...“ paní KaMak-sova se náhle zarazila, nevěděla honem, kolik způsobů přiřazení banánů well-Bloudům tenkrát musel well-Bloud zvažovat. Starej Šed ji ale pohotově doplnil. Jak byste počet všech možných přiřazení určili vy?

„Nakonec se našemu well-Bloudovi podařilo banány rozdělit tak, že všichni byli spokojeni, a s úlevou se pustil do své porce banánů. No a samozřejmě se přejedl, protože well-Bloud nikdy neznal míru. Od té doby se na cukr v jakékoli podobě nemůže ani podívat. Je zahořklejší čím dál víc a den ode dne hůř a hůř nadává a mohutněji plive.“ Šed se probral ze zamyšlení nad well-Bloudovým osudem, někdy s tím něco udělá, ale teď zpátky k tématu. Podíval se na hodinky. Aha, tak jindy, pomyslel si. Poděkoval za večeři, rozloučil se, venku pohladil well-Blouda a vydal se domů. Než usnul, poctivě ještě vyřešil následující příklad z knihy hádanek.

Úloha č. 7

Máte dva různě velké čtvercové ubrousky. Jsou položeny přes sebe tak, že mají jeden vrchol společný. Aby větší ubrousek překrýval menší, musel by se otočit kolem společného vrcholu o třicet stupňů (viz obrázek). Spočtěte, jak velká je plocha, kterou překrývají oba ubrousky, jestliže strana čtverce většího ubrousku měří 12 palců.