Řešení je k dispozici také ve formátu pdf.

Úloha č. 1

Počet obyvatel označíme x. Platí 1\over3 x = j^{2} a 1\over2 x = k^{3}, kde j a k jsou přirozená čísla (j \neq k). Po úpravě dostáváme x = 3 j^{2}, x = 2 k^{3}. Tedy

(tato rovnice je důležitá a dále budeme pracovat pouze s ní). Protože j a k jsou přirozená čísla a levá strana je dělitelná třemi, musí být i pravá strana dělitelná třemi, tedy 2 k^{3} je dělitelné třemi. To ale znamená, že k^{3} je dělitelné třemi. To je možné pouze tehdy, je-li k dělitelné třemi.

Zapamatujme si, že k je dělitelné třemi, za chvíli se nám to bude hodit.

Obdobně platí, že j je dělitelné dvěma (3 j^{2} je dělitelné dvěma, tedy j^{2} musí být dělitelné dvěma, tedy i j). Je-li j dělitelné dvěma, potom musí být j^{2} dělitelné čtyřmi. A samozřejmě 3 j^{2} je také dělitelné čtyřmi.

Číslo 3 j^{2} je dělitelné čtyřmi, takže i 2 k^{3} je dělitelné čtyřmi (stále pracujeme s rovnicí (\ast)). To může nastat, jen je-li k^{3} dělitelné dvěma. Tedy k musí být dělitelné dvěma.

Jak už víme, k je dělitelné třemi. Navíc jsme právě zjistili, že k je dělitelné dvěma. Tedy k musí být dělitelné šesti. Nejmenší přirozené číslo dělitelné šesti je 6 (nulu nepovažujeme za přirozené číslo). Zkusíme tedy za k dosadit 6 a podíváme se, co to udělá: x = 2 k^{3} = 2 \cdot 6^{3} = 432, zároveň ale musí platit x = 3 j^{2} (a to tak, aby j bylo přirozené). Tedy 432 = 3 j^{2}, z toho j^{2} = 144 a j = 12.

Našli jsme dvě různá přirozená čísla j a k taková, že 3 j^{2} = 2 k^{3} = x. Zároveň víme, že x je nejmenší takové možné (protože dosazené k bylo nejmenší možné).

Můžeme tedy směle prohlásit, že Lasttown má 432 obyvatel.

Komentář: Vzorové řešení bylo zpracováno podle řešení Jana Musílka.

Úloha č. 2

Budeme postupovat odzadu. Po posledním přelití (stav 12-12-12 čg) zbývají ve třetí nádobě dvě třetiny vody, která tam byla před přelitím. Pokud dvě třetiny jsou 12 čg, pak přelitá třetina je 6 čg. Stav před posledním přelitím je tedy 6-12-18 čg. Podobně zjistíme, že při druhém přelití od konce se opět přelévalo 6 čg, neboť zbylé dvě třetiny ve druhé nádobě jsou 12 čg (tedy jedna třetina je 6 čg). Stav před druhým přelitím od konce je tedy 6-18-12 čg. Po prvním přelití tedy zbylo v první nádobě 6 čg vody, což jsou opět dvě třetiny původního množství, přelitá jedna třetina jsou 3 čg a původní stav je 9-15-12 čg.

Komentář: Za správné řešení s dobře popsaným postupem bylo 5 bodů, pokud byly v postupu menší nebo větší nedostatky 4 nebo 3 body, za uhodnutí řešení (ať už úplné nebo vycházející z neodůvodněných předpokladů) 2 body, za špatné řešení (obvykle předpokládající, že „jedna třetina je pořád stejná“) 1 bod za snahu.

Úloha č. 3

Úloha byla celkem jednoduchá. Jestliže hledané telefonní číslo končí 5 a je druhou mocninou přirozeného čísla, musí i toto přirozené číslo končit číslici 5. Proto se dá napsat ve tvaru 10n+5, což nám po umocnění dává 100n^{2}+100n+25. Je tedy vidět, že hledané telefonní číslo končí 25. Protože dvě neznámé cifry jsou navzájem různé, zbývá už jen 8 možností, jak může telefonní číslo vypadat (na prvním místě mohou být číslice 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9). Z těchto možností je pouze 11025 druhou mocninou přirozeného čísla. Telefonní číslo pratety je tedy 11025.

Komentář: Těm, kteří měli kompletní důkaz nebo výpis všech zkoumaných čísel, jsem dával 5 bodů. Čtyři body byly většinou za správný výsledek bez odůvodnění, že telefonní číslo končí 25. Další body jsem strhával, pokud se mi něco nezdálo nebo chybělo.

Úloha č. 4

Ze zadání víme (rozměry jsou v palcích): |AE|=4, |AB|=12, |BC|=10, |DE|=|BC|-|AE|=6.

Přeložením obdélníku se bod B zobrazí na bod E, proto je |EX|=|XB|. Obdobně platí |GH|=|HC| a |EG|=|BC|=10. Velikost úhlu AXE si označíme \alpha. Potom je velikost úhlu AEX rovna \beta=90\deg - \alpha a velikost úhlu DEF je 180\deg - 90\deg - \beta = \alpha. Dalšími výpočty získáme |\angle EFD| = |\angle GFH| = \beta a |\angle FGH| = \alpha. Trojúhelníky AXE, DEF a GHF jsou proto navzájem podobné.

Z trojúhelníku AXE lze podle Pythagorovy věty spočítat délku strany AX:

Potom |EX| = 12 - 16\over3 = 20 \over 3.

Z podobnosti trojúhelníků AXE a DEF vyplývá, že

a proto

Odtud |FG| = |EG|-|EF| = 10 - 15\over2 = 5 \over 2.

Z podobnosti trojúhelníků GHF a AXE je zřejmé, že

proto

Obsah pravoúhlého trojúhelníku FGH vypočteme jako součin délek obou odvěsen vydělený dvěma:

Obsah přesahujícího trojúhelníku je přibližně 4,17 čtverečních palců.

Komentář: V podstatě se daly vysledovat dvě skupiny řešitelů. První skupinu tvoří řešitelé, kteří se tímto nebo obdobným způsobem dostali ke správnému výsledku. Druhá skupina jsou ti, kteří si zadaný obdélník narýsovali a změřili. Protože v zadání nebylo napsáno, aby řešitelé příklad počítali, uznávala jsem protentokrát i tuto metodu, případně jsem strhávala bod za nepřesnost. Uvědomte si však, že se tak nikdy nemůžete dobrat přesného výsledku. Obdiv (nechvalný) mají i ti, kteří si našli, že jeden palec je 2,54 cm, všechny hodnoty naprosto zbytečně převedli na centimetry a po změření hodnot a spočítání obsahu vše opět převedli na palce. Většina řešitelů má problémy se zaokrouhlováním. Přestože mezivýsledky zaokrouhlovali na jedno až dvě desetinná místa, obsah vypsali až na pět míst.

Úloha č. 5

Výšku trojúhelníku ABC na stranu AB označíme v, výšku trojúhelníku LMC na stranu LM označíme v_{x} a výšku trojúhelníku KLM na stranu LM označíme v_{y}.

Z toho, že S_{\triangle AKL} = |AK| \cdot v_{y} \over 2 = 5, dostaneme |AK| = 10 \over v_{y}. Podobně protože S_{\triangle KBM} = 10, je |KB| = 20 \over v_{y}. Dohromady tak |AB|=|AK|+|KB|=30\overv_{y}. Dále víme, že S_{\triangle KLM}=|LM|\cdotv_{y}\over2=6. Odtud plyne, že |LM| = 12 \over v_{y}.

Protože AB a LM jsou rovnoběžné, jsou úhly BAC a MLC souhlasné. Trojúhelníky ABC a LMC jsou tedy podobné podle věty uu. Proto

neboli v=5\over2 v_{x}. Výšku v můžeme vyjádřit jako součet v_{x}+v_{y}. To znamená, že v_{y}=3\over2 v_{x}. Nyní už můžeme dopočítat obsah trojúhelníku LMC:

Úloha č. 6

Cifry v pěticiferném čísle si označíme abcde. Když z něho podle zadání škrtneme první dvě písmena a připíšeme na konec číslici 8, dostaneme číslo cde8, které má být jednou třetinu původního čísla. Neboli platí

Násobením dostáváme vlevo na místě jednotek e=4, neboť 3 \cdot 8 = 24. Dosadíme tuto hodnotu vlevo i vpravo

Z předchozího násobení nám zbyla 2 a 3 \cdot 4 + 2 = 14, proto je d=4. Opět dosadíme na obě strany

a pokračujeme v násobení, nezapomene přičíst 1 z minulého násobíme a dostaneme c=3 (protože 3 \cdot 4 + 1 = 13). Teď už lehce vypočítáme, že 3 \cdot 3448 = 10344. Hledané pěticiferné číslo je 10344.

Komentář: Za kompletní (správné) řešení s přehledným popisem postupu jsem udělovala 5 bodů. Pokud bylo řešení správné, ale postup byl složitý nebo jen naznačený v rozepsaných rovnicích, hodnotila jsem ho čtyřmi body. Tři body byly za správné řešení bez popsaného postupu a způsobu řešení nebo za správné řešení založené na zkoušení čísel v intervalu menším než je 10000 až 99999. Správně vypočtený příklad s náznakem toho, že řešitel násobil menší číslo číslem 3, byl za 2 body. Stejně hodnoceno bylo i uhádnutí čísla zkoušením všech pěticiferných čísel. Pokud řešitel měl jen výsledek bez jakéhokoliv popisu postupu, dostal 1 bod.

Úloha č. 7

Úsečka AB dělí dvacetičtyřúhelník na poloviny. Na každé polovině je 11 vrcholů různých od A a B. Když spojíme vrcholy z protějších polovin, protneme přitom úsečku AB, to je celkem 11 \cdot 11 úhlopříček. Dále musíme ještě započítat i úhlopříčky vycházející z vrcholů A a B. V obou případech je jich 20 (můžeme vést spojnici se všemi vrcholy až na dva sousední). A teď už zbývá započítat jenom samotnou úsečku AB. Alespoň jeden společný bod s úhlopříčkou AB má tedy $11 \cdot 11 + 2\cdot 20 + 1 = 162$ úhlopříček.

Komentář: Nejčastěji jste zapomínali na úhlopříčku AB. Ta má také alespoň jeden společný bod s AB (dokonce má všechny body společné). Často se též objevovala řešení, která za úhlopříčky brala pouze spojnice protějších bodů.

Opravovali: 1. Jiří Benc, 2. Stáňa Kucková, 3. Jan Blažek, 4. Věra Koudelková, 5. Katka Dobiášová, 6. Martina Chabadová, 7. Václava Kopecká.