Zadání 1. série 18. ročníku

Termín odeslání: 29. října 2002

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Zadání je k dispozici také ve formátu pdf.

---

Městečko Lasttown bylo vždycky malé a téměř zapomenuté. Kdo by se taky plahočil tak daleko na západ přes hrozivá Skaliska a kolem ještě hrozivějších a nebezpečnějších indiánských osad plných krvelačných Indiánů? Lidé v Lasttownu žili jednoduše, dlouho a spokojeně. Za klidných večerů vysedávali u ohňů a vyprávěli si příběhy, jež někdy zaslechli, a byli šťastni, že se jich žádná z těchto zajímavých příhod netýká osobně.

No a do téhle oázy klidu koncem Měsíce sklizně zavítal zde dosud neznámý, jinde ovšem velmi proslulý, ostřílený zálesák a pistolník zvaný Starej Šed. Pro Lasttown to byla pozoruhodná událost, protože sem během posledních dvaceti let vůbec nikdo nepřišel. A i pro Šeda byl Lasttown překvapením, neboť vůbec nepředpokládal a ani nikdy neslyšel o tom, že za Skalisky je vůbec nějaká osada, natož město.

Úloha č. 1

Šed byl natolik překvapen, že se rozhodl strávit v Lasttownu pár dní. První z jeho otázek byla, kolik obyvatel vlastně Lasttown má. Odpověď ho trochu zaskočila. V Lasttownu jste totiž na svou sebelépe formulovanou otázku nikdy nedostali přímou a často ani jednoznačnou odpověď. Ob-Chodník, kterého se zeptal, Šedovi prozradil, že v Lasttownu žije takový počet obyvatel, že jeho třetina je druhou mocninou nějakého přirozeného čísla a jeho polovina třetí mocninou jiného přirozeného čísla. Zároveň je počet Lasttowňanů nejmenší možné takové kladné číslo. Kolik obyvatel tedy Lasttown má?

Po kratší úvaze Šed našel řešení a protože měl radost, že sám počet obyvatel Lasttownu odhalil, a protože potřeboval nějaké náboje, rozhodl se, že je koupí u Ob-Chodníka. Narazil ovšem na další problém... V Lasttownu neznali dolary a zlatých nugetů měli tolik, že si jich příliš nevážili. Jednoduše Starej Šed neměl čím zaplatit. Ale i tuto nesnáz protřelý Ob-Chodník rychle vyřešil. Dal Šedovi úkol.

Úloha č. 2

Ob-Chodník zavedl Šeda ke třem nádobám s vodou. Přelil nejprve třetinu množství z první nádoby do druhé, potom třetinu množství z druhé nádoby do třetí, a nakonec opět třetinu množství z třetí nádoby do první. Načež v každé ze tří nádob zůstalo stejné množství vody. Ob-Chodník se usmál a řekl: „Dohromady je v těchto třech nádobách 36 čtvrtgalonů vody, můžeš mi říct, kolik vody bylo původně v každé nádobě?“ Jaký byl původní stav?

Šed se na chvíli zamyslel a pak odpověděl: „Můžu.“ A protože to náhodou byla správná odpověď, dostal požadované náboje. „Začíná se mi tu líbit,“ řekl si sám pro sebe. „S obyvateli je legrace a ještě tu nakoupíte skoro zadarmo“ Šed si nasadil klobouk a vyšel z obchodu. A málem zakopl o Šerifa. Okamžitě se omluvil a protože Šerif byl stejně jako ostatní obyvatelé Lasttown opravdový kliďas, vůbec se ho to nedotklo. Uvítal Šeda v Lasttownu, a protože -- na rozdíl od odpovědí -- prosby Lasttowňanů přímočaré byly, požádal Šeda o radu.

Úloha č. 3

„Potřebuji zavolat své pratetě, která bydlí v Lim-pivu. Jenomže si nemůžu vzpomenout na její číslo. Vím, že se její číslo skládá z pěti cifer a že je druhou mocninou přirozeného čísla. Dvě jeho cifry si ovšem nepamatuju, ale vím, že jsou navzájem různé.“ Načež podal Šedovi lístek s neúplným zápisem pratetina čísla \star10\star5. Kolik existuje takových čísel?

Šed pomalu začal místním vtipům a hádankám přicházet na chuť a tak, když zamířil do hospody, aby načerpal další informace, sám začal hádanky vymýšlet. Hned jeho první byla pro Lasttowňany trochu obtížná.

Úloha č. 4

Šed vzal obdélníkový list papíru ABCD o rozměrech |AB|=12 palců a |BC|=10 palců a přeložil ho tak, že vrchol B přejde do bodu E na úsečce AD a |AE|=4 palce (viz obr. 1). Jeho otázka zněla: „Jaký má obsah přesahující trojúhelník FGH?“

Obr. 1 Obr. 2

Lasttowňané využili své výhody, „víc hlav víc ví“ a nakonec nejasně a mlhavě, jak byli zvyklí, naznačili správnou odpověď. A hned též zadali Šedovi protiúkol.

Úloha č. 5

Jaký je obsah zahrádky vedle hospody, jestliže obsahy některých částí jsou uvedeny na plánku (obr. 2) a úsečky AB a LM jsou rovnoběžné?

Šed s velikým vypětím sil a s nemalým více než dodržením pitného režimu též velmi nejasně a rozmazaně odpověděl. Kupodivu opět správně, čímž si Lasttowňany naprosto získal a stal se velmi uznávaným a oblíbeným. Když se s bolestí hlavy druhý den probudil a pomalu si vybavil, co všechno se mu v Lasttownu přihodilo, uvědomil si, že Lasttown je přesně to, co celý život hledal. Kouzelná oáza klidu plná milých a zábavných lidiček. Proto se vypravil za Šerifem, aby ho požádal o příděl půdy nebo stavení a povolení zůstat.

Úloha č. 6

Šerif rád slyšel, že Starej Šed se nakonec chce usadit a ještě ke všemu v jeho Lasttownu. Přesto ale museli vyřídit nějaké formality. Aby směl zůstat, musel Šed nejprve podle tradice vyřešit úkol. Vylosoval si obálku a v ní byl teto úkol: „Najdi pěticiferné číslo, které má následující vlastnost: když škrtneš první dvě jeho číslice a připíšeš za zbylé tři osmičku, dostaneš třetinu původního čísla.“ Jak byste si s úkolem poradili vy?

Šed už měl v řešení podobných úloh praxi a proto povolení k trvalému pobytu dostal. Dále obdržel klíč od posledního-srubu-v-řadě a knihu hádanek, jíž musel být každý Lasttowňan vybaven. Celý den až do večera spolu s ostatními Lasttowňany oslavoval a před spaním si z knihy hádanek hned jednu hádanku přečetl a vyřešil, aby se mu lépe usínalo. A sice tuhle...

Úloha č. 7

Nechť A, B jsou dva protější vrcholy pravidelného 24-úhelníku. Urči počet jeho úhlopříček, které mají s úhlopříčkou AB společný alespoň jeden bod.

Dobrou noc!