Zadání 4. série 15. ročníku

Pikosobota proběhne dne 18. března 2000 od 10:00 do 16:00. Sraz je u východu stanice metra Nádraží Holešovice směrem k nádraží Praha-Holešovice (východ bez jezdících schodů).

Termín odeslání: 20. března 2000

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Jen jsme se vyhrabali z jednoho pekla a už tu na nás čekalo další. Jelikož opět nikdo nevěděl, co nás může potkat, vytáhl jsem znovu historickou knihu a nalistoval heslo „Země neživých“. Stálo tam: „Země neživých byla v dávných dobách spojena se Zemí nemrtvých v jednu velkou Zemi nesmrtelných. Pak ale přišli cizinci a objevili způsob, jak nemrtvé zabít, a tak se od nich neživí odtrhli. Neživé se totiž nikomu nikdy zabít nepodařilo.“ Zvláště poslední věta nás „trochu“ znepokojila. Dále psali, že neživí chrání velkého Qwertyho, jehož palác sídlí v samotném srdci této říše.

Úloha č. 1

Země Nesmrtelných měla tvar čtverce složeného z 13\times13 malých čtverečků. Byla rozdělena do 13 čtvercových částí (okresů), jejichž hranice procházely jen hranicemi malých čtverečků. Navrhněte alespoň jeden způsob, jak mohla být Země rozdělena.

Bylo jasné, že pokud se nikomu nepovedlo zabít neživého po tak dlouhou dobu, my to určitě nevymyslíme. Jenže dole na stránce byla rukou připsaná poznámka pod čarou, (pozn. pod čarou:

„Hmm... nejnebezpečnější zbraň, hmm...“ dumal každý z nás. Co by to asi mohlo být? Když tu najednou někdo, už si ani nevzpomínám, kdo to byl, zvolal: „To je přece mozek!!!“ A měl pravdu. Chytrostí se dá zvítězit mnohdy i nad sebesilnějším protivníkem. Tak už jsme věděli, co nás na té cestě bude čekat. Co jsme nevěděli, bylo, kudy ona cesta vede. Na to však slibovala odpověď druhá poznámka pod čarou, která pravila:

Úloha č. 2

„Strážní věž, útočná věž a obranná věž, které jsou zdaleka vidět, tvoří vrcholy rovnostranného trojúhelníku. Vchod do sluje je v bodě, který má tuto vlastnost: Součet jeho vzdáleností od všech tří věží je nejmenší možný.“ Kde se tento bod nachází? Své tvrzení zdůvodněte.

Vydali jsme se na cestu podle knihy. Míjíme lesík, pár rybníků a najednou před námi stojí obrovská skála a v ní vchod do sluje. Nic jiného to nemohlo být. Byli jsme u cíle. Vlastně u startu. Cesta do Qwertyova paláce byla otevřená. Alespoň jsme si to v tu chvíli mysleli. Neměli jsme v tu chvíli ani tušení, co všechno nás uvnitř potká ...

Nebyla ale jiná možnost. S neživými se nikdo z nás tváří v tvář nechtěl setkat, takže nám zbývala jen ta tajemná sluj.

Úloha č. 3

Vchod do sluje má tvar pravidelného 24úhelníku. Kolik je všech pravoúhlých trojúhelníků s vrcholy ve vrcholech tohoto 24úhelníku?

Pomalu, s jistou dávkou strachu, jsme vkročili do sluje. Stáli jsme v chodbě asi 5 metrů široké, ale na konec nebylo vidět. Jak jsme pokračovali dál a dál, před námi se začalo objevovat malinké světélko, které postupně sílilo.

Po stěnách chodby byly namalované tisíce obrázků, které líčily celou historii nemrtvých a neživých, jejich společné soužití i příčiny pozdějšího rozdělení. Opravdu zajímavá podívaná. Byla zde také zachycena tato chodba. Pochopili jsme, že sloužila jako tajný východ z paláce pro případ nouze. Aby se však nikdo nemohl touto cestou dostat na hrad, je tu pro něj nachystáno několik „překvapení“, které mu mají v jeho konání zabránit.

Tu už byl konec chodby a my měli před sebou obrovskou jeskyni s nádhernými krápníky všude kolem. Bystrý Lekos si ale všiml zajímavější věci:

Úloha č. 4

Na stěně jeskyně byla světelná číslice složená ze sedmi zářivek (taková, jakou známe z displejů kalkulátorů a digitálních hodinek). Z těchto zářivek však byly dvě pokažené a nesvítily. Přesto bylo možno vždy rozlišit, která číslice má zrovna svítit. Které zářivky byly poškozené?

Poznámka: Číslice měly tento tvar:

Když jsme celkem v poklidu prošli jeskyní, čekala nás opět -- co jiného než cesta temnou chodbou, tentokrát už bez ilustrací. Zato co nás čekalo uprostřed... První problém byl před námi. Qwerty asi moc dobře věděl, že jeho tajnou chodbu budou chtít prozkoumat i nepovolaní, tak sáhl k tomuto opatření.

Uprostřed chodby seděli dva nebezpečně vypadající strážci. Protože chodbou se málokdy odvážil někdo projít, aby se nenudili, stříhali strážci volební lístky. Na každém volebním lístku bylo jediné jméno: Qwerty.

Úloha č. 5

Na jednom papíře bylo pod sebou vytištěno šest volebních lístků. Strážci při stříhání hráli tuto hru: V každém tahu si jeden ze strážců vzal obrovské nůžky a některé z dílů, které již byly v této hře nastříhány (na začátku vzal jediný díl -- celý papír se šesti lístky), položil je přes sebe (to jen v případě, že si vzal více nastříhaných dílů; může si však vždy vzít jenom jeden a v tom případě stříhá jen jeden) a jednou střihl. Stříhat mohl jen po čáře oddělující jednotlivé lístky, avšak i více lístků najednou, pokud si je položí na sebe. Po jednom střihu předá nůžky a nastříhané papíry druhému strážci.

Ve hře vítězí ten, po jehož střihu je papír rozdělen na šest právoplatných volebních lístků. Může některý ze strážců stříhat tak, aby vždy vyhrál?

Když jsme strážcům prozradili řešení předcházející úlohy, začali se hádat, kdo bude začínat, a nechali nás nepozorovaně proklouznout kolem sebe.

Jak jsme pomalu procházeli chodbou, přepadly nás náhle vzpomínky na naši rodnou vesnici. Na všechny, kteří nevědí, jestli jsme ještě naživu nebo ne, na naše ženy a děti. A ovšem nesmím zapomenout na našeho šamana, který pro nás udělal asi nejvíce ze všech. Staral se o naši vesnici, chránil ji a díky němu vládl ve vesnici klid a pořádek. Všichni jsme doufali, že své blízké zase brzy uvidíme, až splníme to, co jsme Cenovi a všem jeho přátelům slíbili.

Asi bychom v těchto rozpravách pokračovali navěky, kdybychom se už neblížili k výtahu na povrch. Konečně.

Úloha č. 6

Nacházeli jsme se 73 pater pod povrchem. Ve výtahu byla tři tlačítka: Stisknutí prvního způsobilo, že výtah popojel o 4 patra nahoru; druhého, že sjel o 6 pater dolů; třetího, že vyjel o 9 pater nahoru. Na jaký nejmenší počet stisknutí tlačítek jsme se mohli dostat na povrch?

Poznámka: Výtah nemohl jet níž, než kde jsme začínali, ani výš, než na povrch. Pokud by stisknutí tlačítka mělo něco z toho způsobit, výtah nic neudělal.

Před námi se v dálce rýsoval Qwertyho palác. Opravdu mohutný a už z dálky nahánějící hrůzu. Nyní byla cesta k paláci volná.

Pomalu jsme se přibližovali k paláci, který čím dál tím více naháněl hrůzu. Lekos si při prohlížení paláce všiml velice zajímavé věci:

Úloha č. 7

(pro 6. třídy) Počet oken paláce bylo dvojciferné číslo, z kterého, když ho přečteme pozpátku, dostaneme číslo 4,5 krát menší. Které je to číslo?

Najednou jsem si vzpomněl, že na zničení Determinantu potřebujeme kouzelný febtar. Nikdo z nás nevěděl, kde ho můžeme najít. Náhoda, jako už mnohokrát, stála na naší straně a před námi se vynořil kouzelný febtarovník a na něm úplně nahoře visel jediný febtar. Popadaných jich bylo sice hodně, ale my jsme věděli, že jakmile se febtar dotkne země, ztratí svou kouzelnou moc.

Rozhodli jsme se, že ten nejmenší z nás bude muset vyšplhat nahoru a přinést febtar. Zindu tedy vylezl na febtarovník, ale jakmile natáhl ruku pro febtar, ten se najednou přemístil na jinou větev. Bylo to zajímavé. Nicméně Zindu zase došplhal k febtaru, ale situace se opakovala. Usoudili jsme, že se na to musí jít hlavou. Podíval jsem se do Cenovy knihy, co píšou o kouzelných febtarovnících. Bylo tam napsáno:

Úloha č. 8

(pro 6. a 7. třídy) „Febtarovník se větví takto: Ze země vyrůstá kmen, z něj dvě větve, z každé z nich tři větve, z každé z nich čtyři větve, z každé z nich pět větví a z každé z nich šest větví.“ Kolik měl febtarovník celkem větví?

Co se v Cenově knize psalo o obírání febtarů, se dozvíte až příště.