Zadání 3. série 16. ročníku

Pikosobota proběhne dne 20. ledna 2001 od 10:00 do 15:00. Sraz je u východu stanice metra Nádraží Holešovice směrem k nádraží Praha-Holešovice (východ bez jezdících schodů).

Termín odeslání: 22. ledna 2001

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Za Amadeem a Bedřichem zaklaply dveře kabinetu slečny učitelky a jejich zvuk se zlověstně a tajemně nesl prázdnou školní chodbou kolem nástěnek a vitrín, čímž se vytvářela hlubokomyslná ozvěna -- znamení něčeho nenadálého. Oba hoši měli ve tváři poněkud zmatený a možná až překvapený, ale v každém případě odhodlaný, neústupný a rozhodný výraz, ve kterém se dala vyčíst rytířská a nezlomná touha lidí, kteří se nebojí vyjít vstříc něčemu nečekanému, a dost možná i velmi nebezpečnému...

Úloha č. 1

V bitvě bojovalo celkem 100 bojovníků, 21 z nich bylo sveřepých, 62 odhodlaných a 74 nelítostných. Sveřepých a nelítostných zároveň bylo 11, sveřepých a odhodlaných 6, odhodlaných a nelítostných 54, všechny 3 vlastnosti měli 4 bojovníci. Kolik bojovníků bylo jenom sveřepých a kolik jich nemělo žádnou z uvedených vlastností?

... uznávám, že jsem to s popisností trochu přehnal. Takže znova: Amadeus s Bedřichem vyšli z kabinetu a zavřeli za sebou dveře.

Amadeus držel v ruce dopis. „Donést dopis do Matice Ilegální Matematiky Omnipoliské (zkratka MIMO) je hračka,“ uvažoval nahlas Bedřich.

Úloha č. 2

Kolika tahy lze nakreslit tento obrázek obálky?

„Tam jsem se vždycky chtěl podívat, prý tam mají dvě různoběžky v rovině, které se neprotínají,“ přitakával Amadeus.

„A za jedno odpuštěné zkoušení ze zpěvu to stojí,“ konstatoval Bedřich. „Co jen v tom dopise může být?“

„Asi žádost o nová kuličková počitadla, ta naše jsou již dosti ošoupaná,“ těšil se Amadeus.

Úloha č. 3

Kuličkové počitadlo má buď 5 nebo 6 úrovní. V každé z nich pak je 3, 4 nebo 5 kuliček. Kolik celkem takových různých počitadel existuje? Počitadla jsou různá, pokud mají různý počet úrovní nebo aspoň v jedné úrovni mají různý počet kuliček.

„Žádost o počitadla bude v růžové obálce a navoněná Chanelem č. 5, to jistě,“ poznamenal Bedřich.

Amadeus si přičichl a pak vykulil oči, jako pokaždé, když mu dojde něco velmi překvapivého. Naposledy byl takto spatřen, když mu Bedřich dokázal, že existuje nekonečně mnoho prvočísel.

Úloha č. 4

Existuje liché prvočíslo p takové, že součin (p-1) \cdot p \cdot (p+1) není dělitelný 24? Svou odpověď zdůvodněte.

„Ty myslíš, že...“ a zadíval se na obálku pozorně, „no jo, a víš, že to je možné?“ a ukázal Bedřichovi malé, sotva znatelné srdíčko.

Úloha č. 5

Spočtěte plochu srdíčka, víte-li, že r=0,15 op a jeho výška je v=0,55 op.

„Nicméně, tím spíše nesmíme slečnu učitelku zklamat,“ řekl Amadeus a dodal: „Na ta stará počitadla jsem si stejně už zvykl.“

Chlapci vyšli ze školy Euklidovou třídou(pozn. pod čarou: Tak jako u nás je každá druhá škola na Náměstí J. A. Komenského, nebo na Amosově nabřeží, nebo (přinejhorším) na Honzíkově cestě, omipoliské školy mají v adrese většinou něco podobného jako Thaletův kruhový objezd, Pythagorova kolmá, Archimedova podvodní a podobně.) přímo k hlavní budově MIMO.

Úloha č. 6

Tak například pan Euklides dokázal (mimo jiné), že součet poloměru kružnice opsané a poloměru kružnice vepsané v pravoúhlém trojúhelníku je roven polovině součtu délek odvěsen. Dokažte to také.

Cesta proběhla bez větších problémů. Takže si Amadeus opět musel nějaký problém vymyslet. (pozn. pod čarou: Zde vidíte, jaký je rozdíl mezi problémem obyčejným a matematickým. Zatímco obyčejný člověk se obyčejně obyčejným problémům snaží vyhnout, matematik matematické problémy přímo vyhledává.)

„Vzpomínáš, jak nám slečna učitelka vyprávěla o faktoriálech a na kolik končí nul?“

„No jasně, ale to nemůžeme teď dát,“ bránil se Amadeově snaze Bedřich, „vždyť to už bylo v minulé sérii a navíc si myslím, že to je v každém ročníku Pikomatu minimálně jednou.“

„No právě,“ kývl souhlasně Amadeus, počtu nul na konci faktoriálu mám plné zuby (a navíc je mám v malíčku), mě by spíš zajímalo, jestli se dá nějak rozumně určit, jaká je ta poslední nenulová číslice.

Bedřich se zastavil s tušením velkého problému. „Bez počitadla, chápeš?“ dodal Amadeus.

Úloha č. 7

Jaká je poslední nenulová cifra čísla $146! = 146\cdot145\cdot\cdots\cdot2\cdot1$?

Než se Bedřichovi podařilo ujasnit si alespoň zadání úlohy, stáli před Maticí Ilegální Matematiky Omnipolisu. Amadeus vzal za klepadlo a třikrát silně udeřil...