Zadání 5. série 15. ročníku

Pikosobota proběhne dne 29. dubna 2000 od 8:30 do 18:00. Sraz je u východu stanice metra Nádraží Holešovice směrem k nádraží Praha-Holešovice (východ bez jezdících schodů).

Termín odeslání: 2. května 2000

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Dále se v knize psalo, že febtar nelze utrhnout přímo. Umí se totiž přemisťovat na jinou větev. Jediné, co musí splnit, je, že větev, na kterou se přemisťuje, je nad větví původní.

No ale to už jsme věděli, jak na to. Po pár minutách se febtar ocitl na vrcholu febtarovníku a byl náš. Nyní už jsme měli vše potřebné, abychom mohli konečně udělat přítrž Qwertyově tyranii.

Rychle jsme pospíchali k paláci. Zblízka vypadal opravdu hrozivě. Stáli jsme před obrovskou masivní bránou, která však byla zavřená. Všechny naše pokusy bránu otevřít zklamaly. Jeden z nás si všiml, že vedle brány je deset pák označených čísly 0 až 9 a že vedle nich je symbol klíče. Netrvalo dlouho a došlo nám, že potřebujeme znát správnou kombinaci, abychom se dostali dovnitř.

Úloha č. 1

Na první páce visel papírek s tímto textem: „Pro vstup potřebujete znát nejmenší číslo s právě 12 různými děliteli.“ Jaké je to číslo?

Brána se s rachotem začala otevírat a za ní jsme uviděli první nádvoří Qwertyova hradu. Bylo celkem nezajímavé. Všude byl nepořádek, jako by tudy už celé roky nikdo neprošel.

Tu si Šarti všiml něčeho nápadného na tvaru nádvoří. Spíše bych měl říct nenápadného, protože on byl jediný, kdo v téhle situaci mohl na něco podobného myslet.

Úloha č. 2

(pro 6. třídy) Nádvoří mělo tvar čtyřúhelníka o stranách 50 m, 50 m, 60 m a 80 m. Mohlo být ve tvaru lichoběžníka? Pokud ano, které z těchto délek mohou být délkami základen? Určete všechny možnosti.

Šarti nás touto myšlenkou docela pobavil. Nikdo z nás neměl čas myslet na takové nesmysly, jako byl tvar náměstí. Daleko více nás zajímal průchod, který se nacházel na druhé straně. Jelikož nikde jinde nic podobného nebylo, nezbylo nám nic jiného, než se k němu vydat. Jak se později ukázalo, byl to vchod na druhé nádvoří. Tady to vypadalo úplně jinak. Všude byly vlajky, ozdoby a erby -- prostě všechno, co má na správném nádvoří být. I stráže...
Z ničeho nic se před námi objevila desítka po zuby ozbrojených strážných a ten nejpozubyozbrojenější na nás mohutným hlasem zařval:

Úloha č. 3

„Kolika nulami končí číslo 135\cdot134\cdot133\cdot...\cdot3\cdot2\cdot1 ???!!!“

Poté, co jsme mu bryskně odpověděli, se všech deset zbrojnošů s pláčem a slovy: „To jsou první, co to uhádli...“ pomalu vrátilo na svá místa, aby dál hlídali hrad před matematickými loupežníky. Z druhého nádvoří už nevedla jiná cesta než do hradu samotného. Moc se nám tam nechtělo, ale když už jsme byli tak daleko, nechtěli jsme to vzdát (alespoň většina ne). Hrad uvnitř vypadal jako každý jiný hrad. Spousta dveří do spousty komnat. Všechny vypadají stejně a nikdy nikdo neví, která je ta správná. To byl i náš případ. V jedné z těch komnat určitě bude Determinant, který máme zničit, ale v které, to nikdo netušil.

Úloha č. 4

Vedle dveří každé místnosti bylo napsáno pod sebou šest číslic tak, že v žádné šestici nebyly tři stejné číslice těsně pod sebou. Kolik mohlo být nejvýše místností, když žádné dvě neměly stejné označení?

Tak jsme začali procházet jednu komnatu po druhé. Vešli jsme do první. Opravdu zvláštní místnost. Uvnitř to byl samý trojúhelník. Kam se člověk podíval, tam byl trojúhelník. Všude. Všechno mělo tvar trojúhelníka. Úplně všechno...

Úloha č. 5

V rovnostranném trojúhelníku o straně délky 100 m je rozmístěno 41 teček. Dokažte, že existuje kruh o poloměru 29 m, ve kterém se nalézá alespoň 11 z nich.

Zdálo se, že tady není po Determinantu ani památky. Co se dalo dělat. Museli jsme v hledání pokračovat. Myšlenka na to, kolik komnat v tomhle hradě ještě je, nás trochu děsila, ale věřili jsme, že štěstí stojí na naší straně. Při našem hledání jsme po spoustě nezajímavých místností narazili na jednu velice pozoruhodnou. Její dveře byly silnější než ostatní, a co bylo důležitější, nešly otevřít. Ani Aarl, takový statný válečník, s nimi nehnul, a to bylo na pováženou.

Úloha č. 6

(pro 6. a 7. třídy) Abyste mohli otevřít dveře, musíte v následujícím schématu nahradit hvězdičky číslicemi, aby byl zápis korektní:

$$	$$	$$	$$	\ast	$$	$$	\ast
$$	$$	$$	\cdot	$$	$$	\ast	$$	$$	\ast
$$	$$	$$	\ast	$$	1	$$	\ast
$$	$$	\ast	$$	$$	\ast	$$	$$	\ast
$$	9	$$	\ast	$$	$$	\ast	$$	$$	\ast

Zdálo se, že stojíme u cíle. Nacházeli jsme se totiž v sále s jezírkem uprostřed -- přesně tak, jak to líčila Cenova kniha. Uprostřed ležel Determinant. Vypadal, jako kdyby ................. (zde se deník nedochoval) ................. a při troše fantazie si ho bylo možno představit jako ................. (zde se deník nedochoval) ................. Dali jsme se do práce. Aarl vytáhl z torny febtar a vrhl ho přesně tak, jak měl. Jakmile se febtar dotkl Determinantu, okamžitě se rozpadl na milion kousků, které se za velikého rachotu rozletěly do okolí. To znamenalo konec Qwertyho moci. Jenže ještě nebyl našim starostem konec. Celý hrad se začal pomalu bortit. Odhadoval jsem, že pokud do tři čtvrtě hodiny neutečeme, spadne nám na hlavu.

Úloha č. 7

Máte dva doutnáky, každý hoří přesně hodinu, ale ne rovnoměrně. Navíc každý doutnák může hořet jinak nerovnoměrně. Jak odměřit 45 minut pomocí libovolného množství sirek (a škrtátka)?

Celkem rychle jsme se dostali na bezpečnou vzdálenost od hradu a pozorovali, jak se z něj pomalu ale jistě stává hromada trosek. Spolu s pádem poslední věže zmizela i poslední špetka Qwertyho moci. Všichni jsme se ocitli zpět v naší vesnici a vše bylo takové, jako by se nic nestalo. Jako by vše, čím náš lid prošel, bylo vymazáno. Zase jsme byli ve své vesnici, všichni vypadali šťastně a vesele. Byl tu i Cen a všichni, které jsme cestou potkali. Prostě zas bylo vše tak, jak má být. A tak jsme se skoro začali nudit. Naštěstí si Zindu vzpomněl na jednu úlohu.

Úloha č. 8

V trojúhelníku ABC je úsečka DE rovnoběžná s BC tak, že $D \in AB, E \in AC, |AD|=7 cm a |AB|=10 cm. Obsah trojúhelníka ADE$ je 20 cm^{2}. Jaký je obsah trojúhelníka ABC?