Zadání 4. série 14. ročníku

Termín odelslání: 24. května 1999

Adresa:

„Jééé, hurá, Plán , našel jsem Plán ! Já ho ponesu, že můžu?“ řekl a dříve, než jsme cokoli stačili podniknout, vzal Plán a vesele s ním poskakoval k východu.

V tu chvíli mi přejel mráz po zádech ...

Do místnosti začala proudit voda. Průtok bych odhadl na 5 sáhů krychlových za sekundu (ale je možné, že se o půl sáhu krychlového za sekundu mýlím). Místnost sama byla 5-6 sáhů široká, 20\pm 5\% sáhů dlouhá a 2,5 sáhu vysoká (přesně, výšky místností totiž podléhají chladným normám Ledové Oblasti). Oltář s plánem (nyní již bez plánu) měl tvar krychle o hraně půl sáhu (\pm 0,1 sáhu). Objem ostatních věcí (a nás) v té zatrolené místnosti byl nejméně čtvrt sáhu krychlového, nejvíce však půl.

Úloha č. 1:

(pouze pro žáky 6. tříd)

Z těchto nepřesných údajů určete, optimistický a pesimistický odhad, za jak dlouho se celá místnost zaplní vodou.

Údaje jsou opravdu nepřesné, ale chtěl bych vidět vás na našem místě. Abych pravdu řekl, přesné rozměry místnosti mě v tu chvíli ani tak moc nezajímaly.

A možná by to špatně dopadlo, kdyby Xofa nenapadlo rychle rozdělat svůj stan. Řekl jsem sice rychle, ale to ne zcela přesně vystihuje situaci: V jeden okamžik jsem prostě viděl jak Xof zírá na Gila poskakujícího si před valící se vodou. A v druhý okamžik jsem viděl postavený stan. Z třetího okamžiku si již moc nepamatuji, ale jisté je to, že na jeho konci jsem byl ve stanu. Jako poslední se vecpali do stanu sličný princ s Gilem.

„Už jsem to skoro měl“ řekl princ rozzlobeně Gilovi a zatáhl zip.

Voda mezitím zaplnila místnost. V nepromokavém stanu jsme byli v bezpečí.

„Nesmysl, to zařízení nešlo vypnout,“ bránil se Gil.

Zima byla tuhá, a tak voda kolem našeho nepromokavého a nepromrzavého stanu začala mrznout.

„Podívej se do vzorového řešení osmého příkladu minulé série,“ dořekl a podal mu papír, který právě držíte v ruce.

„Nehádejte se“ okřikl jsem ty dva.

„Opravdu,“ řekl (trochu zahanbeně) po chvíli Davídek a dál si prohlížel zadání, které mu podal Gil.

„To bych rád věděl, jak se odtud dostaneme, jestli vůbec,“ začal trošku sýčkovat Xof.

„Asi jo, protože tady píšou, že jsme se vydali usilovným, slavnostním pochodem směrem zpět, zpět domů,“ podotkl Davídek a už zadání raději schoval.

„Počkáme na jaro, pak všechno roztaje,“ rozhodl kouzelník.

Tak jsme začali čekat.

První den bylo o zábavu postaráno. Vyprávěli jsme si, co jsme všechno zažili. Jak Xof dokázal tak rychle postavit stan. Jak voda hučela. A odhadovali jsme, kdy začne jaro. Listovali jsme si plánem. A měli radost, že se nám celkem daří.

Plán měl letos 1024 stránek. Na první straně bylo uvedeno: „Pro větší přehlednost jsou čísla stránek dělitelná trojprvočíslem označena zeleným křížkem“.

„Qww? Co to je trojprvočíslo?“ zeptal se pro jistotu Gil.

„To je číslo, které je součinem tří různých prvočísel,“ řekl kupodivu Xof a ne Davídek od kterého bych to čekal.

„Aha, tak to jich bude více než 200,“ poznamenal princ.

Úloha č. 2:

Je to pravda? Je čísel menších než 1025, takových, že jsou dělitelná právě jen třemi různými prvočísly, více než 200?

„Ale trojprvočíslo musí být slangový pojem zdejších matematiků, já jsem se s ním ještě nesetkal,“ upozornil princ, čímž vysvětlil, proč tento pojem zná překladatel Xof a ne on.

Se zájmem jsem si listoval plánem. Všechno v něm bylo napsáno jazykem téměř vznešeným. Nebojte se, nebudu číst celý Plán, ale jedna ukázka by snad neuškodila.

Popis slavnostního průvodu říká: Nechť 34 lidí má hlavu nepokrytou. Kéž 34 jich má prostý šat. A polovina lidí v průvodu nechť jsou ženy. Ať 12 žen jde s hlavou nepokrytou a 13 žen jde v šatu prostém, 5 žen nechť je s hlavou nepokrytou, v šatu prostém. Celkem budiž v průvodu 62 lidí.

Úloha č. 3:

(pouze pro žáky 6. a 7. tříd)

Kolik lidí v zástupu půjde v šatu prostém (my bychom řekli v civilu) a zároveň bude s hlavou nepokrytou (tedy bez čepice)?

Následující den však začala nuda. Chvíli jsme si krátili různými hrami.

Například Davídek nakreslil čtverec 2x2 a kouzelník do něj udělal 21 teček. Davídek pak měl za úkol přiložit čtverec 1x1, tak aby zakryl co nejvíce těchto teček.

Úloha č. 4:

Podaří se princi Davídkovi vždy zakrýt alespoň šest teček? A sedm?

Já s Xofem jsme zase hráli šachy. Gil nás s napětím sledoval. Z toho, jak nám občas radil, jsme poznali, že moc hrát neumí („Pozor na ofsajd“). Davídek se s námi vsadil, že za pět minut naučí Gila šachy tak, že si s námi dvěma zahraje simultánku (pozn. pod čarou: simultánka -- hra kdy jeden hráč (Gil) hraje proti dvoum (já a Xof) nebo více hráčům současně.) a uhraje alespoň bod (za výhru je jeden bod, za remízu půl bodu).

Tomu jsem samozřejmě odmítl věřit a s ledovým (to zde nedělalo problém) klidem jsem na sázku přistoupil. Rozestavěli jsme figurky na dvě šachovnice a Gil si vybral, s kterými figurkami bude hrát.

Po pár tazích jsem se začal potit. Gil hrál opravdu výborně.

Úloha č. 5:

Co zřejmě poradil princ Davídek Gilovi, aby hrál tak dobře?

Nakonec opravdu Gil uhrál jeden bod. Prohráli jsme sázku, což znamenalo, že sličný princ nám mohl zadat příklad a dříve, než ho vyřešíme, může Gil hrát na kytaru.

Úloha zněla:

Úloha č. 6:

Rozdělte trojúhelník na co nejméně částí tak, aby jedna část byla 11-úhelník a zbytek byly trojúhelníky. Stačí jedno řešení. Zdůvodněte, proč vámi nalezené řešení je minimální.
Poznámka: Pomněte, že 11-úhelník nemusí znamenat konvexní 11-úhelník.

Gil začal vesele brnkat na svou nyní již pětistrunnou kytaru. (Ne že by mu jedna struna praskla, pravě naopak: chladem se tak protáhla že se uvolnila, vypadla a Gil ji někde ztratil).

A jak tak znáte Gila nebrnkal jen tak ledajak. Jeden jeho „akord“ vypadal takto: rozezněl naráz lichý počet strun. Na pražce Gil nehrál, protože druhou ruku měl schovanou v kapse, aby ho nezábla.

Úloha č. 7:

Kolik různých „akordů“ jsme mohli slyšet?
Poznámka: „akordem“ Gil nazývá i hru pouze na jednu strunu

Než jsme spočítali Davídkovu úlohu, opravdu jsme je slyšeli všechny.

Jednoho dne konečně přišlo jaro. Kočičky rozkvetly a pilné ledonosné včelky poletovali mezi jarními vločkami.

Led, ve kterém jsme byli uvězněni, praskl a my jsme se mohli vydat nazpět k domovu. Mohli, ale zaujalo nás iglů, které někdo zbudoval během našeho pobytu v ledu. Iglů nemělo žádný vchod, pouze dvě malilinkatá okénka, jedno z jihu, druhé z východu. Když jsme nahlédli okénky dovnitř, viděli jsme uprostřed iglů předmět zhotovený ze špejlí. Zajímavé bylo, že předmět vypadal v každém okénku stejně (viz obrázek). Gil se to jal prozkoumat a vylezl na iglů a zjistil, že nahoře je také malé okénko a co víc -- podivuhodný předmět vypadá rovněž stejně.

„To bych dovedl taky, a stačilo by mi k tomu 15 špejlí“, řekl Gil. „Abych pravdu řekl, mně by stačilo ...“ opáčil Davídek.

Úloha č. 8:

Kolik špejlí by stačilo vám k sestrojení onoho podivného předmětu, který vypadá z jihu (nárysu), z východu (bokorysu) i shora (půdorysu) tak, jak je nakresleno na obrázku?
Poznámka: : Špejle mohou být libovolně dlouhé, ale vždy rovné.

Gil chtěl ještě prozkoumat iglů z druhé strany a málem našel záhadný nápis na severní straně, když jsem ho okřikl.

„Gile, nic už nehledej, dneska už osm úloh máme“

Gil se smutně podíval na záhadný nápis, pokrčil rameny a řekl: „Škoda“.

„Přátele, gratuluji nám k získání Plánu . Cíl, který jsme si vytyčili, byl splněn. A byl to cíl nelehký, ...“ začal jsem svůj deseti stránkový projev na oslavu získání Plánu .

„Zkrať to, je tu zima.“

„Tak tedy: Hurá domů“ přečetl jsem tedy z poslední stránky.

Vydali jsme se usilovným, slavnostním pochodem směrem zpět, zpět domů.

Konec (šťastný)