Zadání 1. série 15. ročníku

Termín odeslání: 20. října 1999

Adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Jednoho večera nás během tradičního vypravování stařešinů kmene, jakáže byla Em za starých časů napadlo, že by bylo zajímavé zjistit, co z jejich vyprávění skutečně odpovídá zážitkům jejich dědů, a co vzniklo díky všudypřítomnému informačně-generačnímu šumu. Po dlouhé debatě, která se protáhla až do svítání, jsme se rozhodli, že vyrazíme na výpravu do kouzelníkem kmene zapovězených končin. Po týdnu výroby a přípravy výbavy (ta nebyla nijak zvláštní, jen Aarlův talisman jakoby vyzařoval kouzelnou moc) jsme opravdu vyrazili.

Úloha č. 1

Talisman tvořilo šest zářivých kuliček spojených tyčinkami, které však měly pouze dvě různé délky. Popište, jak mohl tento amulet vypadat.

Poznámka: Velikost kuliček zanedbáváme, tj. považujeme je za body.

Málem bych zapomněl představit členy naší čtyřčlenné výpravy: Aarl byl lovcem, léčitel byl nejmenší, Šarti nebyl písařem (tj. autorem tohoto deníku), stopař nebyl největší a nejmenoval se Zindu. Šarti byl druhý nejmenší.

Úloha č. 2

(pro 6. třídy) Kým byl v naší výpravě Lekos, nebyl-li z celé výpravy nejmenší?

Cesta probíhala zpočátku velmi klidně (až na ty útoky vlků, díky kterým se jizvy na našich tělech rychle množily), a tak jsme pomalu začínali ztrácet ostražitost. Naše putování vedoucí nejprve po lukách a lesních stezkách (v této oblasti vyšlapaných spíše divokými zvířaty než lidmi) nás dovedlo až na okraj podivného hvozdu. Překvapila nás pravidelnost, s jakou stromy rostly, ale hlavně ty divné pařezy. Ony to vlastně byly docela obyčejné pařezy, jen fakt, že sahaly do výšky několika metrů, byl překvapující. Opatrnost se nám vrátila, když jsme na jednom z nich uviděli omotaného obrovského hada, který takto připomínal závity šroubu (což jsme ovšem v té době ještě netušili). Plaz kolem stromu obkroužil rovných šest závitů a měl tak hlavu ve výšce čtyř a půl metru, dotýkajíce se koncem ocasu země. Průměr pařezu činil devadesát centimetrů.

Úloha č. 3

(pro 6. a 7. třídy) Jak dlouhý byl had?

Poznámka: Pařez pokládejte za válec a „sklon“ stoupání hada je ve všech místech stejný.

Bylo nám jasné, že zapovězená oblast je na dosah, neboť její okolí se vyznačovalo nezvyklými úkazy. Zdálo se, že brzy nepůjdeme krajinou v níž se objevují podivné věci mezi obvyklými, ale občas se objeví něco běžného v záplavě hromad (doslova i přeneseně) věcí nevídaných. Tu náhle se vše měnilo --- jakoby neviditelná zeď a za ní už nic. Ne, nic jako vůbec nic, ale nic známého, ani nic co by se dalo vzít a přenést. Na posledních stromech jsme viděli značku jako na obrázku. Asi nebyla moc významná, ale utkvěla mi v paměti, a když jsme se později naučili první fakta z eměměřičství, byl podíl obsahu vybarvené plochy první věc, kterou jsme díky nim spočetli.

Úloha č. 4

Spočtěte, jaká část čtverce je pokryta barvou.

Opatrně jsme vstoupili do onoho zvláštního světa. Podklad, po kterém jsme šli, byl daleko tvrdší než v lese --- dokonce tak, že přes veškerou naši snahu jsme nedokázali zanechat žádné stopy, které by nám pomohly najít cestu zpět. Všude kolem se do výšky tyčily vysoké zvláštní věci. Procházeli jsme tím divným místem až jsme došli k místu, kde přechod k „normálnímu prostředí“ byl pozvolnější. Také ony vysoké věci (později jsme zjistili, že v nich lidé bydleli, pracovali a bavili se stejně běžně jako my v našich chýších) byly v těch místech menší a menší. Nakonec jsme se odvážili do jedné z nich vstoupit. Prohlédli jsme si tento příbytek a poprvé jsme poodhalili roušku tohoto tajemného světa. Byl to dům zemědělce. (Později jsme zjistili, že ze všeho nejvíce se věnoval chovu krav. Na začátku si koupil sotva narozené telátko. Každá kráva, kterou choval, měla každý rok (kromě prvních dvou ve svém životě) vždy jedno tele (a to vždy střídavě kravičku, býčka, kravičku, ...), takže se mu jeho stádo velmi rychle rozšiřovalo.)

Úloha č. 5

Kolik kusů čítalo jeho stádo na konci patnáctého roku od koupi prvního telete?

Poznámka: Předpokládejte, že krávy se rodí vždy na konci roku a že během té doby žádná neuhynula.

Po neklidném a nepříliš dlouhém spánku jsme se vydali na další průzkum. Smysl další budovy, do které jsme vstoupili je dodnes nejasný. Nalezli jsme zde „věšák“ na dvě mističky. Když jsme na jeden z nich položili některou z okolo ležících kuliček, ona mistička trošku klesla, druhá naopak vystoupila výš. Po pár dalších pokusech nám byl jasný smysl tohoto přístroje. Jak jsem již poznamenal, okolo leželo deset stejně vypadajících kuliček. Zjistili jsme, že mezi nimi mělo osm stejně těžkých a zbylé dvě měly též stejnou hmotnost (ale jinou než oněch osm).

Úloha č. 6

Jaký nejmenší počet vážení na (v místnosti přítomných, tj. dvouramenných) vahách vám bude vždy stačit k určení obou kuliček? Popište postup vážení.

Po dalším průzkumu onoho domu (všude jsme nacházeli různě těžké, avšak stejně vypadající věci) jsme trošku zmateni vyšli ven a pak vstoupili do malého, nenápadně vyhlížejícího stavení. V něm kdysi bydlel náš učitel. Je to tak, za většinu svých znalostí přírodních věd vděčíme právě jemu, nebo spíše tomu, co jsme zde našli. Důkladné prozkoumání všech těch spisů, knih a sešitů zabralo měsíce, skoro i roky, ale vraťme se k věcem, které nás okouzlily jako první ...

Zdi jedné z místností místností byly pokresleny zvláštními pravidelnými obrazci, kolem nichž byly nepravidelně rozmístěny shluky řádků písma našich dědů. Obrazce tvořily pravidelné útvary složené z různého počtu rovných čar (tří, čtyř, pěti, šesti, ...), které navazovaly jedna na druhou. Udivilo nás, že některé počty čar jsme nikde nenašli. (Ukázalo, že šlo o návody, jak sestrojit pravidelné n-úhelníky pravítkem a kružítkem; proto některé počty chyběly).

Úloha č. 7

Dokážete sestrojit (kružítkem a pravítkem) pravidelný šestnáctiúhelník? A patnáctiúhelník?

Poznámka: Kromě samotné konstrukce by správné řešení mělo obsahovat také postup, jakým byla provedena.

Další místnost byla věnovaná měření. Zaujaly nás dva průhledné válce. Jeden z nich byl uchycen v držáku, v poloze poněkud našikmo a byla v něm voda! (Tehdy nás to neudivilo, ale dnes je nám záhadou, že se za tu dobu nevypařila). Plni bázně jsme se rozhlíželi po místnosti. V tom Lekos vytáhl váleček z držáku a začal si vodu mezi nádobkami přelévat. Chvíli jsme se na něj nevěřícně dívali a pak jsme propukli v uvolňující smích.

Úloha č. 8

Válec v držáku měl vnitřním průměr 6 cm a voda v něm sahala (měřeno po stěně válce od základny) do výšky 8 cm (délka té úsečky na plášti válce, která byla nejblíže zemi) až 11 cm (na opačném konci). Průměr druhého válce byl 10 cm. Do jaké výšky sahala voda v druhém válci, když byl postaven rovně (na základně) a žádná voda nebyla vylita.