Zadání 4. série 16. ročníku

Pikosobota proběhne dne 24. února 2001 od 10:00 do 15:00. Sraz je u východu stanice metra Nádraží Holešovice směrem k nádraží Praha-Holešovice (východ bez jezdících schodů).

Termín odeslání: 26. února 2001

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Amadeus s Bedřichem byli dobří kamarádi, žili ve městě Omnipolis, jezdili do školy, kde se ze všeho nejvíce těšili na hodiny matematiky (jak jinak). Právě teď se snažili projít vrátnicí Matice ilegální matematiky omnipoliské s dopisem záhadného obsahu od slečny učitelky.

„Kampak, hoši?“ okřikl je vrátný, který sice vypadal, že luští křížovku, nicméně byl ostražitější než pouštní ještěrka.

Ostražitost pouštních ještěrek je opravdu příslovečná. Posuďte sami:

Úloha č. 1

Pouštní ještěrka žije v čtvercové ohradě o straně dlouhé 2 om. Ve dvou protilehlých vrcholech a ve středu jedné strany čtverce je kůl, ke kterému se kdysi přivazovali velbloudi. Pouštní ještěrka je tak ostražitá, že se nepřiblíží ke kůlu blíže než na 1 om. Spočítejte, jak velká je plocha, na které se pouštní ještěrka žije. Průměr kůlu zanedbejte.

Amadeus začal suverénně: „Neseme ze Základní Euklidovy tajný do...
aúú.“ Bedřich nenápadně, leč silně kopl Amadea do nohy.

„Jdeme na konzultaci za panem profesorem Ludvíkem-Vanem. Ohledně komutativních aritmetických binárních operací na celých číslech.“ Amadeus zalapal po dechu, kam na to ten Bedřich chodí?

Úloha č. 2

Provedeme-li se dvěma celými čísly komutativní aritmetickou binární operaci násobení (tedy vynásobíme-li je) a jinou komutativní aritmetickou binární operaci sčítání (tedy sečteme je), dostaneme stejný výsledek. Jaké dvojice celých čísel splňují tuto vlastnost?

Vrátný se podíval přes obroučku brýlí: „Vy nejste MIMO?“

„My jsme přespouštní.“

„Tak se tady zapište do knihy návštěv, navlečte návleky a je to páté patro vlevo, třetí dveře vpravo.“ Vrátný se naklonil a zašeptal: „Dejte si pozor, on je poslední dobou nějaký divný,“ a spíše pro sebe dodal: „Ale to jsou ti matematici všichni.“

Úloha č. 3

V košíku s návleky je celkem 12 pravých a 12 levých návleků. Šest návleků je malých a 18 velkých, 8 jich je modrých a 16 zelených. Jaký nejmenší počet návleků musí Amadeus vytáhnout, aby měl jistotu, že si může navléci návleky stejné velikosti, stejné barvy a každý na správnou nohu? Úlohu řešte

• v případě, kdy víme, že z jednotlivých návleků se dá poskládat 12 dvojic, které si odpovídají barvou i velikostí,

• v případě, kdy nevíme, zda jednotlivé návleky tvoří páry.

„Jak to asi myslel, že jsou divní?“ zeptal se Amadeus, když v návlecích klouzali po schodech nahoru.

„Co já vím?“ ťukl se Bedřich růžovým dopisem do hlavy a se zájmem si prohlížel nástěnky, které hojně pokrývaly stěny chodeb. Nástěnky byly plné příkladů z různých oborů ilegální matematiky. Sem tam se objevilo i řešení. V nižších patrech se ještě sem tam našel příklad, kterému chlapci rozuměli.

Úloha č. 4

Zdůvodněte, že obsah nerovnoramenného trojúhelníka je menší než obsah rovnoramenného trojúhelníka, který má základnu stejně dlouhou jako je jedna ze stran nerovnoramenného trojúhelníka, jestliže oba trojúhelníky mají stejný obvod.

„Co tady ťapáte?“ ozval se za nimi hlas, který je snad stejný ve všech školách, hotelech, institucích, továrnách. Podívali se pod nohy a vše bylo jasné: Je čerstvě vytřeno a hlas za nimi patří uklízečce. „To tady můžu vytírat do potenciálního nekonečna. No jo, o nekonečno tu zakopávám na každém kroku. Stejně nevím, na co jim to je. Jen se na to práší ...“

Úloha č. 5

Uklízečka stojí na začátku před vchodem do místnosti (označeným šipkou). Danou místnost, která je rozdělená na čtverce, vytírá následujícím způsobem. Přejde do jednoho ze sousedních čtverců a pak vytře aspoň jeden ze čtverců, který s tímto čtvercem sousedí. Poté opět přejde do sousedního čtverce a vytře aspoň jeden z jeho sousedů. Tohle opakuje, dokud nemá vytřenu celou místnost. Pokud si pošlape již vytřené místo, tak ho musí vytřít znovu. Jak má postupovat, aby musela vytírat, co nejméně (pošlapala si co nejméně již vytřených míst)? Dva čtverce jsou sousední, pokud mají společnou jednu stranu. Šedá místa uklízečka nevytírá ani na ně nemůže vstoupit. Skončit může na kterémkoli místě na kraji místnosti a odtud pak vyjít ven a vytřít toto zbývající místo.

Uklízečka lamentovala asi ještě hodně dlouho, ale Amadeus s Bedřichem raději rychle pokračovali ve směru páté patro vlevo, třetí dveře vpravo. Po cestě je už nepotkalo nic zvláštního, nepočítám-li to, že Amadeus zobecnil několik ještě nevyřešených problémů na nástěnkách a Bedřich, když viděl, že s většinou příkladů ani nehne, spokojil se s počítáním schodů.

Úloha č. 6

Kolika různými způsoby lze vyjít schodiště o 12 schodech, pokud při každém kroku popojdeme o 1 nebo o 2 schody nahoru? Dva způsoby jsou různé, pokud existuje schod, na který jsme při jednom způsobu šlápli a při druhém ne.

Tak záhy dorazili do pátého patra. Před třetími dveřmi vpravo se na sebe podívali. Na dveřích byl nápis:

Matice ilegální matematiky omnipoliské

Katedra abakusů a počitadel

Prof. Ludvík-Van

</font name=helvetica>

A pod ním přilepený malý lísteček: V pondělí 26. 2. 20011 v 17:00 zasedá Abakusová standardizační komise, svá počitadla si vemte s sebou.

Úloha č. 7

Letopočet na lístečku je spletený. Jaký den ve skutečnosti bude 26. 2. 20011?

Poznámka: Přestupné roky jsou všechny, které jsou dělitelné čtyřmi a zároveň nejsou dělitelné stem. Výjimku tvoří roky dělitelné 400, které jsou přestupné.

Amadeus si odkašlal, Bedřich se nadechl a zaklepal na dveře. Ozvalo se: „Dále.“