Zadání 1. série 16. ročníku

Pikosobota proběhne dne 7. října 2000 od 10:00 do 15:00. Sraz je u východu stanice metra Nádraží Holešovice směrem k nádraží Praha-Holešovice (východ bez jezdících schodů).

Termín odeslání: 9. října 2000

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Příběh o lásce (k matematice) a nerozdělitelném (prvočíselném) přátelství

Náš příběh se odehrává v neznámém městě Omnipolisu. Jeho historie je bohatá a nudná jako historie snad všech měst: město bylo založeno, vyhořelo, bylo obnoveno, obleženo a dobyto, znovu vyhořelo, znovu bylo obnoveno, zaplaveno, a tak pořád dokola.

Úloha č. 1

Tato fádnost historie byla dotažena do dokonalosti u města Vrané nad Amazonkou, které bylo založeno roku jedna. Od té doby každý sedmý rok vyhořelo (poprvé v roce sedm), každý devátý bylo zaplaveno a každý jedenáctý se přes něj přehnalo tornádo. Po každé katastrofě bylo obnoveno (pokud se ten rok konalo vícero katastrof, město se obnovovalo jen jednou). Kolikrát bylo Vrané nad Amamazonkou od svého založení do roku 2000 obnoveno?

V Omnipolisu žijí (mimo 16 534 jiných lidí) dva nerozluční kamarádi Amadeus a Bedřich. Na první pohled jsou to obyčejní kluci, ale už na ten druhý zjistíme, že to jsou neobyčejně správní kluci.

Každé ráno spolu chodí k autobusu, který je vozí do školy. Bedřich musí vstávat o celých pět minut dříve než Amadeus, protože musí projít parkem k zastávce autobusu. Bedřicha nebavilo chodit každý den stejnou cestou, a proto šel každý den jinudy. Vydrží mu tato zábava celý školní rok?

Úloha č. 2

Kolika způsoby může projít Bedřich parkem, aniž by se zdržoval (tj. půjde pouze na sever nebo na východ)?

B -- místo, kde vchází Bedřich,

A -- místo, kde na něj čeká Amadeus.

Než přijel školní autobus, měli Amadeus s Bedřichem spoustu času (starostlivé maminky je vypravily napřed a s časovou rezervou, však to znáte) a to znamenalo, že neměli do čeho dloubnout. Bedřich zrovna teď dloubal nohou do zápalek na zemi, až ze čtyř poskládal čtverec. Amadeus ho chvíli pozoroval a pak začal filosofovat: „Tři stejně velké čtverce bych dokázal poskládat i jen z 11 zápalek.“ Bedřich ani nezvedl oči a opáčil: „To bych dokazal i z desíti.“ Amadeus se nedal zahambit: „Tak když ty z desíti, tak já z devíti.“

Úloha č. 3

Má Amadeus pravdu? Lze z devíti zápalek složit 3 shodné čtverce? Lze z dvanácti zápalek složit 6 čtverců? Lze z šesti zápalek složit 4 shodné trojúhelníky? Pokud nevyřešíte všechny otázky, vyřešte alespoň některé. Zápalky nelze lámat.

Bedřich nestačil ani vykulit oči a už tu byl školní autobus.

Úloha č. 4

Autobus přijížděl pravidelně v 7:35. Pokud měl službu řidič Helixus Šnekypidus, jel autobus rychlostí 100 om/oh, (pozn. pod čarou: om/oh -- omnipolisská míle (asi 0,42195 km) za omnipolisskou hodinu (=60 omin=3600 os), jednotky SI sice do Omnipolisu dorazily, ale když viděly, jakými jednotkami omnipolisané měří, zděsily se a daly se na útěk.) jel sice podle omnipolisských předpisů, ale přijel pět minut po začátku první vyučovací hodiny. Pokud řídil řidič Rychlus Jakojaguarus, řítil se autobus Omnipolisem rychlostí 150 om/oh, což se Amadeovi a Bedřichovi sice líbilo, ale mělo to nevýhodu, že přijeli už pět minut před začátkem vyučování. V kolik hodin začínalo v Omnipolisu vyučování? Jak rychle má jezdit řidič Akoratus Včasoideus, který chce jezdit tak, aby byl před školou přesně, když začne vyučování?

Do školy jezdili Amadeus s Bedřichem celkem rádi (jako ostatně všechny děti na celém světe, že?). Ze všeho nejraději měli (jak taky jinak) matematiku.

A zrovna dneska dostali od slečny učitelky takový zajímavý příklad: Jaký je zbytek po dělení čísla 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 sedmi? Když jim ho slečna učitelka zadávala, Amadeus, jehož zvykem bylo úlohy si zesložiťovat, špitl Bedřichovi: „O lístek do cirku, že bys to nespočítal, kdyby tam těch dvojek nebylo šest, ale šest set šedesát šest tisíc šest set šedesát šest.“ Bedřich, jehož dobrým zvykem bylo úlohy řešit, nejprve napsal odpověď na původní úkol, pak se zamyslel, usmál se a řekl: „Platí.“ A myslel tím samozřejmě: „Platíš.“

Úloha č. 5

Jaký je zbytek po dělení čísla 2^{666666} číslem sedm? (pozn. pod čarou: 2^{666666} = 2\cdot2\cdot...\cdot2\cdot2 a těch dvojek je 666666)

Ale s některými jinými předměty to bylo horší. Například ruční práce. Zrovna dneska vystřihovali ubrus pro kruhový kamenný oltář v Chrámu na Diově třídě. Slečna učitelka si popletla poloměr s průměrem a tak byl ubrus poloviční (co do poloměru). Naštěstí jich iniciativně nechala udělat místo jednoho hned sedm. Snad to půjde zamaskovat.

Úloha č. 6

Lze sedmi kruhy o průměru 32 op (pozn. pod čarou: omnipolisský palec) pokrýt beze zbytku kruh o poloměru 32 op?

Taktéž hudební výchova jim dělala potíže. „Vyletěla columba (pozn. pod čarou: columba -- omnipolissky samice holuba) ze skály, ze skály, probudila mou panenku ze spaní,“ učil se Amadeus text písně, ze které měl být dneska zkoušený. Bedřich, který byl v abecedě až za Amadeem, se poškleboval: „A když uletěla jeednu míiíli byla přesně nad tvou paneenkou a to ve výšce jedné míiíle. Jak vysooká jee skáala?“ Amadeus se okamžitě přestal věnovat národní lidové tvořivosti a začal se věnovat tvořivosti Bedřichově: „To k řešení nestačí, ale kdybys třeba řekl, že moje panenka vidí vrchol skály pod úhlem řekněme ... no ... 30^{\circ}, moment ... jaká moje panenka ?“ Nechal všechny tvořivosti stranou a vrhl svoji pantofli po utíkajícím Bedřichovi.

Úloha č. 7

Panenka P vidí vrchol skály S pod úhlem 30^{\circ}. (pozn. pod čarou: Přímka PS svírá s vodorovnou rovinou úhel 30^{\circ}.) Z S vyletí holubice a přímočarým (po přímce) míli dlouhým letem se dostane na místo H, které je přímo nad P a to ve výšce jedné míle. Jinými slovy |SH|=|PH|=1 om. Určete výšku skály S.

V ten okamžik vstoupila do třídy slečna učitelka. „Amadeus a Bedřich! Až skončí hudební výchova, přijďte za mnou do kabinetu. A teď půjde Amadeus k tabuli a zazpívá Vyletěla columba ze skály ...“