Zadání 2. série 15. ročníku

Pikosobota proběhne dne 8. ledna 2000 od 10:00 do 15:00. Sraz je u východu stanice metra Nádraží Holešovice směrem k nádraží Praha-Holešovice (východ bez jezdících schodů).

Termín odeslání: 10. ledna 2000

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Lekos byl totiž pověstný svou nešikovností, která ho nezradila ani teď. Po asi šesti přelitích se jedna z nádobek nečekaně rozloučila s jeho rukou a po dopadu na zem se bleskurychle proměnila v nepřeberné množství střepů, které se rozletěly po celé místnosti. Náš napůl škodolibý smích nás ale rychle přešel ve chvíli, kdy se ve dveřích objevila asi dvoumetrová postava. Na Lekosově čele se objevila krůpěj potu. „Dobrý večer přeji,“ pronesl Lekos stoje nad dílem své neopatrnosti a doufal, že si cizinec nevšimne toho, co by stěží přehlédl i slepý.

Cizinec se pomalým krokem blížil k nám, a kdyby nebylo praskajících střepů pod jeho nohama, které bičovaly uši nás všech, pohyboval by se vcelku neslyšně. Jak jsem tak pozoroval všude okolo ležící střepy, všiml jsem si, že několik z nich je uspořádáno tak, že tvoří trojúhelník (tj. střepy tvořily několik řad, tak že v první byl jeden střep, ve druhé dva, ...). Srdce mi bušilo a mozek pracoval na plné obrátky, ale místo aby přemýšlel, jak z této prekérní situace ven, přišel na to, že střepy uspořádané do trojúhelníka by šlo přeuspořádat do čtverce tak, že by žádný nechyběl ani nepřebýval.

Úloha č. 1

(pro 6. třídy) Kolik střepů tvořilo onen trojúhelník, víte-li, že šlo o největší počet nepřevyšující 100, který mohl být uspořádán do čtverce i trojúhelníka?

Nakonec se neznámý zastavil před Lekosem, sundal si kápi, která až doposud zakrývala jeho tvář, a hlubokým hlasem pravil: „Nic se nestalo, stejně to nebyl důležitý pokus.“ Kdyby bylo v tu chvíli slyšet rachot, se kterým všem spadl kámen ze srdce, zbořil by asi celé stavení.

Všichni jsme pak usedli ke stolu a nad lahví dobrého vína nám cizinec začal vypravovat svůj příběh. Dozvěděli jsme se, že se nejedná o žádného cizince, ale že máme tu čest se samotným vnukem našeho mistra a učitele. Po nešťastné smrti rodičů začal pokračovat v tom, co jeho děd započal. Cen-Ij-Arků, tak se náš přítel jmenoval celým jménem (ale všichni jsme ho oslovovali Cen), nás provedl po zbytku svého obydlí a postupně vysvětloval, na čem zrovna pracuje. „A tento problém řeším zrovna nyní,“ řekl a ukázal na hromadu hustě popsaného papíru. Jednalo je v podstatě o toto:

Úloha č. 2

V čtyřstěnu ABCD platilo

Určete, kde v trojúhelníku ABC leží bod X takový, že všechny tři úsečky AX, BX, CX jsou kolmé na úsečku DX.

Poznámka: Řešením této úlohy by měl být způsob, jak bod X v trojúhelníku ABC najít (tedy popis konstrukce), a zdůvodnění, proč je konstrukce správná.

Potom, co jsme vyslechli pozorně Cenův výklad, se Šarti rozhodl, že vyzve Cena na partii dámy. Jelikož oba dámu zbožňovali a dopracovali se k velkému mistrovství, ihned usedli ke stolu a začali hru. Jenže Šarti zapomněl, že v těchto končinách není dáma jako dáma. Po půlhodině Cenova vysvětlování pravidel všichni kromě Šartiho začali zívat, a tak nám Cen, abychom se tak nenudili, zadal následující úlohu.

Úloha č. 3

Na šachovnici jsou v základním postavení pouze bílé kameny. Po jakém největším a nejmenším počtu tahů (dle běžných pravidel dámy s tou výjimkou, že po dosažení poslední řady se pěšec nemění v dámu, a tedy nemůže již dále táhnout, a že se v tazích hráči nestřídají, neboť na šachovnici žádné černé figurky nejsou) se kameny ocitnou v pozici, v níž neexistuje žádný možný tah?

Poznámka: V základní pozici je osm bílých kamenů na černých políčkách prvních dvou řad.

Hra trvala neskutečně dlouho, a tak není divu, že ostatní během ní postupně usínali. I já jsem nakonec podlehl. Přece máme právo na trochu odpočinku po tak perném dni!

Jakmile první z nás otevřel druhého dne oči, bylo již téměř poledne a z kuchyně se linula vůně čerstvě upečených tvarohových buchet. Cen byl nejen vynikající vědec, ale i výborný kuchař. Okamžitě jsme vstali a hnali se ke stolu. Buchty však vypadaly jinak, než jsme je znali z normálního světa. Nebyly jako bochánky, ale měly tvar krychlí, obyčejných krychlí! Při bližším pohledu jsme zjistili, že jednu buchtu tvořilo vždy 27 buchtiček (3 \times 3 \times 3) tvaru menších krychliček.

Úloha č. 4

(pro 6. a 7. třídy) Na jaký nejmenší počet řezů lze buchtu nakrájet na jednotlivé buchtičky, smíme-li po provedení řezu jednotlivé plátky libovolně přesouvat?

Poznámka: Řezem se rozumí rovný řez, tj. rozdělení částí buchty rovinou; během řezu je zakázáno části buchty přemísťovat.

Buchty v nás zmizely, jako když je do studny hodí. Chutnaly báječně. Asi je přece jen pravda, že matematika prochází žaludkem. Dnes nás chtěl Cen vzít na obchůzku, aby nám ukázal tuto, pro nás zatím neznámou a zázraků plnou krajinu. Nic proti. Sami jsme se chtěli porozhlédnout, a když máme nyní tak dobrého průvodce, tak by byl hřích toho nevyužít.

Cestou jsme nevěřili vlastním očím. To, co jsme spatřili, bylo tak neskutečné, že ..., že ani nevím jak popsat, jak to bylo neskutečné. Tolik neuvěřitelných věcí nikdo z nás neviděl za celý život. Tady je například jedna z nich:

Úloha č. 5

Dosti dlouhá a vysoká stěna byla popsána (spíše pomalována, neboť zdálky vypadala jako obrovský obraz) výpočtem $\left(63 \cdot 62 \cdot 61 \cdot ... \cdot 2 \cdot 1 - 61 \cdot 60 \cdot 59 \cdot ... \cdot 2 \cdot 1\right) : 71$. Cen nám později řekl, že toto dílo připomíná jeden dávný spor, zda je onen podíl celé číslo. Umíte i bez přímého výpočtu tento problém rozlousknout?

Poznámka: Řešení této úlohy pochopitelně nespočívá v odkazu na výpočet na kalkulačce či počítači.

První, kdo sebral odvahu se zeptat, kde se to vlastně celou tu dobu nacházíme, byl Aarl. Nevím, jestli to bylo jeho zvědavostí nebo tím, že mu to jen přišlo na rozum; u Aarla totiž platí, že na jazyku má mnohdy i to, co nemá ani na srdci. Cen tuto otázku přijal úplně s klidem a začal nám vysvětlovat, proč posledních pár dní narážíme jen na samé, velice mírným slovem řečeno, kuriozity.

Cen se nadechl a pozvolna začal: „Před dávnými časy, kdy ještě žili vaši pradědové, se celému národu žilo jako v ráji a celým krajem vládla harmonie. Najednou zasáhla všechny pohroma. Náhle, nečekaně a tvrdě byla vaše domovina napadena vojskem zlého čaroděje Qwertyho, který sídlil po dlouhá staletí na temné straně Emě. Důvod, proč zaútočil, zůstal navěky tajemstvím, nicméně důsledkem jeho počínání mohl být úplný zánik světlé strany Emě. Čarodějovo vojsko bylo nakonec velice těsně poraženo řadami vašich pradědů a dědů, z nichž mnozí statečně padli a k nimž chováme dodnes nekonečnou úctu. Qwerty se ale nehodlal smířit s porážkou. Proto zasadil Emanům ránu takovou, jaké nebylo obdoby. Část Emanů byla přenesena do krajiny mezi světlou a temnou stranou Emě. Do krajiny, kde se normální svět setkává s tajuplností a chaosem temné strany.“

Všichni jsme poslouchali Cena jako opaření. Toto nám nikdy náš kouzelník neřekl a ani v historických svitcích a knihách nebyla ani zmínka o něčem podobném. „Není divu,“ pravil Cen. „Emané chtěli na tuto černou skvrnu dějin zapomenout, a tak rada starších dala příkaz, aby se všechny informace o této události zneškodnily a navěky tak skončily v propadlišti dějin.“ Cen sáhl do své torny a podal nám knihu, kterou každý z nás znal velmi dobře. Byla to Kniha historie Emě odnepaměti. Když jsem jí tak listoval, začala se potvrzovat Cenova slova.

Úloha č. 6

Celá kniha měla původně tisíc listů (číslovaných čísly 1--1000), a vytrhané byly právě ty listy, jejichž číslo bylo součinem několika (tj. dvou a více) stejných přirozených čísel. Kolik stránek v knize chybělo?

Poznámka: Snad jste si povšimli, že v této knize jsou číslovány listy nikoliv stránky.

„A to se nikdo nepokoušel zachránit zmizelé Emany?“ zeptal se trochu naivně Aarl.

„Ale ano, jenže vždy podlehl nástrahám, které jsou všude kolem nás. Ani netušíte, jaké máte štěstí, že jste se dostali až sem živí.“

„A tady tedy žijí ti Emané, kteří byli postiženi Qwertyovým kouzlem. Nemohou se vrátit. Mnoho se jich o to pokoušelo, ale dopadli stejně jako ti, co se je snažili vysvobodit.“

„To pak asi není žádná šance, že se setkáte s vnuky kamarádů vašich dědů ...“ povzdychl jsem si.

„Jedna tu je,“ pronesl tiše Cen, „ale je tak nebezpečná, že se ji nikdo neodvážil zkusit. Aby kouzlo pominulo, musí se zničit kouzelný Determinant z Qwertyova paláce, ve kterém je celá jeho moc. Pak bude kouzlo zrušeno a my se opět vrátíme tam, odkud jsme byli tak náhle vytrženi.“

„Jak jde ten Determinant zničit?“ zeptali jsme se téměř současně.

„Determinant se nachází uprostřed jezírka tvořeného dužinou Qwertyových kouzelných rostlin, která promění v oblak dýmu jakéhokoli živého tvora, který se do ní namočí. Je proto nutno vzít kouzelný febtar, hodit jím žabku tak, aby poslední dopad žabky do dužiny před odrazem od Determinantu, bod odrazu a bod prvního dopadu po odrazu tvořily rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem u vrcholu určeného místem odrazu febtaru od Determinantu. Bohužel, tohle není jediná podmínka, kterou musí hod splňovat. Bod, ve kterém se setkají vlny vzniklé posledním dopadem před odrazem a prvním po odrazu, musí dělit úsečku spojující tyto dva body v poměru 2:1.“

Úloha č. 7

Jakou rychlostí je třeba žabku hodit, aby byl Determinant zničen, víme-li, že rychlost šíření vlny je 7 cm/s?

Poznámka: Ztrátu rychlosti febtaru odporem prostředí zanedbáváme. Stejně tak neuvažujeme ani změnu výšky letu žabky nad hladinou, tj. předpokládáme, že se pohybuje po úsečce až do odrazu od Determinantu a po odrazu zase po úsečce.

V tu chvíli jsme pochopili, kam se vydáme. Uvědomili jsme si, že je naše povinnost vydat se za záchranou svých bližních. Bez sebemenšího zaváhání a navzdory Cenovým varováním jsme byli odhodláni vydat se na cestu.

„Tak dobrá, ale mějte na paměti jednu věc. Zde se nacházíte na hraně mezi reálným světem a temnou stranou, mezi pořádkem a chaosem, nebem a peklem, vodou a ohněm. Nic, co uvidíte, nic, co uslyšíte, ani nic, co ucítíte, nebude takové, jaké se bude zdát. Dokonce i součet délek úhlopříček ve čtyřúhelníku může být větší než jeho obvod.“

Úloha č. 8

Je to opravdu tak neuvěřitelné, aneb platí v každém čtyřúhelníku, že součet délek jeho úhlopříček je menší než jeho obvod? Své tvrzení zdůvodněte.

„Jediné, čemu můžete věřit, jste vy sami. Pokud se budete řídit mou radou, máte šanci, že se vrátíte živí.“

Rozloučili jsme se tedy s Cenem a vydali se s jeho slovy na paměti směrem k temné straně Emě ...