Zadání 3. série 15. ročníku

Pikosobota proběhne dne 12. února 2000 od 10:00 do 15:00. Sraz je u východu stanice metra Nádraží Holešovice směrem k nádraží Praha-Holešovice (východ bez jezdících schodů).

Termín odeslání: 14. února 2000

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Čím víc jsme se vzdalovali od Cenova obydlí, tím více se v nás vynořoval pocit úzkosti a obav nad tím, co nás všechno potká. Nebýt Lekosových laciných vtípků, nikdo z nás by nepronesl ani slovo. Každý si uvědomoval, před čím stojíme. Naštěstí s námi Cen ještě před odchodem hrál zajímavou hru a my jsme ještě po cestě vymýšleli, jak ji nejlépe hrát. Díky tomu nás tolik netížily chmury a obavy z naší cesty.

Úloha č. 1

Na začátku je na hromádce 12 kuliček. Dva hráči střídavě odebírají podle své libovůle dvě nebo tři kuličky. Pokud na hromádce zůstane jediná kulička, hra končí remízou, jinak vyhrává ten hráč, který odebere poslední kuličky. Existuje způsob, kterým si nezačínající hráč zajistí výhru? A co začínající hráč?

Poznámka: Ve správném řešení by měla být nejen odpověď, ale také strategie, jak má daný hráč hrát, aby vždy vyhrál, a taky zdůvodnění, že pokud takto bude hrát, pak vždy vyhraje (ať druhý hráč hraje jakkoli).

Cesta nám ubíhala docela rychle. Pomalu jsme si začali zvykat na anomálie, které nás cestou potkávaly, a tak nás jen tak něco nemohlo rozházet. Alespoň nám to tak připadalo. Krajina kolem nás se začala pomalu ale jistě měnit do tmava. Slunce bylo vidět čím dál méně, protože bylo zakrývané stále silnější vrstvou nějakých podivných oblaků. Neklamné znamení, že jdeme správným směrem. Ale náš pocit se nepotvrdil. Ocitli jsme se na rozcestí a nikdo z nás nevěděl, který směr je správný. Jediné, co nám mohlo pomoci, byl rozcestník, který stál přesně uprostřed. To, co na něm bylo napsané, nám však moc neřeklo. Bylo to v nějakém neznámém jazyce, kterému nikdo z nás nerozuměl. Když tu ... „Mám to!!! Přišel jsem na to! Jsem dobrý“ To byl Lekos. Zjistil, jakým jazykem je text napsán. Šlo o zvláštní abecedu. Měla jen čtyři písmena, a to M, R, A, S. Zajímavé bylo, že tento jazyk obsahoval slovo, ve kterém se daly přečíst všechny možné dvojice písmen.

Úloha č. 2

Kolik nejméně písmen může mít takové slovo? Uveďte příklad takového slova a zdůvodněte, že je nejkratší.

Poznámka: Pod pojmem přečíst nějakou dvojici písmen ve slově máme na mysli, že tato dvojice písmen se ve slově vyskytuje hned za sebou a ve správném pořadí. Tak například ve slově MARS lze přečíst tři dvojice písmen, a to MA, AR a RS.

„No jen doufejme, že máš pravdu,“ řekl nevěřícně Aarl.

„To se zvládne,“ odvětil Lekos. „Jdeme“ Nic jiného nám vlastně nezbývalo, a tak jsme museli Lekosovi důvěřovat.

Od cedule nás dělilo jen několik set metrů a už tu bylo další překvapení. U cesty stála cedule a na ní nápis: Země nemrtvých, živým vstup zakázán. To už ale Šarti nevydržel a chtěl se otočit a jít zpět. Přesvědčili jsme ho, aby nepanikařil a šel ještě kousek dál. Došli jsme až k ceduli a uviděli tam plánek. Byla na něm znázorněna Země nemrtvých (měla tvar trojúhelníka) a Země živých (ta měla tvar konvexního čtyřúhelníka). Zajímavé bylo, že tyto dvě země měly neprázdný průnik, a to ve tvaru mnohoúhelníka.

Úloha č. 3

(pro 6. třídy) Kolik mohl mít tento mnohoúhelník stran? Uveďte všechny možnosti.

Šarti se stále ještě chtěl vrátit, Aarlova paže však byla zřejmě proti, a jelikož je Aarl asi dvakrát vyšší než Šarti, moc dlouho se nehádali. Teď už začínalo jít do tuhého. Vstupovali jsme poprvé do míst, která ještě nikdo z Emanů neviděl. Nikdo nemohl vědět, co nás tam bude čekat, ale museli jsme tam. Napadlo mě, že by zmínka o nemrtvých mohla být v knize, kterou nám Cen dal. A vskutku. Psali, že „nemrtví jsou bytosti, které existují mezi životem a smrtí. Stejně jako matematické věty bez důkazu. Jediné, co je může poslat na věčný odpočinek, je, když se před ně nakreslí pravoúhlý trojúhelník a dokáže se před jejich zraky Pythagorova věta. Pak nemrtví dosáhnou klidu.“ Hned pod úryvkem byl uvedem ukázkový důkaz, který si každý z nás dobře zapamatoval. Jedna věc nás ale překvapila. Zdálo se totiž, že Cen nejspíš navštívil říši nemrtvých. Na okraji knihy bylo totiž tužkou poznamenáno: „Na některé nemrtvé však Pythagorova věta nestačí. Je potřeba před nimi bez dlouhého počítání sečíst všechna lichá čísla menší než 100.“ Bohužel zde již chyběl návod, jak to provést, neboť: „Tento okraj je příliš malý na to, aby jej mohl obsáhnout.“

Úloha č. 4

Dokážete určit součet daných čísel, aniž byste je pracně sčítali?

Nyní jsme mohli pokračovat v cestě. Vstoupili jsme do říše nemrtvých. Bylo celkem logické předpokládat, že první tvor, na kterého narazíme, bude nemrtvý. Opak byl pravdou.

Na obzoru se nám zjevila chatrč veliká akorát tak pro jednoho člověka (nebo nemrtvého). Každý si v duchu převykládal důkaz Pythagorovy věty a pak jsme se začali velice opatrně přibližovat. V tu ránu se rozletěly dveře a objevil se v nich asi jeden a půl metru vysoký chlapík a začal před nás kreslit trojúhelník a psát nějaké vzorce. Totéž napadlo i nás, a tak nám trvalo pár minut, než se vše vysvětlilo. Alespoň prozatím. Velice dobře jsme měli v paměti Cenova slova, a tak, když nám ten člověk řekl, že je taky Eman jako my, Aarl rozhodl, že si ho vyzkoušíme. Jako správný obyvatel Emě musí umět matematiku. Dostal od nás na zkoušku tento příklad:

Úloha č. 5

Najděte všechna přirozená čísla, jejichž ciferný součet je 6.

Kupodivu se prokázalo, že je to opravdu Eman. Na otázku, proč žije zde mezi nemrtvými, odpověděl, že se mu tu žije dobře. Jakmile nemrtví objevili, že je umí zabít, tak ho nechali na pokoji a prý si s nimi začíná i rozumět.

„To je ale podivín,“ pomyslel jsem si. „Vy jste ale podivín,“ pronesl Aarl nahlas. On si taky nic nenechá pro sebe.

Nabídku prohlídky chatrče jsme zdvořile odmítli, neboť nám bylo jasné, že by trvala stejně jen pár vteřin. Navíc nás poněkud poděsila ohrada plná zvláštních tvorů. Pásly se v ní čtyři druhy domácích zvířat. Aleoni měli pět nohou, tři hlavy, dvě uši a nula nosů. Třpytníci měli osm nohou, jednu hlavu, žádné uši a jeden nos. Hbitníci byli vybaveni 21 nohami, dvěma hlavami, ale zato neměli vůbec žádné uši ani nosy. Plašníci měli jednu hlavu, tři uši, jeden nos a žádné nohy.

Úloha č. 6

Kolik bylo v ohradě tvorů jednotlivých druhů, víme-li, že na louce bylo 289 nohou a 41 hlav a uší tam bylo stejně jako nosů?

Po krátkém rozloučení jsme se ocitli opět na cestě. Další překvapení na sebe nedalo dlouho čekat. Tentokrát ale nebylo příjemné. Z ničeho nic se kolem nás objevilo několik nemrtvých. Kde se tu vzali? Tuto otázku si kladl každý z nás. Jejich popisem vás nebudu unavovat, protože pokud bych zde napsal, jak opravdu vypadali, určitě byste zavřeli tento deník a šli řešit jiný korespondenční seminář. Faktem zůstává, že tu byli. A netvářili se nijak příjemně. „Příklad nebo život“ zařval nejstatnější z nich tak silně, až se země otřásla. Krve by se v nás v tu chvíli nedořezal.

Pochopili jsme, že budeme muset zase počítat. Bylo nám jasné, že nám nic jiného nezbývá, jelikož tolik nemrtvých bychom asi nestihli zabít důkazem, a tak Lekos řekl: „Příklad.“

Úloha č. 7

(pro 6. a 7. třídy) Rozdělte útvar na obrázku na 7 stejných částí tvarem i velikostí.

Jelikož naše úloha nemrtvé docela zaměstnala, stačili jsme se velice nenápadně a hlavně rychle vzdálit a pokračovat svižným krokem dál.

Po obou stranách cesty se nabízel pohled na říši nemrtvých v celé její kráse. Nejvíce nás zaujaly tmavé močály, kterých bylo opravdu nepočítaně. Více jsme se o ně začali zajímat, když se nám jeden z nich postavil do cesty. Nešlo ho ani obejít, ani přeskočit. Vedla přes něj jen úzká stezka. Vstup na ni však hlídali strážci, kteří povolili vstoupit jen tomu, kdo dokáže pokrýt šachovnici 6 \times 6 obdélníčky 4 \times 1. Po chvilce přemýšlení Zindu řekl, že tudy cesta nevede, a vydali jsme se skrz močál.

Úloha č. 8

Je možné pokrýt danou šachovnici výše uvedenými obdélníčky tak, aby se nepřekrývaly? Své tvrzení zdůvodněte.

Močál se každému z nás s většími či menšími potížemi podařilo překonat a v dálce se nám zjevila u cesty cedule s nápisem: Konec Země nemrtvých. To v nás probudilo poslední zbytky sil a za chvíli jsme stáli mimo tohle tajemné místo. Všem nám spadl obrovský kámen ze srdce. První překážka cesty za kouzelným Determinantem byla za námi.

Veselá chůze a zpěvná nálada nás velice rychle přešly, když se za pár desítek metrů objevila u cesty cedule s nápisem: Země neživých, živým vstup zakázán ...